Қолданылған әдебиеттер тізімі

249 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЕКЦИЯ № 4. МАТЕМАТИКА 

 

Доспулова У.К.

1

, Амиржанова А.С.

2

 

1.

 

Ғылыми жетекші, аға оқытушы 

2.

 

Физика-математика және жалпы техникалық пәндер кафедрасы, 

«Математика» мамандығының 4 курс студенті 

 

ЕСЕЛІ ИНТЕГРАЛДАРДЫ МОНТЕ – КАРЛО ӘДІСІМЕН ЖУЫҚТАП 

ЕСЕПТЕУ 

 

Монте  –  Карло  әдісінің  мәні:  кейбір  оқытылатын  шамалардың  мәнін 

табуды  талап  етеді.  Математикалық  күтімі ??????(??????) = ?????? тең  болатын  кездейсоқ ?????? 

мәнін таңдайды. [1] 

Монте – Карло әдісі үлкен сандар сынағын өткізуді талап ететіндіктен оны  

статистикалық  сынақтар  әдісі  деп  атайды.  Бұл  әдістің  теориясы  кездейсоқ ?????? 

шамасын  неғұрлым  орынды  тандауды  және  оның  барлық  мүмкін  мәндерін 

табуды көрсетеді. [1] 

а) ∬ ??????(??????, ??????)????????????????????????интегралын??????: ?????? ≤ ?????? ≤ ??????, ??????

1

(??????) ≤ ?????? ≤ ??????

2

(??????)

??????

аймағында 

есептеу  қажет.  [??????, ??????]  кесіндісіндегі  ??????

1

(??????)  және  ??????

2

(??????)  үзіліссіз  функциялары 

??????

1

(??????) ≥ ??????, ??????

2

(??????) ≤ ??????теңсіздіктерін қанағаттандырады деп ұйғарайық. 

?????? = ?????? + (?????? − ??????)??????, ?????? = ?????? + (?????? − ??????)?????? формулалары  бойынша  айнымалыны 

ауыстырамыз. Осындай түрлендіруден соң ?????? аймағы 0 ≤ ?????? ≤ 1, 0 ≤ ?????? ≤ 1бірлік 

шаршысының  құрамына  кіретін ∆ аймағына  ауысады. ?????? - ∆ аймағына  кіретін 

кездейсоқ  нүктелер  (??????

??????

, ??????

??????

)(?????? = 1, 2, … , ??????) болсын,  ал  ?????? − бірлік  шаршысына 

кіретін  кездейсоқ  нүктелер  саны. (??????

??????

, ??????

??????

)

,  мұндағы ??????

??????

= ?????? + (?????? − ??????)??????

??????

, ??????

??????

= ?????? +

(?????? − ??????)??????

??????

(?????? = 1, 2, … , ??????)??????  аймағына  кіретін  ??????  нүктелер  екендігі  белгілі.  Орта 

мән туралы теорема бойынша 

∬ ??????

??????

(??????, ??????)???????????????????????? ≈ ??????(??????̅, ??????̅) ∙ ??????,                                                 (1) 

мұндағы: (??????̅, ??????̅) ∈ ??????,  ал  ?????? − ??????  аймағының  ауданы.  ??????(??????̅, ??????̅) жуықтау  мәні 

ретінде??????(??????, ??????)функциясының ?????? аймағына  кіретін   ?????? кездейсоқ  нүктелеріндегі 

мәндерінің 

арифметикалық 

ортасын 

аламыз: 

250 

 

??????(??????̅, ??????̅) ≈

1

??????

∑ ??????(??????

??????

, ??????

??????

).                                                         (2) 

??????

??????=1

 

 (1) және (2) формулардағы теңдікті пайдаланып: 

∬ ??????

??????

(??????, ??????)???????????????????????? ≈

??????

??????

∑ ??????(??????

??????

, ??????

??????

).                                           (3)  

??????

??????=1

 

Анықталған интегралдарды Монте – Карло әдісімен жуықтап есептеу үшін 

қолданылатын 

формула: 

∫ ??????(??????)????????????

??????

??????

??????(?????? − ??????)

≈

??????

??????

 

Ұқсастық бойынша еселі интеграл үшін 

??????

(?????? − ??????)(?????? − ??????)

≈

??????

??????

