Расшифровка подписи программирование численных методов пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Теоретические основы аппаратно-программных средств»
жүктеу/скачать 0,69 Mb.
|
Для приблизительной оценки корней нелинейного уравнения (1.13) построим график функции с помощью программы Matlab (рисунок 1.5). Рисунок 1.5 – График нелинейной функции y = f(x) Из рисунка 1 видно, что график функции пересекает ось абсцисс в одной точке, расположенных на отрезке [-2;2]. Данная функция является периодической, поэтому данное уравнение имеет бесконечное множество корней, которые повторяются согласно периоду функции. В качестве начального приближения выбираем точку x=1. С помощью программы Matlab напишем код для решения нелинейного уравнения методом Ньютона. Проект будет включать следующие файлы: Matlab.m – основной скрипт, в котором вводятся исходные данные(листинг 1.3); % ---- Этап 1: Отделение корней уравнения ---- x=-10:0.1:10; y=3*atan(x) +3; figure(1); plot(x,y,'-b'); axis([-10 10 -2 2]); xlabel('x'); ylabel('y'); grid on; title ('График функции y=f(x)'); % ---- Этап 2: Уточнение корней уравнения ---- eps=1e-3; kmax=50; x=-2; k=0; [F F1]=fun1(x); [x1,D]=Newton(x,F,F1); k=k+1; fprintf('%i\t %f\t %f \n', k, x1, D); while (abs(D)>eps)&&(k [F F1]=fun1(x); [x1,D]=Newton(x,F,F1); k=k+1; fprintf('%i\t %f\t %f \n', k, x1, D); end fprintf('Root: x =%f\n', x1); fprintf('Number of iterations: k = %i\n', k); fprintf('Accuracy: D =%f\n', D); Листинг 1.2, лист 1 – Метод Ньютона Результат работы программы представлен на рисунке 1.6. Рисунок 1.6 – Результат работы программы Корень уравнения x = -1.557408 найден с заданной точностью за 4 итерации, погрешность решения составляет -0.000007. Вывод Методы простых итераций, Ньютона решают одну и туже задачу: Пусть нелинейное уравнение: f(x)=0 имеет на отрезке [a,b] единственный корень c, значение которого необходимо найти с заданной точностью , >0. Метод простых итераций требует, чтобы производная f’(x) была непрерывна и сохраняла свой знак на отрезке [a,b], а для выбора итерационного параметра и оценки погрешности результата необходимо указать числа m и M такие, что m<f’(x)<M и mM>0. Методы Ньютона требуют, чтобы на отрезке [a,b] непрерывными и знакопостоянными были первая и вторая производные функции f(x), а для оценки погрешности нужно указать числа m1 и M2 для метода Ньютона. Самую высокую скорость сходимости (квадратичную) имеет метод Ньютона. Скорость сходимости метода простых итераций определяется выбором итерационного параметра , чем меньше ||, тем выше скорость сходимости. 2 Интерполяция функций Пусть функция задана таблицей значений xi, yi на интервале :
Задача интерполяции – найти функцию , принимающую в точках xi те же значения yi. Условие интерполяции:
При этом предполагается, что среди значений xi нет одинаковых. Точки xi называют узлами интерполяции. Если ищется только на отрезке , то это задача интерполяции, а если за пределами первоначального отрезка, то это задача экстраполяции. Таким образом, можно ввести следующие определения: интерполяция (в узком смысле) – вычисление промежуточных значений функции по известному дискретному набору значений функции на заданном интервале; экстраполяция – вычисление значений функции за пределами первоначально известного интервала; аппроксимация – определение в явном виде параметров функции, описывающей распределение точек. Задача нахождения интерполяционной функции имеет много решений, так как через заданные точки xi, yi можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами:
При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом. При построении одного многочлена для всего рассматриваемого интервала , для нахождения коэффициентов многочлена необходимо использовать все уравнения системы (2.3). Данная система содержит n+1 уравнение, следовательно, с ее помощью можно определить n+1 коэффициент. Поэтому максимальная степень интерполяционного многочлена m = n, и многочлен принимает вид:
жүктеу/скачать 0,69 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|