қандай да бір түзуге параллель болса, онда берілген түзу мен жазықтық параллель болады. 153-сурет
Дәлелдеуі: түзуі жазықтығынан тыс жатсын, ал түзуі жазықтығында жатқан түзу болсын (153-сурет).
Сонымен қатар . Параллель екі түзу және арқылы жазықтығын жүргіземіз. және жазықтықтарының қиылысу сызығы түзуі болады. Егер түзуі жазықтығын қиса, онда қиылысу нүктесі түзуінің бойында болар еді. болғандықтан бұлай болуы мүмкін емес. Сонымен түзуі жазықтығымен қиылыспайды, яғни түзуі жазықтығына параллель болады.
Т е о р е м а. (кері). Егер жазықтық екінші жазықтыққа параллель түзу арқылы өтіп және оны қиятын болса, онда жазықтықтардың қиылысу сызығы берілген түзуге параллель болады. Т е о р е м а. Егер параллель екі түзудің әрқайсысы арқылы жазықтық жүргізіліп және ол жазықтықтар қиылысса, онда олардың қиылысу сызығы берілген түзулердің әр қайсысына параллель болады. Дәлелдеуі: түзуі түзуіне параллель болсын (154-сурет), түзуі арқылы жазықтығы, түзуі арқылы жазықтығы жүргізілген, мұнда және жазықтықтарының қиылысу сызығы түзуі болады. және екендігін дәлелдейміз. Түзу және жазықтықтың параллельдік белгісі бойынша түзуі жазықтығына параллель екендігі жайлы қорытынды жасаймыз, бірақ онда болады. Осылайша екендігі шығады.
Т е о р е м а. Егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара парллель болады.
154-сурет сызба
Дәлелдеуі: және болсын, мұнда , және бір жазықтықта жатпайды (155-сурет), түзуінен
қандай да бір нүктесін аламыз. мен және мен арқылы сәйкес және жазықтықтарын жүргіземіз; алдыңғы теорема бойынша осы жазықтықтардың қиылысу сызығы түзуіне әрі түзуіне параллель. нүктесі арқылы түзуіне параллель болатын әр түрлі екі түзу жүргізуге болмайды, сондықтан және түзулері дәл келіп беттеседі. Ал болғандықтан, болады.
, , түзулері бір жазықтықта жататын жағдай планиметрияда қарастырылған болатын.
155-сурет
2. Екі жазықтықтың өзара орналасуының екі жағдайы бізге белгілі. Егер екі жазықтықтың:
1) түзуге тиісті емес ортақ үш нүктесі болса, онда олар беттеседі (аксиома-4);
2) олар әр түрлі болып және ортақ нүктесі болса, онда олар қиылысады (аксиома-5 ).
Екі жазықтықтың өзара орналасуындағы олардың ортақ нүктесі болмайтын үшінші жағдайы болуы мүмкін екендігін көрсетеміз.
Анықтама. Егер екі жазықтықтың ортақ нүктесі болмаса немесе олар беттесетін болса, онда олар параллель жазықтықтар деп аталады. және жазықтықтарының параллельдігін белгілеу: .
Т е о р е м а. (екі жазықтықтың параллельдік белгісі). Егер бір жазықтықтың қиылысатын екі түзуі екінші
