Разрезания
жүктеу/скачать 250 Kb.
|
| Ответ: нельзя.
Решение. Проследим за суммой всех чисел. При операции из условия эта сумма увеличивается на 2. Значит, четность суммы всех чисел не меняется, она инвариант. В начале сумма всех чисел равна 1+2+…+9+10=45. То есть сумма была нечетной. А если все числа сделать равными какому-то числу n, то их сумма станет равно 10n – четное число. Следовательно, сделать все числа равными невозможно. Замечание. Сумму чисел от 1 до 10 можно подсчитать аналогично Замечанию 1. А можно не считать, а заметить что она нечетная так как в ней участвует 5 нечетных слагаемых – 1,3,5,7,9. В клетках таблицы 3×3 стоят нули. Можно прибавлять по 1 к клеткам любого квадрата 2 × 2. Можно ли получить таблицу как на рисунке? Ответ: нельзя. Решение. Аналогично предыдущей задаче проследим за суммой всех чисел в таблице. Даже проще – будем следить за четностью суммы всех чисел. Тогда если таблица заполнена нулями, то сумма всех чисел равна 0 – четная. Если мы прибавляем по 1 к клеткам квадрата 2 × 2, то сумма увеличивается на 4 – четность не меняется. А в таблице на рисунке нечетная так как там ровно 5 нечетных слагаемых – 5,11,13,7 и снова 11. Замечание. В этой, прошлой и во всех следующих задачах видна главная идея применения инварианта. У нас есть некие объекты, над ними можно производить определенный преобразования и задается вопрос – можно ли из одного объекта получить другой. Мы строим величину, которая не меняется при указанных преобразованиях. Если значения этой величины на двух указанных объектах разные, то из одного объекта другой получить нельзя! Эта не меняющаяся величина называется инвариантом. С числом разрешается проделывать следующие операции: прибавлять 9 или заменять число на сумму его цифр. Можно ли такими операциями из числа 9 получить число 8? Ответ: нельзя. Решение. В начале наше число равно 9 то есть делится на 9. Если к делящемуся на 9 числу прибавить 9, то сумма снова будет делится на 9. Если у делящегося на 9 числа посчитать сумму его цифр то снова получится число делящееся на 9 (по признаку делимости на 9). Значит, у нас все время будут получаться числа делящиеся на 9 и числа 8 не получится. В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: "М" и "О". Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний "МО" и "ООММ", повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова "ОММ" и "МОО"? Ответ: не являются. Решение. Рассмотрим следующую величину – разность между количеством букв «М» и количеством букв «О» в слове. Тогда при исключении или добавлении буквосочетаний "МО" и "ООММ" эта разность не меняется. У слова "ОММ" эта разность равноа 1, а у слова "МОО" -1. Значит получить из одного другое невозможно, то есть синонимами они не являются. 100 фишек, пронумерованных числами от 1 до 100 поставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке? Ответ: нельзя. Решение. Пронумеруем места, на которых стоят фишки.
жүктеу/скачать 250 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|