Развитие образовательной среды в школе

жүктеу/скачать 11,58 Mb.

Pdf көрінісі

бет	28/55
Дата	07.04.2017
өлшемі	11,58 Mb.
	#11218

1 ... 24 25 26 27 28 29 30 31 ... 55

Определение 1: Всякий гомоморфизм ??????: ?????? → ??????(??????) называется действием

группы ?????? на множестве ??????.

Определение 2: Пусть ??????- некоторое поле и ??????[??????] – пространство функций

на множестве ?????? со значениями в ?????? . Каждому ?????? ∈ ??????(??????) можно сопоставить

линейное преобразование ??????

∗

пространства

??????[??????]:

(??????

∗

??????)(??????) = ??????(??????

−1

??????) , (?????? ∈ ??????[??????]). [3, стр. 13]

При этом(????????????)

∗

= ??????

∗

??????

∗

, т.е. мы получаем линейное представление группы

??????(??????). В самом деле,

((????????????)

∗

??????)(??????) = ??????((????????????)

−1

??????) = ??????(??????

−1

??????

−1

??????),

(??????

∗

??????

∗

??????)(??????) = (??????

∗

??????)(??????

−1

??????) = ??????(??????

−1

??????

−1

??????).

Если теперь задано ??????: ?????? → ??????(??????) , то можно определять линейное

представление ??????

∗

группы

?????? в пространстве ??????[??????], положив:

??????

∗

(g) = ??????(g)

∗

Пусть ?????? = {I, II, III, IV, V, VI}- грани куба, ??????(g): ?????? → ??????(??????), где g- вращения

куба.

Пространство ??????[??????] в этом случае шестимерно, т.е. ?????? = ??????

??????

+ ??????

??????

+ +??????

??????

+ ??????

??????

+ ??????

??????

. В качестве базисных элементов взяты функции

??????

1

, … , ??????

, каждая из которых равна 1 на одной грани куба и 0 на остальных. В

271

этом базисе операторы ??????

∗

(g) операторы запишутся невырожденными

матрицами, так как ??????

∗

(g): ?????? → ????????????(??????[??????]), ??????(g)

∗

: ??????(??????) → ????????????(??????[??????]) , в данном

случае ????????????(??????[??????]) ≅ ????????????

(??????) . Например: если g – поворот на

2??????

вокруг оси,

проходящей через центр куба и одну из его вершин, то при подходящей

нумерации базисных функций

??????

∗

(g) =

‖

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

‖

С помощью представленных рассуждений, можно перейти к записи

поворотов куба, представив переходы вершин и граней.

Пусть нам дан куб с вершинами (1,2,3,4,5,6,7,8), грань куба с вершинами

(1234) обозначим через – I, с вершинами (4378)- II, с вершинами (1485)-III, с

вершинами (5678)-IV, с вершинами (1265) –V, с вершинами (2376)-VI.

Пусть ??????

??????

−подстановка, которая показывает переход вершин куба

при определенном повороте, ??????

??????

- подстановка, которая показывает

переход граней куба, ?????? = 0,23

̅̅̅̅̅̅.

?????? −поворот на 360°

??????

0

(

12345678

) → ??????

(

123456

)

?????? − поворот на 90°, 180°,

270°, вокруг оси, проходящей

через центры симметрий Ι −

йиΙV − й

граней.

(Кратко:

относительно граней (ΙиΙV).

??????

1

(

12345678

23416785

) → ??????

(

123456

135462

)

??????

(

12345678

34127856

) → ??????

(

123456

156423

)

??????

(

12345678

41238567

) → ??????

(

123456

162435

)

?????? − поворот на 90°, 180°,

270°, относительно граней (ΙΙиV)

??????

(

12345678

26731584

) → ??????

(

123456

621354

)

??????

(

12345678

65872143

) → ??????

(

123456

426153

)

??????

(

12345678

51486237

) → ??????

(

123456

324651

)

?????? − поворот на 90°, 180°,

270°, относительно граней (ΙΙΙиVI)

??????

(

12345678

43781265

) → ??????

(

123456

243516

)

??????

(

12345678

87654321

) → ??????

(

123456

453126

)

??????

(

12345678

56218734

) → ??????

(

123456

513246

)

?????? − поворот на 120°, 240°,

вокруг оси, проходящей через

центр куба и вершины 4 и 6

??????

10

(

12345678

37842651

) → ??????

(

123456

231564

)

??????

(

12345678

85147623

) → ??????

(

123456

312645

)

272

?????? − поворот на 120°, 240°

вокруг оси проходящей через

центр куба и вершины 1 и 7

??????

12

(

12345678

14852376

) → ??????

(

123456

345612

)

??????

(

12345678

15624873

) → ??????

(

123456

561234

)

?????? − поворот на 120°, 240° вокруг

оси проходящей через центр куба и

вершины 2 и 8

??????

14

(

12345678

62157348

) → ??????

(

123456

534261

)

??????

(

12345678

32674158

) → ??????

(

123456

642315

)

?????? - поворот на 120°, 240° вокруг оси

проходящей через центр куба и

вершины 2 и 8

??????

16

(

12345678

67325841

) → ??????

(

123456

615342

)

??????

(

12345678

84375126

) → ??????

(

123456

264531

)

?????? −вращение вокруг оси, проходящей,

через центры ребер (2,6) и (4,8)

??????

(

12345678

76583214

) → ??????

(

123456

432165

)

?????? −вращение вокруг оси проходящей,

через центры ребер (1,5) и (3,7)

??????

(

12345678

58761432

) → ??????

(

123456

465132

)

?????? −вращение вокруг оси, проходящей,

через центры ребер (2,3) и (5,8)

??????

(

12345678

73268415

) → ??????

(

123456

654321

)

?????? − вращение вокруг оси проходящей,

через центры ребер (1,2) и (8,7)

??????

(

12345678

21563487

) → ??????

(

123456

546213

)

?????? − вращение вокруг оси проходящей,

через центры ребер (1,4) и (6,7)

??????

(

12345678

48513762

) → ??????

(

123456

531624

)

?????? − вращение вокруг оси проходящей,

через центры ребер (4,3) и (5,6)

??????

(

12345678

78436512

) → ??????

(

123456

216543

)

273

Теперь

составим

таблицу,

которой

записаны

результат

перемно

жения

подстано

вок??????

??????

, ??????

??????

??????, ?????? =

0,23

̅̅̅̅̅̅.

Наприме

р:

??????

(

12345678

23416785

) ∙

(

12345678

34127856

) =

(

12345678

41238567

)

??????

.·

??????

274

??????

В следующей таблице представлены результаты перемножения подстановок

??????

, где ??????, ??????=0,23

̅̅̅̅̅̅ . Например:

??????

= (

123456

135462

) ∙ (

123456

156423

) = (

123456

162435

)=??????

??????

Представленные таблицы показывают, что соответствующие группы

естественно изоморфны.

Теперь необходимо получить линейное представление группы

??????(??????)

для

данного примера. Для этого необходимо показать действие

??????

∗

= ??????

∗

(g)

, где

?????? = ??????(g),

т.е. показать что:

(??????

∗

(g)??????)(??????) = ??????(??????(g)

−1

??????), (?????? ∈ ??????[??????]) , а затем

проверить равенство:

((????????????)

∗

??????)(??????) = ??????((????????????)

−1

??????) = ??????(??????

−1

??????

−1

??????),

(??????

∗

??????

∗

??????)(??????) = (??????

∗

??????)(??????

−1

??????) = ??????(??????

−1

??????

−1

??????).

Пустьg- поворот на

2??????

вокруг оси, проходящей через центр куба и одну из его

вершин (4,6)

g = ??????

= (

12345678

37842651

) , ??????(g) = ??????

= (

123456

231564

)

275

??????

∗

(g):

‖

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

‖

(??????

∗

(g)??????)(??????) = ??????(??????(g)

−1

??????)

??????(??????(g)

−1

??????

) = ??????(??????

) = ??????

(??????

∗

(g)??????)(??????

) = {100000} ×

‖

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

‖

(

??????

)

= ??????

(??????

∗

(g)??????)(??????

??????

) = ??????(??????(g)

−1

??????

) (?????? = 1,2,3,4,5,6)

Проверим, что: (????????????)

∗

= ??????

∗

??????

∗

?????? = ??????(g

) = (

123456

231564

) , ?????? = ??????(g

) = (

123456

345612

), где g

- поворот на

2??????

вокруг

оси, проходящей через центр куба и одну из его вершин (4,6), g

- поворот на

2??????

вокруг оси, проходящей через центр куба и одну из его вершин (1,7).

Тогда

???????????? = (

123456

156423

) , (????????????)

−1

= (

123456

156423

) , ??????

−1

??????

−1

= (

123456

156423

)

??????((????????????)

−1

??????

) = ??????(??????

−1

??????

−1

??????

) = ??????(??????

) = ??????

(????????????)

∗

‖

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

‖

((????????????)

∗

??????)(??????

) = {0 … 10} ×

‖

‖

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

‖

(

??????

)

= ??????

??????

∗

‖

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

‖

, ??????

∗

‖

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

‖

??????

∗

??????

∗

‖

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

‖

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

‖

‖

=

‖

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

‖

276

(??????

∗

??????

∗

??????)(??????

) = {0 … 10} ×

‖

1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

‖

(

??????

)

= ??????

Значит, ((????????????)

∗

??????)(??????

??????

) = (??????

∗

??????

∗

??????)(??????

??????

) (?????? = 1,2,3,4,5,6)

жүктеу/скачать 11,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 ... 24 25 26 27 28 29 30 31 ... 55