Полная система наименьших неотрицательных вычетов: 0, 1, т -1 В приведенном выше примере: 0, 1, 2, 3, 4. Такая система вычетов составляется просто: надо выписать все неотрицательные остатки, получающиеся при делении на m.
Полная система наименьших положительных вычетов(из каждого класса берётся наименьший положительный вычет):
1, 2, …,m. В нашем примере: 1, 2, 3, 4, 5.
Полная система абсолютно наименьших вычетов. Вслучае нечетного m абсолютно наименьшее вычеты представляются рядом.
-,…, -1, 0, 1,…,,
а в случае четного m каким – либо из двух рядов
+1, …, -1, 0, 1,…, ,
, …, -1, 0, 1, …,.
В приведенном примере:-2, -1, 0, 1, 2.
Рассмотрим теперь основные свойства полной системы вычетов.
Теорема 1. Любая совокупность m целых чисел:
xl ,x2 ,…,хm (1)
попарно не сравнимых по модулю m, образует полную систему вычетов по модулю m.
Доказательство.
Каждое из чисел совокупности (1) принадлежит некоторому классу.
Любые два числа xi и xj из (1) несравнимы между собой, т. е. принадлежат различным классам.
Всего в (1) m чисел, т. е. столько же, сколько имеется классов по модулю т.
Следовательно, совокупность чисел х1 ,х2 ,…,хт — полная система вычетов по модулю m.
Теорема 2. Пусть (а, т) = 1, b — произвольное целое число; тогда если х1 ,х2 ,…,хт —полная система вычетов по модулю m, то и совокупность чисел ах1 + b, ах2 + b,…, ахm + b тоже полная система вычетов по модулю m.
Достарыңызбен бөлісу: |
