Если задан n+1 узел интерполяции, то на этих узлах можно построить один интерполяционный многочлен n-ой степени, n-1 многочленов первой степени и большой набор многочленов степени меньше n, опирающиеся на некоторые из этих узлов.
Теоретически максимальную точность обеспечивает многочлен более высокой степени. Однако на практике наиболее часто используют многочлены невысоких степеней, во избежание погрешностей при расчетах коэффициентов при больших степенях многочлена, а также из-за возможных колебаний функции между узлами.
Если функция интерполируется на отрезке с помощью единого многочлена для всего отрезка, то такую интерполяцию называют глобальной. В случае локальной интерполяции на каждом интервале строится отдельный интерполяционный полином невысокой степени.
2.2 Кусочно-линейная интерполяция
Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная (или кусочно-линейная) интерполяция. Она заключается в том, что узловые точки соединяются отрезками прямых (рисунок 2.1), то есть через каждые две точки и проводится полином первой степени:
(2.5)
Коэффициенты a0 и a1 разные на каждом интервале и находятся из выполнения условий интерполяции на концах отрезка:
(2.6)
Из системы уравнений (2.6) можно найти коэффициенты a0 и a1 и получить уравнение прямой на каждом интервале.
Линейная интерполяция является частным случаем многочлена Лагранжа, построенного по двум точкам, поэтому вместо прямого вычисления коэффициентов можно воспользоваться формулой:
.
(2.7)
При использовании кусочно-линейной интерполяции сначала нужно определить интервал i, в который попадает расчетное значение x, а затем в выражение (2.7) подставить значения и для данного интервала.
