8.1.1 - лемма. F сызықты функционалының ядросы – сызықтық көпбейне.
Дәлелдеуі. элементтерін алайық, онда . F сызықтыфункционал болғандықтан, 8.1.4 - анықтама бойынша кез келген скалярлары үшін
Бұл элементінің де ker F жиынында жататын, яғни ker F жиыныныңсызықты көпбейне екендігін береді.
Нормаланған X және Ү кеңістіктерін, сондай-ақ жиынын жиынынабейнелейтін сызықты А операторын қарастырайық.
Нормаланған X және Ү кеңістіктерін, сондай-ақ жиынын жиынынабейнелейтін сызықты А операторын қарастырайық.
8.2.1 - анықтама. Егер D(A) = L = X, онда А операторы X кеңістігінің барлықнүктелерінде анықталған оператор деп аталады.
8.2.2 - анықтама. Егер болса, онда А операторы X кеңістігінде барлық жерде тығыз орналасқан жиында анықталған оператор деп аталады.
D(A)=X болсын.
8.2.3 - анықтама. Егер де
8.2.3 - анықтама. Егер де
яғни
болса, А операторын нүктесінде үзіліссіз оператор деп атайды, және деп белгілейді.
8.2.1 - теорема. Егер D(A) = X кеңістігін М жиынына бейнелейтін сызықты Аоператоры X кеңістігінің , - нөлдік нүктесінде үзіліссіз болса, онда А операторы Xкеңістігінің кез келген нүктесінде үзіліссіз болады.
8.2.4 - анықтама. Егер сызықты А операторы О нүктесінде үзіліссіз болса, ондаоны үзіліссіз оператор деп атайды.
8.2.4 - анықтама. Егер сызықты А операторы О нүктесінде үзіліссіз болса, ондаоны үзіліссіз оператор деп атайды.
8.2.5 - анықтама. Егер А: Х – Y операторы шенелген жиынды шенелген жиынғабейнелейтін болса, онда оны шенелген оператор деп атайды, 8.2.2 - теорема (шенелгенділік қағидасы). Сызықты A: Х-У операторы
шенелген болуы үшін
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
8.2.3теорема (Үзіліссіз оператормен шенелген оператордыңарасындағы байланысты беретін теорема). D(A) =X кеңістігін М жиынынабейнелейтін А операторы үзіліссіз болуы үшін оның шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
8.2.3теорема (Үзіліссіз оператормен шенелген оператордыңарасындағы байланысты беретін теорема). D(A) =X кеңістігін М жиынынабейнелейтін А операторы үзіліссіз болуы үшін оның шенелген болуы қажетті және жеткілікті.
Дәлелдеуі. Қажеттілігі. А операторы шенелген оператор болсын. Онда
Демек, сызықты А операторы нүктесінде үзіліссіз. Онда 8.2.4 – анықтама бойынша А операторы X кеңістігінде де үзіліссіз.
1.Нөл - оператор. X нормаланған кеңістігінің кез келген х элементін Y кеңістігінің - нөлдік элементіне бейнелейтін операторды нөл - оператор деп атайды, және оны 0 деп белгілейді:
Нөл - оператор сызықты шенелген болатындығын тексеру қиын емес.
2. Бірлік оператор. X кеңістігінің кез келген элементін өзіне бейнелейтін операторды бірлік оператор деп атайды, және оны деп белгілейді, яғни
Бірлік оператордың сызықты шенелген болатындығы оның анықтамасынан тікелей шығады.
а) Сызықтылығы: А операторының анықталу облысы кеңістігімен беттесетін болғандықтан, оператордың сызықтылығының екінші шартын, яғни оның біртектілігімен аддитивтігін тексерген жеткілікті.