, 

ретінде жазуға болады. Мұндағы: ?????? − ?????? аймағының ауданы. Осыдан 

?????? ≈

??????(?????? − ??????)(?????? − ??????)

??????

                                                    (4) 

(3)және(4)  формулалар  теңдігін  ескере  отырып  қос  интегралдарды  жуықтап 

есептеу формуласын аламыз: 

 

∬ ??????

??????

(??????, ??????)???????????????????????? ≈

(?????? − ??????)(?????? − ??????)

??????

∑ ??????(??????

??????

, ??????

??????

).                          (5) 

??????

??????=1

 

(5)  формула  көмегімен  қос  интегралдарды  жуықтап  есептеу  үшін  есептік 

кестені пайдаланған ынғайлы: [2] 

 

?????? 

 

 

??????

??????

 

 

??????

??????

 

 

??????

??????

= ?????? + (?????? − ??????)??????

??????

 

 

??????

??????

= ?????? + (?????? − ??????)??????

??????

 

 

??????

??????

= ??????

1

(??????

??????

) 

 

??????

??????

= ??????

2

(??????

??????

) 

 

??????(??????

??????

, ??????

??????

) 

1 

2 

. 

. 

. 

?????? 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

(??????

1

) 

??????

1

(??????

2

) 

. 

. 

. 

??????

1

(??????

??????

) 

??????

2

(??????

1

) 

??????

2

(??????

2

) 

. 

. 

. 

??????

2

(??????

??????

) 

??????(??????

1

, ??????

1

) 

??????(??????

2

, ??????

2

) 

. 

. 

. 

??????(??????

??????

, ??????

??????

) 

 

??????

??????

(1 ≤ ?????? ≤ ??????)мәндерінен ??????

??????

≤ ??????

??????

≤ ??????

??????

шартын қанағаттандыратын мәндерді 

тандаймыз. Олардың саны ?????? − ге тең. [3] 

б) Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу формуласын 

∫ ??????(??????)????????????

??????

 ??????

≈

(?????? − ??????)????????????

??????

                                                        (6) 

 

∬ ??????(??????, ??????)????????????????????????,

??????: ?????? ≤ ?????? ≤ ??????, ??????

1

(??????) ≤ ?????? ≤ ??????

2

(??????)интегралыүшінжалпылап

??????

 

жазайық.?????? келесі шартты қанағаттандыратындай белгілейміз?????? ≥ max ??????(??????, ??????) 

?????? ≤ ?????? ≤ ??????

 

?????? ≤ ?????? ≤ ?????? 

251 

 

∬ ??????(??????, ??????)???????????????????????? қосинтегралы?????? ≤ ?????? ≤ ??????,

??????

??????

1

(??????) ≤ ?????? ≤ ??????

2

(??????), 0 ≤ ?????? ≤ ??????(??????, ??????) 

теңсіздіктерімен  анықталатын  цилиндрлік  дененің  ??????  көлемін  білдіреді.  Бұл 

цилиндрлік  дене ?????? ≤ ?????? ≤ ??????, ?????? ≤ ?????? ≤ ??????, 0 ≤ ?????? ≤ ??????теңсіздіктермен  анықталатын 

параллелепипедтің ішінде орналасқан.  

??????, ??????, ?????? 

 айнымалыларын 

?????? = ?????? + (?????? − ??????)??????, ?????? = ?????? + (?????? − ??????)??????, ?????? =

???????????? формулаларының  көмегімен  ауыстырамыз.  Осындай  түрлендіруден 

соң

??????

аймағы 

0 ≤ ?????? ≤ 1,

??????

1

(??????)−??????

??????−??????

≤ ?????? ≤

??????

2

−??????

??????−??????

, 0 ≤ ?????? ≤ 1

теңсіздіктермен 

анықталатын  ??????  аймағына  ауысады.  ??????  аймағы  ?????? = 0, ?????? = 1, ?????? = 0, ?????? = 1, ?????? =

0, ?????? = 1түзулерімен шектелетін бірлік шаршысының ішінде орналасқан. Яғни, 

?????? = (?????? − ??????)(?????? − ??????) ∙ ?????? ∬ ??????(??????, ??????)????????????????????????

∆

, 

мұндағы:  ??????(??????, ??????) =

1

??????

