Софизмы и парадоксы в математике
Парадокс Банаха – Тарского
жүктеу/скачать 2,4 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Задача о треугольнике.
| Парадокс Банаха – Тарского.
Парадокс Банаха - Тарского, или парадокс удвоения шара, говорит, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям (приложение 3). Разделяя шар на конечное число частей, мы интуитивно ожидаем, что, складывая эти части вместе, можно получить только сплошные фигуры, объём которых равен объёму исходного шара. Однако это справедливо только в случае, когда шар делится на части, имеющие объём. Суть парадокса заключается в том, что в трёхмерном пространстве существуют неизмеримые множества, которые не имеют объёма. Очевидно, что «куски» в таком разбиении не могут быть измеримыми (и невозможно осуществить такое разбиение какими-либо средствами на практике). Задача о треугольнике. Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный из 4 частей (приложение 4). После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка. 1) Перестановка частей. 2) Разрезанный треугольник. 3) «Гипотенуза» на самом деле является ломаной линией. Площади закрашенных фигур, разумеется, равны между собой (32 клетки), однако, то, что визуально наблюдается как треугольники 13×5, на самом деле таковым не является, и имеет разные площади (S13×5 = 32,5 клетки). То есть ошибка, замаскированная в условии задачи, состоит в том, что начальная фигура поименована треугольником (на самом деле это - вогнутый 4-угольник). Это отчётливо заметно на рисунках 1 и 2 - «гипотенузы» верхней и нижней фигур проходят через разные точки: (8,3) вверху и (5,2) - внизу. Секрет в свойствах синего и красного треугольников. Это легко проверить вычислениями. Отношения длин соответствующих сторон синего и красного треугольников не равны друг другу (2/3 и 5/8), поэтому эти треугольники не являются подобными, а значит, имеют разные углы при соответствующих вершинах. Если нижние стороны этих треугольников параллельны, то гипотенузы в обоих треугольниках 13×5 на самом деле являются ломаными линиями (на верхнем рисунке создаётся излом внутрь, а на нижнем — наружу). Если наложить верхнюю и нижнюю фигуры 13×5 друг на друга, то между их «гипотенузами» образуется параллелограмм, в котором и содержится «лишняя» площадь. На рисунке 3 этот параллелограмм приведён в верных пропорциях. По словам Мартина Гарднера, эту задачу изобрёл иллюзионист-любитель из Нью - Йорка Пол Карри в 1953. жүктеу/скачать 2,4 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|