Сабақ түрі: Теориялық сабақ Мақсаты: Ирроционал өрнектерді қарапайым түрлендірулер әдісі мен танысады
Ирроционал өрнектерді қарапайым түрлендірулер әдісі
жүктеу/скачать 134,1 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Теорема.
| Ирроционал өрнектерді қарапайым түрлендірулер әдісі.
Математикада нақты сандарды енгізудің (құрудың) әртүрлі әдістемесі бар (Дедекинд қимасы, Вейерштрасс белгісі, Кантор аксиомасы және т.б.). Алайда бұл құрулардың бәрі де күрделі. Математиканы тереңдетіп оқытатын сыныптар мен үйірме жұмыстары үшін нақты сандарды құрудың қатаң түрдегі әдістері де бар, бірақ олар жалпы білім беретін орта мектептің оқушылары үшін күрделі. Сонымен қатар нақты сандар ұғымы (шексіз периодсыз ондық бөлшек түріндегі сандардың негізінде) 6 сынып оқушылары үшін де түсінікті болып табылады. Нақты сандарды оқытуды ертерек бастау оқушылардың сандар туралы жүйелі білімінің қалыптасуын тездетеді, практикалық есептеу жұмыстарын жүргізуді толығырақ қамтамасыз етеді, функцияның кейбір мәселелерін қатаң түрде баяндауға мүмкіндік береді және т.с.с. Практикалық есептеу жұмыстарын жүргізу үшін рационал сандар жиыны жеткілікті. Иррационал сандарды енгізу ең алдымен математиканың ішкі қажеттілігіне керек, мәселен олар мынандай есептерді шығару кезінде байқалады. 2 санның квадрат түбірінің мәнін табуда. теңдеуін шешуде. Квадраттың диагоналын оның қабырғасы арқылы өрнектеуде. Ауданы 3-ке тең болатын квадраттың қабырғасын табуда. Сан түзуінің әрбір нүктесіне сәйкес келетін рационал санды табуда. Иррационал санды орта мектепте енгізудің мынадай тәсілдері бар: Иррационал санды периодсыз шектеусіз ондық бөлшек түрінде енгізу (Вейерштрасс бойынша); Иррационал санды Дедекинд қимасы арқылы енгізу; Кантор аксиомасы бойынша енгізу; Төмендегі теореманы қарастыру арқылы енгізу; Теорема. Бүкіл рационал сандардың ішінде квадраты екіге тең болатын рационал сан болмайды. Дәлелдеу. «Рационал сандардың ішінде квадраты екіге тең рационал сан бар » деп қарсы ұйғарайық және ол сан болсын, мұнда p мен q – ортақ бөлгіші болмайтын бүтін сандар, басқаша айтқанда, -қысқартылмайтын бөлшек, яғни (p,q)=1. Біздің ұйғаруымыз бойынша, немесе , демек жұп сан. Олай болса,p-нің өзі де жұп сан. Сондықтан, оны былай жазамыз: p=2m (m - натурал сан). Ендеше, 4m²=2q², q²=2m. Бұдан q² саны және q –дің өзі де жұп сан деген қорытындыға келеміз. p,q-жұп сандар болатын болса, онда – қысқартылатын бөлшек болып шығады, басқаша айтқанда, p мен q-дің ортақ бөлгіші бар деген сөз. Ал бұл біздің бастапқыда p мен q-дің ортақ бөлгіші жоқ деп өзіміз жасаған ұйғарымға қайшы. Міне, осы қайшылық теореманың дұрыстығын дәлелдейді. Бұл теоремаға геометриялық мағына беруге болады: егер қабырғасының ұзындығы бірге тең квадраты салатын болсақ, оның диагоналының ұзындығын өрнектейтін сан рационал сан болмайды. Сонымен таңбамен өрнектелетін сан рационал сан емес. Бұл арадан рационал сандар өрісін кеңейту мәселесінің қажеттілігі өзінен-өзі шығады. Иррационал сандарды Кантор аксиомасы бойынша енгізу. Сан түзуінің бойынан бір-бірімен қабысып жатқан, ұштары рационал сандар болатын кесінділер , ,…, ,… алынса және нөмірлері және n ылғи өсіп отырып, шексіздікке ұмтылғанда кесінділердің ұзындықтары нөлге ұмтылса, онда n қандай сан болса да, кесінділердің бәріне бірдей ортақ жатқан тек бір Е нүктесі табылады, яғни . Міне осы Е нүктесін нақты сан деп атайды. Е рационал не иррационал сан болуы мүмкін. Иррационал санды шексіз периодсыз ондық бөлшек түрінде енгізу (Вейерштрасс бойынша) Иррационал сан деп қандай санды атайды? Бұл сұраққа жауап беру үшін мына символмен өрнектелетін санды қарастырайық. Әрбір рационал сан шектелген немесе шектеусіз периодты ондық бөлшек түрінде жазылады. Ал санды ондай бөлшекпен жазылмайды. Бұл санға жақын келетін рационал сандар бар, мәселен 1²=1<2<2²=4; (1,4)=1,96<2<(1,5)²=2,25; (1,41)²=1,9881<2<(1,42)²=2,0264; (1,414)²=1,999396<2<(1,415)²=2,002225; (1,4142)²=1,9999164<2<(1,4143)²=2,00024443; ……………………………………………….. міне, осы процесті әрі қарай шектеусіз жалғастыра беруге болады. Байқасақ, санға жуық келетін рационал сандар периодсыз шектеусіз ондық бөлшектер екен. Бұл жөнінде мынадай пікірді айтуға болады: түзу бойындағы рационал санға сәйкес келмейтін М нүктесі мына түрдегі периодсыз ондық бөлшектің геометриялық кескіні болып табылады. жүктеу/скачать 134,1 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|