 ??????[?????? + (?????? − ??????)??????, ?????? + (?????? − ??????)??????], ал  ∆ −  ??????  аймағынан 

айнымалына ауыстыру көмегімен алынған аймақ. [3] 

Бірлік  шаршысында  бірқалыпты  үлестірілген  кездейсоқ  нүктелер 

(??????

1

; ??????

1

; ??????

1

), (??????

2

; ??????

2

; ??????

2

), … , (??????

??????

; ??????

??????

; ??????

??????

)  жиынын  қарастырайық.  ∆  аймағына 

кіретін  нүктелер  санын ?????? арқылы  белгілейік.  Кездейсоқ  нүктелер  бірқалыпты 

үлестірілгендіктен 

??????

??????

ықтималдылықб−ша

→                ∬ ??????(??????, ??????)????????????????????????, немесе ∬ ??????(??????, ??????)???????????????????????? ≈

??????

??????

.

∆

∆

 

?????? және??????айнымалыларына оралатын болсақ, қос интегралдарды Монте – Карло 

әдісімен жуықтап есептеу формуласын аламыз: 

∬ ??????

??????

(??????, ??????)???????????????????????? ≈

(?????? − ??????)(?????? − ??????)????????????

??????

.                                  (7) 

(7) формула үшін есептік кесте мынадай болады: [2] 

 

?????? 

 

 

??????

??????

 

 

??????

??????

 

 

??????

??????

 

 

??????

??????

= ?????? + (?????? − ??????)??????

??????

 

 

??????

??????

= ?????? + (?????? − ??????)??????

??????

 

 

??????

??????

= ????????????

??????

 

 

??????

??????

= ??????

1

(??????

??????

) 

 

??????

??????

= ??????

2

(??????

??????

) 

 

??????

??????

= ??????(??????

??????

, ??????

??????

) 

1 

2 

. 

. 

. 

?????? 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

 

??????

2

 

. 

. 

. 

??????

??????

 

??????

1

(??????

1

) 

??????

1

(??????

2

) 

. 

. 

. 

??????

1

(??????

??????

) 

??????

2

(??????

1

) 

??????

2

(??????

2

) 

. 

. 

. 

??????

2

(??????

??????

) 

??????(??????

1

, ??????

1

) 

??????(??????

2

, ??????

2

) 

. 

. 

. 

??????(??????

??????

, ??????

??????

) 

?????? саны  келесідей  табылады: ??????

??????

(?????? = 1, 2, … , ??????)  мәндерінің  ішінен  теңдікті 

қанағаттандыратын мәндерді алу қажет: 

??????

??????

≤ ??????

??????

≤ ??????

??????

                                                           (8) 

Тиісінше ??????

??????

мәнін 

қанағаттандыратын  ??????

??????

 мәндері 

арасынан 

шарт 

орындалатындай мәндерді аламыз: 

??????

??????

< ??????

??????

                                                              (9) 

??????

??????

= ??????(??????

??????

, ??????

??????

)

функциясының барлық мүмкін мәндерді табу орынсыз, тек (8) 

формуланы қанағаттандыратын ??????

??????

 мәндері тиісті екендігін ескереміз. [1] 

в)  ?????? −  еселі  интегралдар  үшін  ұқсас  қатынас  бойынша  (5)  және  (6) 

формула мынадай түрде беріледі:  

252 

 

∬ … ∫ ??????(??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

)????????????

1

????????????

2

… ????????????

??????

≈

????????????

??????

∏(??????

??????

− ??????

??????

),

??????

??????=1

??????

               (10) 

??????

 аймағы 

?????? −

өлшемді 

параллелепипедке 

тиісті. 

Нүктелер 

координаталары ??????  теңсіздіктерін ??????

??????

≤ ??????

??????

≤ ??????

??????

(?????? = 1, 2, … , ??????) қанағаттандырады, 

ал 

??????(??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

)

функциясы 

0 ≤ ??????(??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

) ≤ ??????

 шартын 

қанағаттандырады және ?????? аймағында үзіліссіз. [1] 

Монте  –  Карло  әдісіне  келетін  болсақ,  келтірілген  мысалдар 

иллюстрациялық сипатта.[2] 

Есеп: 

∭(?????? + ?????? + 2??????)????????????????????????????????????

??????

 интегралын  ??????: 1 ≤ ?????? ≤ 3, 0 ≤ ?????? ≤ ??????,         

?????? + ?????? ≤ ?????? ≤ ?????? + 2?????? аймағында Монте –Карло әдісімен жуықтап есептеңіз.[2] 

Шешуі: ??????: 1 ≤ ?????? ≤ 3, 0 ≤ ?????? ≤ ??????, ?????? + ?????? ≤ ?????? ≤ ?????? + 2?????? 

Монте – Карло әдісінің еселі интегралдары жуықтап есеутеп формуласы: 

?????? ≈ ∬ … ∫ ??????(??????

1

, ??????

2

, … , ??????

??????

)????????????

1

????????????

2

… ????????????

??????

≈

????????????

??????

∏(??????

??????

− ??????

??????

),

??????

??????=1

??????

       ?????? = 3 

 

Үш еселі интегралға келтіретін болсақ: ?????? ≈

(??????−??????)(??????−??????)(ℎ−??????)????????????

??????

. 

мұндағы:?????? = 1, ?????? = 3, ?????? = 0, ?????? = 3, ?????? = 1, ℎ = 9, ?????? = max(?????? + ?????? + 2??????) = 24 

1 ≤ ?????? ≤ 3 

0 ≤ ?????? ≤ 3 

1 ≤ ?????? ≤ 9 

??????

??????

= ?????? + (?????? − ??????)??????

??????

,

??????

??????

= ?????? + (?????? − ??????)??????

??????

, ??????

??????

= ?????? + (ℎ − ??????)??????

??????

, ??????

??????

= 24??????

??????

 

формулалары бойынша айнымалыларды ауыстырамыз. 

??????

??????

??????

??????

??????

??????

??????

??????

 - кездейсоқ сандар, еркін түрде  арнайы кестеден алынады.  

Кездейсоқ сандар кестесінен 80 мән (N=20) алынады.  Формула бойынша 

кестені есептейміз: 

 

 

 

?????? 

 

 

 

??????

??????

 

 

 

 

??????

??????

 

 

 

 

??????

??????

 

 

 

 

??????

??????

 

 

 

 

??????

??????

 

 

 

 

??????

??????

 

 

 

 

??????

??????

 

 

 

 

??????

??????

 

??????

??????

=

0

 

??????

??????

=

??????

??????

 

??????

??????

=

??????

??????

+

??????

??????

 

??????

??????

=

??????

??????

+

2

??????

??????

 

 

 

 

2??????

??????

 

??????

??????

=

=

??????

??????

+

??????

??????

+

2

??????

??????

 

253 

 

 

1  

2 

3  

4  

5  

6  

7  

8  

9  

10 

11 

12 

13 

14 

15 

16 

17 

18 

19  

20 

 

0,165 

0,248 

0,168 

0,142 

0,291 

0,819 

0,347 

0,259 

0,193 

0,729 

0,205 

0,568 

0,176 

0,919 

0,273 

0,339 

0,263 

0,161 

0,142 

0,463 

 

0,617 

0,960 

0,261 

0,486 

0,473 

0,064 

0,151 

0,096 

0,732 

0,102 

0,562 

0,020 

0,896 

0,691 

0,876 

0,910 

0,131 

0,485 

0,321 

0,251 

 

0,369 

0,652 

0,189 

0,233 

0,645 

0,870 

0,912 

0,019 

0,253 

0,222 

0,851 

0,051 

0,453 

0,155 

0,690 

0,789 

0,389 

0,535 

0,969 

0,596 

 

0,069 

0,367 

0,703 

0,424 

0,514 

0,256 

0,191 

0,854 

0,352 

0,188 

0,647 

0,649 

0,546 

0,181 

0,494 

0,908 

0,438 

0,090 

0,091 

0,784 

 

1,330 

1,496 

1,336 

1,284 

1,582 

2,638 

1,694 

1,518 

1,386 

2,458 

1,410 

2,136 

1,358 

2,838 

1,546 

1,678 

1,526 

1,322 

1,284 

1,926 

 

1,851 

2,880 

0.783 

1,458 

1.419 

0.192 

0.453 

0.288 

2,196 

0.306 

1,686 

0.060 

2,688 

2.073 

2,628 

2,730 

0.393 

1,455 

0.963  

0.753 

 

