Разрезания
жүктеу/скачать 250 Kb.
|
В итоге же картинка должна стать такой:
Итак, если изначально фишка стояла на четном месте, то должна оказаться на нечетном месте, но это невозможно, так как разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку (если фишка лежала на четном месте, то ее можно переложить только на четное место). То есть четность места фишки является инвариантом. На столе стоят 10 стаканов. Из них 9 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно? Ответ: нельзя. Решение. Посмотрим на следующую величину – четность числа неправильно стоящих стаканов. Она не меняется при операциях из условия! Действительно, если мы переворачиваем 4 правильных стакана, то количество неправильных увеличивается на 4, если мы переворачиваем 1 неправильный и 3 правильных стакана, то количество неправильных увеличивается на 2, если мы переворачиваем 2 неправильных и 2 правильных стакана, то количество неправильных не меняется, если мы переворачиваем 3 неправильных и 1 правильный стакан, то количество неправильных уменьшается на 2, наконец, если мы переворачиваем 4 неправильных стакана, то количество неправильных уменьшается 4. Однако вначале у нас ровно 1 неправильный стакан, а мы хотим, чтобы их стало 0. Это невозможно. Клетки доски 9×9 покрашены в шахматном порядке. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в чёрный цвет? А в белый? Ответ: в белый цвет нельзя, в черный – можно. (при раскраске квадрата как на рисунке) Решение. Докажем, сначала, что в белый цвет перекрасить квадрат не удастся. У нас вначале 40 белых и 41 черная клетка. При перекрашивании двух клеток количество белых либо увеличивается на 2, либо уменьшается на 2 либо не меняется. В любом случае число белых клеток остается четным. Значит сделать так, что белых клеток будет 81 – не получится. Черных клеток сразу нечетное количество, поэтому есть шанс что сделать всю доску черной удастся (хотя это еще не доказательство – может есть еще препятствия кроме четности общего количества). А перекрасить доску в черный можно например так. Разобьем доску на прямоугольники 14 и еще одну черную клетку как показано на верхнем рисунке. После этого каждый прямоугольник 14 перекрасим в черный цвет как показано на нижнем рисунке и мы получим квадрат 9×9 полностью перекрашенный в черный цвет. Круг разделили на 6 секторов, в каждом лежит селедка. За ход можно одну селедку передвинуть в соседний сектор. Можно ли собрать все селедки в одном секторе ровно за 20 ходов? жүктеу/скачать 250 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|