Решение сравнений и их приложения
жүктеу/скачать 131,78 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Доказательство. Если cаcb (mod m), то есть m/c(a-b) и число с взаимно простое с m, (с,m)=1, то m делит a-b. Следовательно, ab (mod т ). Пример.
- Пример. 8 (mod 4), но 2 (mod 4). Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель. Доказательство.
- Доказательство.
| Доказательство.
Пусть ab (mod т) и с-целое положительное число. Тогда a-b = mt и ac-bc=mtc, или acbc (mod mc). Пример. Выяснить, является ли значение выражения целым числом. Решение: Представим дроби в виде сравнений: 4 (mod 3) (mod 9) 31 (mod 27) Сложим почленно эти сравнения (свойство 2), получим 124 (mod 27) Мы видим, что 124 не делится целочисленно на 27, следовательно значение выражения тоже не является целым числом. Обе части сравнения можно разделить на их общий множитель, если он взаимно простой с модулем. Доказательство. Если cаcb (mod m), то есть m/c(a-b) и число с взаимно простое с m, (с,m)=1, то m делит a-b. Следовательно, ab (mod т). Пример. 609 (mod 17), после деления обеих частей сравнения на 3 получим: 20 (mod 17). Делить обе части сравнения на число, не взаимно простое с модулем, вообще говоря, нельзя, так как после деления могут получиться числа, несравнимые по данному модулю. Пример. 8 (mod 4), но 2 (mod 4). Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель. Доказательство. Если kakb (mod km), то k (a-b) делится на km. Следовательно, a-b делится на m, то есть ab (mod т). Пусть Р (х) — многочлен с целыми коэффициентами, а и Ь — переменные, принимающие целые значения. Тогда если ab (mod т), то Р (а) Р (b) (mod m). Доказательство. Пусть Р (х) = с0хп + с1хn-1 + ... + cn-1 x+ сn . По условию ab (mod т), тогда ak bk (mod m) при k = 0, 1, 2, …,n. Умножая обе части каждого из полученных n + 1 сравнений на cn-k, получим: cn-kak сn-k bk (mod m), где k = 0, 1, 2, …,n. Складывая последние сравнения, получим: Р (а) Р (b) (mod m). Если а (mod m) и ci di (mod m), 0 ≤ i ≤n, то (mod m). Таким образом, в сравнении по модулю m отдельные слагаемые и множители можно заменять числами, сравнимыми по тому же модулю m. Вместе с тем следует обратить внимание на то, что встречающиеся в сравнениях показатели степеней заменять таким образом нельзя: из an c(mod m) и nk(mod m) не следует, что аk с (mod m). Свойство 11 имеет ряд важных применений. В частности, c его помощью можно дать теоретическое обоснование признаков делимости. Для иллюстрации в качестве примера дадим вывод признака делимости на 3. Пример. Всякое натуральное число N можно представить в виде систематического числа: N = а010n + а1 10n-1 + ... + аn-110 + аn . Рассмотрим многочлен f (х) = а0хn+ a1xn-1 + ... + аn-1х+аn. Так как 10 1 (mod 3), то по свойству 10 f (10) f(1) (mod 3) или N = а010n + а1 10n-1 + ... + аn-110 + аn а1+ а2+…+ аn-1+ аn (mod 3), т. е. для делимости N на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр этого числа делилась на 3. §3. Системы вычетов Полная система вычетов. Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю m, образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме mq+r заставим q пробегать все целые числа. Соответственно m различным значением r имеем m классов чисел по модулю m. Любое число класса называется вычетом по модулю m по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при q=0, равный остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом. Вычет ρ, самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом. Очевидно, при r< имеем ρ=r; при r> имеем ρ=r-m; наконец, если m четное и r=, то за ρ можно принять любое из двух чисел и -m= - . Выберем из каждого класса вычетов по модулю т по одному числу. Получим т целых чисел: х1 ,…, хm. Множество {х1 ,…, хт } называют полной системой вычетов по модулю m. Так как каждый класс содержит бесчисленное множество вычетов, то можно составить бесчисленное множество различных полных систем вычетов по данному модулю т, каждая из которых содержит т вычетов. Пример. Составить несколько полных систем вычетов по модулю т = 5. Имеем классы: 0, 1, 2, 3, 4. 0 = {... -10, -5,0, 5, 10,…} 1= {... -9, -4, 1, 6, 11,…} = {... -8, -3, 2, 7, 12,…} = {... -7, -2, 3, 8, 13,…} = {... -6, -1, 4, 9, 14,…} Составим несколько полных систем вычетов, взяв по одному вычету из каждого класса: 0, 1, 2, 3, 4 5, 6, 2, 8, 9 -10, -9, -8, -7, -6 - 5, -4, -3, -2, -1 и т. д. Наиболее употребительны: жүктеу/скачать 131,78 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|