Реферат по предмету математика на тему "Известные ученые в области математики"
жүктеу/скачать 69,09 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Немного из трудов о теории инвариантов
| ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ:
Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала, и понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. Кроме упомянутых выше теорем Гёделя, гибельными ударами по программе Гильберта стали результаты Гёделя и Тарского (1931—1933) о невозможности для формальной теории определить собственное понятие истины, отличное от простой выводимости, а также теорема Лёвенгейма — Скулема, согласно которой финитные теории первого порядка слишком слабы, чтобы контролировать кардинальное число своих моделей (в логике второго порядка положение иное). Тезис Чёрча — Тьюринга, обсуждавшийся в этот же период, ограничил логику первого порядка и в вопросе алгоритмической вычислимости. Классические «Основания геометрии» Гильберта (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. Хотя идея построения модели одной математической структуры на базе другой использовалась и до Гильберта (например, У. Р. Гамильтоном), только Гильберт реализовал её с исчерпывающей полнотой. Он не только дал полную аксиоматику геометрии, но также детально проанализировал эту аксиоматику, доказав (с помощью ряда остроумных моделей) независимость каждой из своих аксиом. Гильберт также создал метаматематику и чётко обозначил требования к идеальной аксиоматической теории: непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Формализм Гильберта вызвал враждебную критику ряда крупных математиков, включая Фреге и Пуанкаре, которые придерживались интуиционистских позиций и считали, что аксиомы должны быть интуитивными истинами, а любой другой подход есть «шарлатанство». Немного из трудов о теории инвариантов: Инварианты (от лат. invarians, родительный падеж invariantis — неизменяющийся), числа, алгебраические выражения и т. п., связанные с каким-либо математическим объектом и остающиеся неизменными при определенных преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в которой описывается объект. Чтобы охарактеризовать какую-либо геометрическую фигуру и её положение с помощью чисел, обычно приходится вводить некоторую вспомогательную систему отсчёта или систему координат. Полученные в такой системе числа x1, x2,..., xn характеризуют не только изучаемую геометрическую фигуру, но и её отношение к системе отсчёта, и при изменении этой системы фигуре будут отвечать другие числа x¢1, х¢2,..., х¢n. Поэтому если значение какого-либо выражения f (x1, x2,..., xn) характерно для фигуры самой по себе, то оно не должно зависеть от системы отсчёта, т. е. должно выполняться соотношение: f (x1, x2,..., xn) = f (x¢1, x¢2,..., x¢n). Все выражения, удовлетворяющие соотношению выше, называются инвариантами. Например, положение отрезка M1M2 на плоскости определяется в прямоугольной системе координат двумя парами чисел x1, y1 и x2, y2 — координатами его концов M1 и M2. При преобразовании координатной системы (путём смещения её начала и поворота осей) точки M1 и M2 получают другие координаты x¢1, у¢1 и x¢2, у¢2, однако (x1 — x2)2 + (y1 — y2)2 = (x¢1 — x¢2)2 + (y¢1 — у¢2)2. Поэтому выражение (x1 — x2)2 + (y1 — — y2)2 является И. преобразования прямоугольных координат. Геометрический смысл этого И. ясен: это квадрат длины отрезка M1M2. Кривая 2-го порядка в прямоугольной системе координат задаётся уравнением 2-й степени ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0, коэффициенты которого можно рассматривать как числа, определяющие кривую. При преобразовании прямоугольных координат эти коэффициенты изменяются, но выражение
Взято с источника https://www.booksite.ru/fulltext/1/001/008/053/710.htm жүктеу/скачать 69,09 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|