Решение неравенств второй степени Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

3. 
   Если d<0 то график квадратного трехчлена f(x) = ах² +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.
   
4. 
   
   

1. 
   Пусть f(x) = 3х² -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;
   
2. 
   Найдем нули функции.
   

D=100,

2. 
   х² >-4x-5;
   

Пусть f(x)=х² +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

X²+4x+5=0,

D=-4 Нет нулей.

1. 
   Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.
   
2. 
   Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.
   
3. 
   Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:
   

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4. 
   Пример. Решить систему неравенств:
   

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

Пусть требуется решить неравенство (x-α₁)(x-α₂)...(x-α_n)>0, где α₁, α₂...α_n-1, α_n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α₁ < α₂ <...< α_n-1 < α_n. Для решения неравенства (x-α₁)(x-α₂)...(x‑α_n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α₁, α₂...α_n-1, α_n; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α_n, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α₁)(x‑α₂)...(x-α_n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α₁)(x-α₂)...(x‑α_n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1. 
   Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.
   

2. 
   Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.
   

Решение неравенств методом интервалов

откуда x = 29 и x = 13.

Пусть f(x)=х²+х-2 тогда найдем такие х при которых f(x)<0.

х³-4х<0

x(x²-4)<0

x(x-2)(x+2)<0

Можно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой |a| означает расстояние точки а координатной прямой от начала отсчета О, а |a-b| означает расстояние между точками а и b на координатной прямой.

Можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме. Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства f(x)>g(x) и (f(x))²>(g(x))² равносильны.

Можно использовать свойства неравенств, содержащих переменную под знаком модуля: