Реферат тақырыбы: Материялық нүктенің іргерімелі қозғалысы. Тексерген: Үргенішбеков А. Т. Орындаған: Исаев Б. Қызылорда
Шредингер теңдеуін шешу мысалдары
жүктеу/скачать 137,87 Kb.
|
| 2.Шредингер теңдеуін шешу мысалдары
Шредингер теңдеуі, толқындық теңдеу – релятивистік емес кванттық механиканың негізгі теңдеуі. Мұны алғаш рет Э.Шредингер тапты (1926). Ньютонның механикадағы қозғалыс теңдеулері мен Максвелл электрдинамикадағы теңдеулері классик. физикада қандай түбегейлі рөл атқарса, Шредингер теңдеуі кванттық механикада сондай рөл атқарады. Шредингер теңдеуі толқындық функция (пси функция) арқылы кванттық нысандар күйінің уақыт бойынша өзгеруін сипаттайды. Егер бастапқы кездегі толқындық функцияның мәні 0 белгілі болса, онда Шредингер теңдеуін шешу арқылы осы функцияның кез келген уақыт мезетіндегі мәнін (x, y, z, t) табуға болады. V(x, y, z, t) потенциалы тудыратын күштің әсерінен қозғалатын, массасы m бөлшек үшін Шредингер т. мына түрде жазылады: , мұндағы d2/dx2+d2/dy2+d2/dz2 Лаплас операторы, =h/2 – Планк тұрақтысы. Бұл теңдеу Шредингердің уақытқа тәуелді теңдеуі деп аталады. Егер V уақытқа тәуелсіз болса, онда Шредингер теңдеуі төмендегі түрде жазылады: , мұндағы Е-кванттық жүйенің толық энергиясы. Бұл теңдеу Шредингердің стационер күйдегі теңдеуі деп аталады. Кеңістіктің шектелген аумағында қозғалатын кванттық жүйелер (бөлшектер) үлесі Шредингер теңдеуінің шешімі энергияның кейбір дискретті (үздікті) мәндерінде n1, n2, …, nn, … ғана болады; бұл қатардың мүшелері бүтін кванттық сандармен (n) нөмірленеді. Әрбір n-нің мәніне n (x, y, z) толқындық функциясы сәйкес келеді. Толқындық функцияның толық жиынтығы n1, n2, …, n, белгілі болса, кванттық жүйенің барлық параметрлерін анықтауға болады. Шредингер теңдеуі табиғаттағы микробөлшектердің бөлшектік-толқындық қасиеттерін матем. өрнек арқылы толық сипаттайды және ол сәйкестік принциптерін қанағаттандырады. Бұл теңдеу шекті жағдайда (де Бройль толқынының ұзындығы қарастырылып отырған қозғалыстың өлшемдерінен әжептәуір кіші болғанда) бөлшектердің қозғалысын классик. механика заңдарымен сипаттауға мүмкіндік береді. Шредингер теңдеуінен қозғалысты траектория арқылы сипаттайтын классик. механика теңдеулеріне ауысу толқындық оптикадан геометрик. оптикаға ауысуға ұқсас. Матем. көзқарас бойынша Шредингер теңдеуі толқындық теңдеуге жатады және өзінің құрылымы бойынша периодты әсер ететін жіңішке ішектің тербелісін сипаттайтын теңдеуге ұқсас. Бірақ ішектің тербелісін сипаттайтын теңдеудің шешімі берілген уақыт мерзіміндегі ішектің геометр. пішінін беретін болса, ал Шредингер теңдеуі шешімінің тікелей физикалық мағынасы болмайды. Дегенмен толқындық функция квадратының n(x, y, z, t)/2 физикалық мағынасы бар. Ол бөлшектің температурасы ӘС уақыт мезетіндегі координаттары x, y, z, нүктенің төңірегінде бірлік көлемде болу ықтималдылығын анықтайды. Ықтималдықтарды қосу теоремасына сүйеніп микробөлшекті температурасы ӘС уақыт кезеңінде шекті V көлемде мына өрнек арқылы табуға болады: мұндағы W – микробөлшектің V көлемде орналасу ықтималдылығы.Бірөлшемді шексіз терең потенциалдық шұңқырдағы микробөлшектің күйі. Массасы m бөлшек Ох осі бойымен ғана қозғалсын. Бөлшектің қозғалысы шұңқырдың қабырғаларымен шектеулі, қабырғалардың координаталары x=0және x=L. Мұндай өрістегі бөлшектің потенциалдық энергиясы 11.1 - суретте көрсетілген. Бөлшектің функциясых координатасына ғана тәуелді болғандықтан, Шредингердің (11.4) стационарлық теңдеуі мына түрде ж азылады (11.5) Бөлшек шұңқырдан шыға алмайды, сондықтан және аймақтарда . Пси-функцияның үздіксіздік шартынан шығатыны, шұңқырдың шекараларында ол нөлге тең болуы қажет 11.1 сурет . (11.6) Шекаралық шарт - (11.6) теңдеуі (11.5) теңдеуіне қосымша. Шұңқырдың шектерінде (бұл аймақта ) (11.5) өрнегі мына түрде жазылады . (11.7) Бұл теңдудің шешімін табу дегеніміз, бөлшектің (знергетикалық спектр) толық энергиясының мүмкін мәндерін және осы мәндерге сәйкес келетін толқындық функциясын табу. Жоғарыдағы (11.7) теңдеуі – тербелістер теориясындағы белгілі теңдеу. Ол (11.6) шартты энергияның мына мәндерінде қанағаттандырады , (11.8) мұндағы - бүтін сандар. Бұл нәтиже микробөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық спектрі дискретті және бөлшек энергиясы квантталатынын көрсетеді. Ал энергияның кванттық мәндері- энергия деңгейлері, n-бас кванттық сан деп аталады. Бөлшектің меншікті функциясы (11.8) өрнегіне