К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств:
sinx>a, sinx≥a, sinx, sinx≤a,
cosx>a, cosx≥a, cosx, cosx≤a,
tanx>a, tanx≥a, tanx, tanx≤a,
cotx>a, cotx≥a, cotx, cotx≤a.
Здесь x является неизвестной переменной, а a может быть любым действительным числом.
Деление на 4 группы проходит по следующей схеме, в корзине лежат карточки с названиями тригонометрических функций: sinx, cosx, tgx, ctgx. Каждой группе дается вспомогательный конспект. Группа должна разобрать и понять новый материал. В это время учитель ходит по группам оказывая различную помощь. По истечении времени ученики перемешиваются так, чтобы в каждой группе было по одному sinx, cosx, tgx, ctgx. После чего начинается объяснение, каждый представитель объясняет остальным свое неравенство. На объяснение каждому ученику дается 5 мин.
Неравенства вида sinx>a, sinx≥a, sinx, sinx≤a
Рис.1
Рис.2
Неравенство sinx>a
При |a|≥1 неравенство sinx>a не имеет решений:
x∈∅
При a<−1 решением неравенства sinx>a является любое действительное число:
x∈R
При −1≤a<1 решение неравенства sinx>a выражается в виде
arcsina+2πnНеравенство sinx≥a
При a>1 неравенство sinx≥a не имеет решений:
x∈∅
При a≤−1 решением неравенства sinx≥a является любое действительное число:
x∈R
Случай a=1
x=π/2+2πn,n∈Z
При −1 arcsina+2πn≤x≤π−arcsina+2πn,n∈Z (рис.1).
Неравенство sinx
При a>1 решением неравенства sinxx∈R
При a≤−1 у неравенства sinx x∈∅
При −1 −π−arcsina+2πnНеравенство sinx≤a
При a≥1 решением неравенства sinx≤a является любое действительное число:
x∈R
При a<−1 неравенство sinx≤a решений не имеет:
x∈∅
Случай a=−1
x=−π/2+2πn,n∈Z
При −1 −π−arcsina+2πn≤x≤arcsina+2πn,n∈Z (рис.2).
Неравенства вида cosx>a, cosx≥a, cosx, cosx≤a
Рис.3
Рис.4
Неравенство cosx>a
При a≥1 неравенство cosx>a не имеет решений:
x∈∅
При a<−1 решением неравенства cosx>a является любое действительное число:
x∈R
При −1≤a<1 решение неравенства cosx>a имеет вид
−arccosa+2πnНеравенство cosx≥a
При a>1 неравенство cosx≥a не имеет решений:
x∈∅
При a≤−1 решением неравенства cosx≥a является любое действительное число:
x∈R
Случай a=1
x=2πn,n∈Z
При −1 −arccosa+2πn≤x≤arccosa+2πn,n∈Z (рис.3).
Неравенство cosx
При a>1 неравенство cosxx∈R
При a≤−1 неравенство cosx x∈∅
При −1 arccosa+2πnНеравенство cosx≤a
При a≥1 решением неравенства cosx≤a является любое действительное число:
x∈R
При a<−1 неравенство cosx≤a не имеет решений:
x∈∅
Случай a=−1
x=π+2πn,n∈Z
При −1 arccosa+2πn≤x≤2π−arccosa+2πn,n∈Z (рис.4).
Неравенства вида tanx>a, tanx≥a, tanx, tanx≤a
Рис.5
Рис.6
Неравенство tanx>a
При любом действительном значении a решение строгого неравенства tanx>a имеет вид
arctana+πnНеравенство tanx≥a
Для любого значения a решение неравенства tanx≥a выражается в виде
arctana+πn≤x<π/2+πn,n∈Z (рис.5).
Неравенство tanx
Для любого значения a решение неравенства tanx−π/2+πn
Неравенство tanx≤a
При любом a неравенство tanx≤a имеет следующее решение:
−π/2+πn
Неравенства вида cotx>a, cotx≥a, cotx, cotx≤a
Рис.7
Рис.8
Неравенство cotx>a
При любом a решение неравенства cotx>a имеет вид
πnНеравенство cotx≥a
Нестрогое неравенство cotx≥a имеет аналогичное решение
πn
Неравенство cotx
Для любого значения a решение неравенства cotxarccot a+πn
Неравенство cotx≤a
При любом a решение нестрогого неравенства cotx≤a находится в полуоткрытом интервале
arccot a+πn≤x<π+πn,n∈Z (рис.8).
Рефлексия этапа:
- Легко ли было отвечать на вопросы?
- Какие из вопросов вызвали затруднения?
- Что нужно сделать для улучшения результата?
Карточка 1
Карточка 2
Карточка 3
Карточка 4
Рефлексия
4 мин
What new concepts did you learn in this lesson?
What concepts are still confusing, or difficult, for you?
What is a concept you feel better about after this lesson?
Did you learn any new English words in this lesson?
Индивидуальные листы рефлексии.
Карточка 5
Домашнее задание
Карточка 6
Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?
Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?