3,952 

6,216 

2.512 

2,864 

6,160 

7,960 

8,296 

1.152 

3,024 

2.776 

7,808 

1,408 

4,624 

2,240 

6,520 

7,312 

4,112 

5,280 

8,752 

5,768 

 

1,656 

8,080 

16,872 

10,176 

12,336 

6,144 

4,5584 

20,496 

8,448 

4.512 

15,528 

15,576 

13,104 

4,344 

11,856 

21,792 

10,512 

2,160 

2,184 

18,816 

 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

 

1,330 

1,496 

1,336 

1,284 

1,582 

2,638 

1,694 

1,518 

1,386 

2,458 

1,410 

2,136 

1,358 

2,838 

1,546 

1,678 

1,526 

1,322 

1,284 

1,926 

 

 

 

2,119 

 

3,001 

2,830 

2,147 

1,806 

 

2,764 

 

2,196 

 

4,911 

 

 

1,919 

 

2,247 

2,679 

 

 

 

2,902 

 

4,420 

3,022 

2,600 

2,094 

 

3,070 

 

2,256 

 

6,984 

 

 

2,312 

 

3,210 

3,432 

 

 

 

5,024 

 

 

 

 

2,304 

 

5,552 

 

 

 

7,143 

 

 

 

 

4,110 

 

8,316 

Ең алдымен, ??????

??????

≤ ??????

??????

≤ ??????

??????

 шартын қанағаттандыратын 

??????

??????

(1 ≤ ?????? ≤ 20) мәнін 

табамыз. Олардың саны 11  – ге тең. Содан соң 11 сәйкес санның ішінен  ??????

??????

≤

??????

??????

≤ ??????

??????

шартын қанағаттандыратын ??????

??????

 мәнін  табамыз.  3  мән  табылды.  Соныңда, 

сәйкес  3  мәннің  ішінен ??????

??????

≤ ??????

??????

 шартын  қанағаттандыратын  мәнді  таңдаймыз. 

Осыдан, ?????? = 1. 

Содан,?????? ≈

(??????−??????)(??????−??????)(ℎ−??????)????????????

??????

=

(3−1)(3−0)(9−1)∙1∙24

20

= 57,6 

Интегралдың дәл мәнін есептейміз: 

??????: 1 ≤ ?????? ≤ 3,

0 ≤ ?????? ≤ ??????,

?????? + ?????? ≤ ?????? ≤ ?????? + 2?????? 

?????? = ∭(?????? + ?????? + 2??????)???????????????????????????????????? = ∫ ????????????

3

1

∫ ????????????

??????

0

∫ (?????? + ?????? + 2??????)???????????? =

??????+2??????

??????+??????

??????

∫ ????????????

3

1

 

∫(???????????? + ???????????? + ??????

2

)

??????

0

|

?????? + 2??????

?????? + ??????

???????????? = ∫ ????????????

3

1

∫[??????(?????? + 2??????) + ??????(?????? + 2??????) + (?????? + 2??????)

2

−

??????

0

 

−??????(?????? + ??????) − ??????(?????? + ??????) − (?????? + ??????)

2

]???????????? = ∫ ????????????

3

1

∫[??????

2

+ 2???????????? + ???????????? + 2??????

2

+ ??????

2

+

??????

0

 

+4???????????? + 4??????

2

− ??????

2

− ???????????? − ???????????? − ??????

2

− ??????

2

− 2???????????? − ??????

2

]???????????? = ∫ ????????????

3

1

∫(3???????????? +

??????

0

 

+4??????

2

)???????????? = ∫ (

3????????????

2

2

+

4??????

3

3

) |

??????

0

???????????? = ∫ (

3

2

??????

3

+

4

3

??????

3

) ???????????? =

17

6

∫ ??????

3

????????????

3

1

3

1

3

1

= 

254 

 

=

17

4

∙

??????

4

4

|

3

1

=

17

6

(

81

4

−

1

4

) =

17

6

∙

80

4

=

17

6

∙ 20 =

340

6

≈ 56,667 

Есептеу қателігін есептейік: 

?????? =

57,6 − 56,667

56,667

∙ 100% =

0.933

56,667

∙ 100% ≈ 1,6% 

жүктеу/скачать 11,58 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: