жазықтықтың сәйкес екі түзуіне параллель болса, онда бұл жазықтықтар параллель болады. Дәлелдеуі: және түзулері
жазықтығында жатып, нүктесінде
қиылсын. Ал және түзулері
жазықтығында жатып нүктесінде қиылсын (156-сурет). және жазықтықтары қиылссын деп қарсы жориық, яғни болсын.
Сонда шығатыны:
болғандықтан, теорема-4 бойынша болады.
болғандықтан болады.
Параллель түзулер аксиомасына қайшылық келіп шықты. Демек, .
және жазықтықтары дәл келіп беттесуі
мүмкін (157-сурет). Бұл жағдайда параллельдік
белгісі тура болады, өйткені жазықтықтардың беттесуі 157-сурет
олардың параллельдігінің дербес жағдайы.
Т е о р е м а. Егер екі параллель жазықтық үшінші жазықтықпен қиылысса, онда қиылысу сызықтары параллель болады.(158-сурет).
Т е о р е м а. Берілген нүкте арқылы берілген жазықтыққа параллель бір, тек бір ғана жазықтық жүргізуге болады. Салдар. Егер берілген екі жазықтықтың әрқайсысы үшінші жазықтыққа параллель болса, онда берілген екі жазықтық өзара 158-сурет
параллель болады. 3. Анықтама. Егер түзу жазықтықта жатқан әрбір түзуге перпендикуляр болса, онда ол түзу мен жазықтық өзара перпендикуляр деп аталады.
түзуі мен жазықтығының перпендикулярлығы былай белгіленеді: немесе (159-сурет).
159-сурет
Т е о р е м а. (түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісі). Егер түзу жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзудің әрқайсысына перпендикуляр болса, онда бұл түзу мен жазықтық өзара перпендикуляр болады. Дәлелдеуі: түзуі жазықтығындағы қиылысушы және түзулерінің әрқайсысына перпендикуляр болсын, яғни , сонымен қатар түзуі мен түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтсін. түзуінің жазықтығына перпендикуляр екенін дәлелдейміз.
160 – сурет
нүктесі арқылы жазықтығында кез келген түзуін жүргізіп, түзуінің осы түзуіне перпендикуляр екенін көрсету керек. жазықтығында нүктесі арқылы
өтпей , , түзулерін қиятын түзу жүргізейік.
Бұл түзу үшін , , түзулерін сәйкес , , нүктелерінде қисын (160-сурет).
түзуінің бойынан қарама-қарсы бағытта кесіндісін саламыз. Теореманың шарты бойынша болғандықтан кесіндісі теңбүйірлі үшбұрыш. Дәл осылайша теңбүйірлі үшбұрыш. Сондықтан (үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі).
Бұл үшбұрыштардың теңдігінен шығады. Олай болса, (үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі). Бұл үшбұрыштардың және қабырғаларының теңдігінен ( ) теңбүйірлі үшбұрыш болады. Сондықтан оның медианасы әрі биіктік болады, яғни . Бұл түзуі мен түзуіне перпендикуляр екенін көрсетеді. Олай болса, түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының анықтамасы бойынша түзуі жазықтығына перпендикуляр болады.
Т е о р е м а. Жазықтыққа жүргізілген екі перпендикуляр параллель болады. Т е о р е м а. (кері). Егер параллель екі түзудің бірі жазықтыққа перпендикуляр болса, онда екіншісі де сол жазықтыққа перпендикуляр болады.