сәйкес, , . (11.9) Нормалау (11.2) шартынан коэффициенті табылады, 11.2 сурет және (11.9) өрнегі мына түрде жазылады . (11.10) Бөлшектің потенциалдық шұңқырдағы энергетикалық деңгейлері 11.2 –суретте (а), сонымен қатар функциясының сызбасы (б) және координатасых нүкте айналасында бөлшектің болуының (в)- ықтималдық тығыздығының сызбалары келтірілген. Кванттық және классикалық бөлшектердің айырмашылықтары 11,2- суретте сипатталған. Классикалық бөлшек шұңқырда кез-келген энергияға ие бола алады және шұңқыр түбіндегі тыныштықтағы бөлшек үшін . Ал кванттық бөлшек спектрі дискретті, оның ең аз энергиясыn=1 мәніне сәйкес келеді және ол нөлге тең болмайды. Кванттық бөлшек тыныштықта боуы мүмкін емес. Классикалық бөлшек шұңқырдың кез келген нүктесінде болу ықтималдығы бірдей. Кванттық бөлшектің, мысалы ең төменгі n=1 энергетикалық деңгейде шұңқырдың ортаңғы бөлігінде болу ықтималдығы ең жоғары болады, ал шұңқырдың шет жағында кез-келген деңгейде бөлшектің табылу ықтималдығының тығыздығы нөлге тең. 3. Туннельдік эффект. Туннельдік эффект – классикалық физиканың заңдарына қайшы келетін, кеңістіктің аймақтарынан микробөлшектердің өтіп кетуі. Бөлшектің (бірөлшемді) х осі бойымен тікбұрышты қарапайым потенциалдық тосқауылдан өтуін қарастырамыз (11.3 суретті қара). Егер бөлшектердің толық энергиясы потенциалдық тосқауылдың биіктігінен аз болса, онда нүктесінде ол шағылады. Шредингер теңдеуінен шығатыны аймақта бөлшектің бөгеттен өту ықтималдығынөлден өзгеше. Бөгеттің сол жағында түскен және шағылған толқын, ал оң жағында тек өткен толқын болады. Бөгет ішінде -функциясы толқындық сипатта болмайды, ықтималдылық экпоненциалды кемиді. 4.Дирак теңдеуі Кванттық механика ұқсас бөлшектерді ажырата алмау принципін негізге алады. өлшемді кеңістік фазалық кеңістік деп аталады. Осы кеңістікті элементар ұяшықтарға бөлеміз. Оның көлемі , мұндағы - барлық бөлшектер координаталары, -импульстердің проекциялары. Мұндағы -бөлшектің фазалық кеңістіктен табылу ықтималдылығы. Бозондардан тұратын идеал газ- бозо газ Бозе-Эйнштейн статистикасына бағынады: -химиялық потенциал. Фермиондардан тұратын идеал газ- ферми газ Ферми-Дирак статистикасына бағынады: Квазибөлшектер элементар қозулар, олар өздерін микробөлшек сияқты ұстайды. Олар вакуумда пайда болмайды, олар тек қана кристалда өмір сүреді. Квазибөлшектер импульстері сақталмайды, олар кристалдық торға соқтығысқанда импульстерін дискретті үлестермен береді. Қорытынды Классикалық механика үшін Ньютонның қозғалыс теңдеулері қандай болса, кванттық механикаға да осындай теңдеу қажет болды. Бізге белгілі: Ньютон теңдеулері макроскопиялық денелер үшін механиканың негізгі мәселесін шешуге мүмкіндік береді . Бұл мәселе: денеге әсер ететін берілген күштер және белгілі бастапқы шарттар (дененің координаталардың бастапқы мәндері мен жылдамдығы) бойынша кез келген уақыт мезеті үшін дененің координаталары мен жылдамдығын табу, яғни дененің қозғалысын кеңістік және уақыт бойынша сипаттау. Осындай мәселені кванттық мехникаға енгізгенде микродүние бөлшектерінің екіжақтылық табиғаты бар екенін және бұл мұндай бөлшектерге координата мен жылдамдық (импульс) жайлы классикалық түсініктерді қолдану мүмкіндіктеріне шектеу қоятынын бірден ескеру керек. Де Бройль толқыны мен анықталмағандық қатыстардың ықтималдық (статистикалық) түрде түсіндірілуі кванттық механикадағы қозғалыс теңдеулерінің бөлшектердің тәжірибеде бақыланатын толқындық қасиеттерін түсіндіретіндей болу керектігін көрсетеді. ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 1. Давыдов А.С. Квантовая механика.- М., 1973. 2. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики.- М., 1976. 3. Шпольский Э.В. Атомная физика.- Т. 2. - М., 1974. 4. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.- М., 1974. 5. Қожамқұлов Т.Ә., Жүсіпов М.Ә., Имамбеков О.И. Кванттық механика. –Алматы, 2006. 6. Қожамқұлов Т.Ә., Имамбеков О.И. Кванттық механика есептерінің Қжинағы.- Алматы, 2006. Ќосымша: 7. Жусупов М.А., Ибраева Е.Т. Введение в математический аппарат квантовой механики.- Алма-Ата: КазГУ, 1986. 8. Жусупов М.А., Ибраева Е.Т. Уравнение Шредингера и его простейшие применения.- Алма-Ата: КазГУ, 1986. 9. Жусупов М.А., Ибраева Е.Т. Системы тождественных частиц в квантовой механике.- Алма-Ата: КазГУ, 1987. 10. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике.- М., Наука, 1981. жүктеу/скачать 137,87 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|