2.5. Моделирование механических систем
на графах связей
При моделировании механических систем естественно интерпретировать усилие как силу в поступательном движении или момент силы во вращательном движении, а поток – как скорость (линейную или угловую . Тогда уравнение инерционности представляет собой не что иное, как второй закон Ньютона
, (2.21)
где – масса поступательно движущегося тела, или
, (2.22)
где – момент инерции тела.
Узел общего потока (1-узел) идеально подходит для того, чтобы отобразить принцип Даламбера: равенство нулю суммы всех внешних сил и силы инерции (рис. 2.10). Этот граф является, в сущности, моделью динамики тела с массой под действием суммы сил, которые могут быть как активными внешними силами, так и реакциями связей с другими телами механической системы.
Рис. 2.10. Графическая интерпретация
принципа Даламбера
Одновременно 1-узел можно использовать в качестве узла жесткого соединения твердых тел, при котором они, по существу, становится единым телом.
Действительно, 1-узел – это узел общего потока, что в принятой терминологии соответствует общей (равной) скорости для всех связей 1-узла, а равенство скоростей означает движение двух тел как единого целого. Два эквивалентных графа на рис. 2.11 иллюстрирует такую связь твердых тел с массами и .
Отметим, что граф, приведенный на рис. 2.11, а, наглядно демонстрирует также третий закон Ньютона о том, что действие равно противодействию. Действительно, сила действует на оба тела, но с противоположным знаком.
Рис. 2.11. Жесткое соединение тел
В противоположность 1-узлу узел общего усилия (0-узел) можно считать узлом свободного соединения твердых тел. На рис. 2.12 показано, что соединение двух тел через 0-узел позволяет каждому телу иметь свою скорость ( и соответственно). При этом третья связь 0-узла характеризует относительное движение тел:
. (2.23)
Поэтому 0-узел можно использовать при моделировании упругих связей и трения, которые появляются лишь при наличии относительного движения двух тел.
Рис. 2.12. Подвижное соединение тел
Рассмотрим физический смысл других элементов ГС, которые при моделировании механических систем связываются с 0-узлом.
Уравнение емкости для поступательного движения приобретает вид:
. (2.24)
Если его проинтегрировать, то можно получить привычную форму записи закона Гука
, (2.25)
где – жесткость пружины;
– податливость, т.е. величина, обратная жесткости;
– деформация пружины.
Учитывая свойства 0-узла, пружину можно представить графом, приведенным на рис. 2.13, а.
Как уже отмечалось выше, 0-узел необходим и для моделирования трения между двумя движущимися относительно друг друга твердыми телами (рис. 2.13, b). Уравнение элемента потерь при вязком трении может иметь вид
, (2.26)
где – коэффициент вязкого трения.
В общем случае зависимость силы трения от скорости может быть и нелинейной. Узел общего усилия с элементом потерь может отражать не только естественно существующее трение, но и специально вводимые в некоторые механизмы устройства: демпферы, амортизаторы.
Подобно упругости и трению моделируются в механических системах источники энергии (рис. 2.13, c). В большинстве случаев источник механического движения, воздействуя на некоторое тело, одновременно создает равное, но противоположное по знаку усилие на свою опору.
В относительном движении могут одновременно проявляться несколько эффектов. Например, при моделировании реальных пружин иногда требуется учитывать потери энергии за счет внутреннего трения в материале пружины. Граф пружины с внутренним трением можно представить параллельно соединенными моделями идеальной пружины и демпфера (рис. 2.13, d) или эквивалентным графом, который приведен на рис. 2.13, e. Очевидно, что элементы могут соединяться подобным образом в любых сочетаниях, кроме одновременного использования и .
Рис. 2.13. Подвижное соединение твердых тел:
a – идеальная пружина; b – источник механической энергии;
c – демпфер; d – пружина с внутренним трением
Рассмотрим моделирование поступательного движения трех вагонеток, из которых две, массой и , жестко связаны друг с другом, а между первой и второй вагонетками упруго-вязкая связь. В колесных парах присутствует трение . Вагонетки приводятся в движение человеком, который прикладывает к первой вагонетке силу .
Источник усилия в исходном графе подключен через 0-узел. В результате, человек прикладывает одно и то же усилие как к вагонетке, так и к опоре, в данном случае, например, к Земле. Величина силы трения в колесных парах пропорциональна разности между скоростью вагонетки и скоростью опоры.
Строго говоря, неподвижное основание тоже представляет собой твердое тело с очень большой массой и может быть представлено в графе 1-узлом с подключенной к нему инерционностью. Однако этот узел является узлом общего потока (скорости), принимаемого равным нулю. Поэтому связи с неподвижным основанием, а также все связи 1-узлов, соединенных с неподвижным основанием, имеют нулевую мощность и, следовательно, могут быть исключены из графа. Таким образом, граф, полученный после эквивалентных преобразований, приведен на рис. 2.14, с.
Свойство связей с неподвижным основанием в механических системах аналогично свойству связей с общей точкой (массой) в электрических системах. Различие состоит только в том, что в ГС электрической системы исключается 0-узел (узел общего нулевого потенциала). Получить полную аналогию можно было бы, применяя при моделировании механических систем дуальную интерпретацию: считать силу потоком, а скорость усилием. В этом случае инерционность в графах заменяется на емкость , 0-узлы на 1-узлы и наоборот. Однако вряд ли достоинства такого способа интерпретации оправдывают появляющиеся терминологические неудобства.
Рис. 2.14. Граф механической системы:
a – кинематическая схема; b – исходный граф; c – упрощенный граф
Приведенный на рис. 2.15 пример иллюстрирует моделирование вертикальных движений подвески автомобиля.
Рис. 2.15. Механическая система с поступательным перемещением
Граф связей приведен на рис. 2.15, b. Здесь предполагается, что источник усилия движется вместе с массой . Это может быть сила инерции, либо, например, реактивный двигатель. Как и в предыдущем примере, модель b включает неподвижное основание, а в модели c это основание исключено со всеми своими связями.
Еще один простой пример моделирования рычага представлен на рис. 2.16. Сила действует на массу , а та, в свою очередь, через рычаг приводит в движение массу . Обе массы движутся поступательно с трением. В данном случае рычаг моделируется с помощью элемента «Трансформатор».
Рис. 2.16. Кинематическая схема и граф рычага
Рассмотренная методика моделирования одномерного поступательного движения механических систем может быть без труда распространена и на системы с вращательным движением.
В этом случае роль силы играет момент силы , линейной скорости – угловая скорость , массы – момент инерции и т.д.
В уравнениях (2.21)–(2.26) изменятся только обозначения и размерности переменных и констант.
Приведенный на рис. 2.17 пример иллюстрирует построение ГС для узла передачи вращательного движения, включающего одну ступень редуктора с зубчатыми колесами и упругие валы
Рис. 2.17. Механическая вращающаяся система
Способ моделирования зубчатого соединения в рассмотренном примере справедлив, если основание неподвижно.
В случае, когда редуктор установлен на подвижном основании, как показано на рис. 2.18, а, ГС должен учитывать угловую скорость основания .
Рис. 2.18. Модель с подвижным основанием
Граф на рис. 2.18, b показывает связь между абсолютными скоростями и , а граф на рис. 2.18, c – связь между скоростями колес зубчатого соединения , относительно основания. Последний граф можно преобразовать к более простому виду, приведенному на рис. 2.18, d. Здесь дополнительно учтено также трение в опорах валов.
Достарыңызбен бөлісу: |
