Т еоретическая ф изика Том 11, 2010

82
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
150 200 250
f
Bd
 [MeV]
200 250 300
f
Bs
 [MeV]
1.10 1.20 1.30
f
Bs
/f
Bd
WA(N
f
>2)
ICHEP04
HPQCD
(N
f
=2+1)
Hashimoto
=
Рис. 15. Константы распада
f
Bd
и
f
Bs
, вычисленные с
N
f
= 2 + 1
Вычисление адронных матричных элементов позволяет также определять кон-
станты распада. На рис. 15 показаны значения константы распада
f
b
, полученные
разными коллаборациями с использованием различных методов решения проблемы
тяжелых кварков. Эти результаты получены с тремя морскими кварками, они вы-
ше результатов, полученых в приближении
N
f
= 0 на 10–20 %. Эти результаты, а
также результаты для других констант распада, используются в PDG.
2.5. КХД приненулевой температуре
Поиск нового состояния вещества – кварк-глюонной плазмы – ведется или пла-
нируется на нескольких самых мощных ускорительных установках России (ОИЯИ),
Европы (ЦЕРН), США (BNL), Германии (GSI). Теоретические исследования темпе-
ратуры перехода
T
c
адронной материи в состояние кварк-глюонной плазмы и раз-
личных свойств кварк-глюонной плазмы при температурах выше
T
c
очень важны
для определения области поисков и признаков образования кварк-глюонной плазмы
в эксперименте. Компьютерные симуляции решеточной формулировки квантовой
хромодинамики являются наиболее подходящим методом для таких исследований и
ведутся несколькими группами в разных странах.
Для вычисления температуры перехода в кварк-глюонную плазму
T
c
обычно
используются восприимчивость поляковской петли и восприимчивость кирального
конденсата. Первая указывает на переход из фазы конфайнмента кварков в фазу
деконфайнмента. Вторая сигнализирует о переходе между фазами с нарушенной и
ненарушенной киральной симметрией. До сих пор остается невыясненным вопрос,
совпадают ли эти два перехода. В настоящий момент в литературе существуют как
результаты, указывающие на их совпадение, так и результаты, указывающие, что
эти переходы разделены. На рис. 16 показано несколько последних результатов для
T
c
. Три группы (DIK, HOTQCD, Wuppertal) вычисляли обе вышеупомянутые вели-
чины. DIK и HOTQCD получили совпадающие значения для температур перехода,
a Wuppertal – различающиеся на 20–30 МэВ. Заметим, что значения
T
c
у групп
DIK и HOTQCD различаются, результат коллаборации DIK [11]
T
c
= 174(6) МэВ, а
результат коллаборации HOTQCD примерно на 20 МэВ выше. Причина таких рас-
хождений лежит в неправильной оценке систематических погрешностей. Все группы
проводят исследования с целью получения согласованных результатов, которые мо-
гут быть использованы для планирования и интерпретации экспериментов.

Компьютерные методы вычислений в КХД
83
 140
 160
 180
 200
T
c
, MeV
DIK
HOTQCD
Wuppertal
CP-PAX
MILC
Рис. 16. Температура перехода в фазу кварк-глюонной плазмы
На решетке вычисляется также уравнение состояния, т. е. зависимость плотности
энергии от температуры. Эти результаты также используются при моделировании
процессов, происходящих при столкновении тяжелых ионов в соответствующих экс-
периментах.
2.6. Высокая точность ипредсказания
В этом разделе мы представляем подборку результатов, полученных в решеточ-
ных вычислениях в одно время или даже ранее, чем были получены соответствую-
щие экспериментальные результаты. Один такой пример уже был описан выше (см.
рис. 14), еще несколько результатов представлены в табл. 2.
Таблица 2. Решеточные результаты, полученные ранее или с более высокой
точностью, чем соответствующие экспериментальные результаты
Величина
Решеточная КХД
Эксперимент
f
D
201 ± 3 ± 17, 2 Мэв
223 ± 17 ± 3 Мэв
f
D
1, 21 ± 0, 01 ± 0, 03 1, 27 ± 0, 12 ± 0, 03
m
Bc
6304 ± 22 Мэв
6286 ± 5 Мэв
f
B
216 ± 22 Мэв
229 ± 36 ± 34 Мэв
Массы элементарных частиц, которые вычисляются на решетке, хорошо извест-
ны из эксперимента. Поэтому решеточные результаты для масс можно рассматри-
вать или как проверку КХД, или как проверку решеточных методов. Исключение
пока одно – масса мезона
B
c
, состоящего из
b- и c-кварков. Его масса была впервые
измерена в эксперименте только несколько лет назад. На решетке эта масса была
вычислена со сравнимой точностью (см. табл. 2) раньше появления этого экспери-
ментального результата. На рис. 17 показаны два решеточных результата и резуль-
тат экспериментальный. Первый решеточный результат – старый – был получен в
приближении
N
f
= 0, большая систематическая ошибка этого результата отражает
погрешность этого приближения. Новый решеточный результат получен в
N
f
= 3
РКХД и хорошо согласуется с экспериментальным значением.

84
В. Г. Борняков, М. И. Поликарпов
6300
6400
6500
6600
m
Bc
 (MeV/
c
2
)
lattice QCD, Feb. 1999
lattice QCD, Nov. 2004
CDF, Dec. 2004
Рис. 17. Сравнение предсказанной массы
B
c
мезона с экспериментальным значе-
нием
Заключение
Следует сказать, что в этой статье были упомянуты далеко не все результа-
ты, полученные методом компьютерных симуляций РКХД. Более того, решеточ-
ные калибровочные теории – это очень обширная область, выходящая за рамки
КХД. Решеточная формулировка обеспечивает хорошо определенную математиче-
скую основу для квантовой теории поля и позволяет выполнять непертурбативные
вычисления. Прогресс в РКХД за последнее десятилетие был достигнут как за счет
увеличения мощности используемых компьютеров, так и за счет появления новых
идей, методов вычислений, развития численных алгоритмов. Этот прогресс позволя-
ет рассчитывать, что методы РКХД будут востребованы и при исследовании теорий
за пределами Стандартной модели.
Список литературы
[1] Wilson K.G. Confinement of Quarks // Phys. Rev. D. 1974. Vol. 10. P. 2445–2459.
[2] Creutz M. Monte Carlo Study of Quantized SU(2) Gauge Theory // Phys. Rev.
1980. D. Vol. 21. P. 2308–2315.
[3] High precision lattice QCD confronts experiment / Davies C.T.H. [et al] // Phys.
Rev. Lett. 2004. Vol. 92. P. 022001.
[4] Kogut J.B., Susskind L. Hamiltonian Formulation of Wilson’s Lattice Gauge
Theories // Phys. Rev. 1975. D. Vol. 11. P. 395–408.
[5] Ginsparg P.H., Wilson K. G. A Remnant of Chiral Symmetry on the Lattice //
Phys. Rev. 1982. D. Vol. 25. P. 2649–2657.
[6] Peardon M.J. Progress in lattice algorithms Nucl // Phys. Proc. Suppl. 2002.
Vol. 106. P. 3–11.
[7] Bali G.S., Neff H., Duessel T., Lippert T. and Schilling K. Observation of string
breaking in QCD // Phys. Rev. 2005. D. Vol. 71. P. 114513.

Компьютерные методы вычислений в КХД
85
[8] Chernodub
M.N.,
Polikarpov M.I.
Abelian
projections and
monopoles in
«Confinement, duality, and nonperturbative aspects of QCD», Proceedings / ed.
by P. Van Baal. N.Y.: Plenum Press, 1998; Greensite J. The Confinement problem
in lattice gauge theory Prog Part. Nucl. Phys. 2003. Vol. 51. P. 1–83.
[9] Невылетание цвета и структура адронов в решеточной хромодинамике / Бор-
няков В.Г., Поликарпов М.И., Судзуки Т. [и др.] // УФН. 2004. Т. 47. С. 19–38.
[10] Aoki S. et al. // Phys. Rev. D 67. 2003. P. 034503.
[11] Probing the finite temperature phase transition with N(f) = 2 nonperturbatively
improved Wilson fermions / Bornyakov V.G., Horsley R., Morozov S.M. [et al] //
Phys. Rev. 2010. Vol. 82. P. 014504.
Computer methods for calculations in lattice
quantum chromodynamics
c 2010 V.G. Bornyakov
3
, M.I. Polikarpov
4
Abstract
Computer methods of investigation of the nonperturbative properties of QCD
based on the lattice regularization of QCD are discussed in this paper. A review
of the recent results obtained via numerical computations in lattice QCD are pre-
sented. In particular, results for hadron mass spectrum, strong coupling constant,
masses of light quarks, structure of QCD vacuum are presented.
3
Bornyakov Vitaliy Gennadievich, doctor of phys.-math. sciences, Institute for High Energy Physics,
142281, Moscow region, Protvino, str. Victory, 1, Russian Federation; e-mail: vitaly.bornyakov@ihep.ru.
4
Polikarpov Mikhail Igorevich, doctor of phys.-math. sciences, Institute for Theoretical and Ex-
perimental Physics, 117218, Moscow, B. Cheremushkinskaya str., 25, Russian Federation; e-mail: po-
likarp@itep.ru.

86
Теоретическая Физика, 11, 2010 г.
НЕЛОКАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
НАМБУ – ИОНА-ЛАЗИНИО, ПОЛУЧЕННОЕ МЕТОДОМ
КОМПЕНСАЦИИ Н.Н. БОГОЛЮБОВА, И
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПИОНОВ
c 2010 Б.А. Арбузов
1
, И.В. Зайцев
2
Аннотация
В работе рассматривается нелокальная модель Намбу – Иона-Лазинио, по-
лученная в рамках фундаментальной теории КХД на основе принципа ком-
пенсации Н.Н. Боголюбова. Полученные ранее результаты применяются к вы-
числению электромагнитного формфактора заряженного пиона и переходного
формфактора нейтрального пиона. Полученные результаты удовлетворительно
согласуются с совокупностью экспериментальных данных, что подтверждает
эффективность применения подхода уравнений компенсации Боголюбова при
рассмотрении непертурбативных эффектов в квантовой теории поля.
1. Введение
В настоящей работе при построении описания электромагнитных свойств
π-ме-
зона авторы исходят из модели, получившей развитие в работах [1, 2]. Физика лег-
ких мезонов (соответственно, векторных и скалярных) рассматривается в данных
исследованиях в рамках модели Намбу – Иона-Лазинио, непосредственно выводи-
мой из квантовой хромодинамики без привлечения дополнительных теоретических
допущений на основе применения метода уравнений компенсации Н.Н. Боголюбова
[3–6]. Указанный метод представляет собой по существу наиболее прямой и последо-
вательный путь реализации спонтанного нарушения симметрии в теории динамиче-
ских квантовых систем. Формально он основывается на применяемой к лагранжиану
теории процедуры «добавить – вычесть». В частности, в описываемой модели мы
исходим из стандартного лагранжиана квантовой хромодинамики с двумя легкими
кварками, в который характерные для модели Намбу – Иона-Лазинио четырехфер-
мионные (нелокальные) члены вводятся дважды с противоположными знаками (что
непосредственно этот лагранжиан не изменяет). Однако затем один из этих допол-
нительных вкладов относится к свободному лагранжиану, а другой – к лагранжиану
взаимодействия, что, в частности, при рассмотрении скалярных четырехфермион-
ных вкладов приводит к следующему результату:
L = L
0
+ L
int
,
L
0
=
ı
2
¯
ψγ
µ
∂
µ
ψ − ∂
µ
¯
ψγ
µ
ψ −
1
4
F
a
0 µν
F
a
0 µν
− m
0
¯
ψ ψ +
+
G
1
2
· ¯
ψτ
b
γ
5
ψ ¯
ψτ
b
γ
5
ψ − ¯
ψ ψ ¯
ψ ψ +
+
G
2
2
· ¯
ψτ
b
γ
µ
ψ ¯
ψτ
b
γ
µ
ψ + ¯
ψτ
b
γ
5
γ
µ
ψ ¯
ψτ
b
γ
5
γ
µ
ψ ,
(1.1)
1
Арбузов Борис Андреевич, д-р физ.-мат. н., в.н.с. отдела теоретической физики высоких энер-
гий НИИЯФ МГУ, 119992, г. Москва, Ленинские горы, 1, Российская Федерация; электронная
почта: arbuzov@theory.sinp.msu.ru.
2
Зайцев Иван Владимирович, канд. физ.-мат. н., м.н.с. отдела теоретической физики высоких
энергий НИИЯФ МГУ, 119992, г. Москва, Ленинские горы, 1, Российская Федерация.

Нелокальное взаимодействие Намбу – Иона-Лазинио, полученное методом компенсации ...
87
L
int
= g
s
¯
ψγ
µ
t
a
A
a
µ
ψ −
1
4
F
a
µν
F
a
µν
− F
a
0 µν
F
a
0 µν
−
−
G
1
2
· ¯
ψτ
b
γ
5
ψ ¯
ψτ
b
γ
5
ψ − ¯
ψ ψ ¯
ψ ψ −
−
G
2
2
· ¯
ψτ
b
γ
µ
ψ ¯
ψτ
b
γ
µ
ψ + ¯
ψτ
b
γ
5
γ
µ
ψ ¯
ψτ
b
γ
5
γ
µ
ψ .
(1.2)
(здесь выражения вида
G · ¯
ψψ ¯
ψψ обозначают нелокальную вершину, вклады глюон-
ных полей рассматриваются стандартным образом).
Содержательный момент здесь заключается в выдвижении далее требования, в
соответствии с которым вклады различных порядков в полученный новый свобод-
ный лагранжиан взаимно компенсировали бы друг друга, оставляя тем самым сво-
бодные функции Грина неизменными. Соответствующие условия – уравнения ком-
пенсации Боголюбова – определяют функции формфактора для нелокальных вер-
шин; при этом в лагранжиане взаимодействия подобная компенсация из-за различия
в знаке учитываемых вкладов не происходит, так что мы действительно получа-
ем нелокальное эффективное четырехфермионное взаимодействие, которое можно
учитывать по теории возмущений при помощи стандартных функций распростране-
ния. Именно эта программа была осуществлена в названных работах для скалярных
(псевдоскалярных) и векторных (аксиально-векторных) четырехфермионных вер-
шин. Было сформулировано приближение, которое позволило получить решения
для функций формфактора в виде разложения по функциям Мейера (зависящим
от пропорциональной четвертой степени импульсов безразмерной переменной). При
этом из уравнения компенсации для скалярной (псевдоскалярной) четырехфермион-
ной вершины было также найдено значение параметра, определяющего входящую в
данные соотношения таковую массу кварка (значение этой массы, как и всех прочих
наблюдаемых физических величин, в дальнейшем нормируется константой слабого
распада пиона).
Наличие обладающих необходимыми свойствами решений уравнений компенса-
ции позволило перейти к исследованию связанных кварковых состояний, которое
производилось посредством построения уравнений для волновой функции Бете –
Солпитера. В применяемом приближении эти уравнения имеют структуру, анало-
гичную структуре уравнений компенсации (в частности, ядро данных интегральных
соотношений оказывается отличающимся от прежнего лишь знаком), и решения их
также выражаются через функции Мейера. Было получено, во-первых, решение
для скалярного связанного безмассового двухкваркового состояния. В результате
учета одноглюонного и одномезонного обмена была определена также масса возни-
кающего здесь тахионного состояния. Исследование структуры вакуума позволило
определить значение составляющей массы кварка, а также перейти к вычислению
таких величин, как значение вакуумного конденсата, массы и ширины распада
π- и
σ-мезонов. В случае векторного связанного состояния в результате прямого учета
хромодинамического и эффективного мезон-кваркового взаимодействия было най-
дено решение для волновой функции массивного состояния, что позволило опреде-
лить также массы и ширины распада
ρ- и a
1
-мезонов. Важнейшей чертой данной
модели является то, что во всех расчетах единственным параметром, определяю-
щим поведение решений и значения наблюдаемых величин, является значение за-
мороженной в низкоэнергетической области константы сильного взаимодействия
α
s
.
Рассматривались различные значения
α
s
из области, определяемой существующи-
ми в настоящее время подходами к вычислению данной величины. Для скалярных

88
Б.А. Арбузов, И.В. Зайцев
мезонов полученные значения их характеристик оказались соответствующими экс-
периментальным значениям с достаточной точностью (отклонение не превышает
10–15 % ) в широком интервале
α
s
∼ 0,4–0,73, а для векторных частиц оказались
предпочтительными значения из области 0,29–0,48, причем оптимальной оказыва-
ется величина
α
s
= 0,41, найденная также в работе [7] на основе применения метода
уравнений компенсации к исследованию глюонной структуры вакуума. Другие зна-
чения
α
s
обсуждаются в [8]. В настоящей работе полученные решения для волновых
функций мезонных состояний применяются при вычислении ряда электромагнит-
ных характеристик
π-мезона.
2.Электромагнитный формфактор и радиус заряжен-
ного пиона
Электромагнитный формфактор пиона
F
γ
∗
π
+
π
−
(q
2
) определяется из амплитуды
процессов, представленных на рис. 1:
T
γ
∗
π
+
π
−
= e(p
+
+ p
−
)
µ
A
mu
(q)π
+
(p
+
)π
−
(p
−
)F
γ
∗
π
+
π
−
(q
2
).
(2.3)
Функция формфактора нормируется зарядом пиона:
F
γ
∗
π
+
π
−
(0) = 1.
(2.4)
r
r
J
J
J
p −
q
2
p +
q
2
q
(a)
r
r
J
J
J
t
p −
q
2
p +
q
2
q
(б)
Рис. 1
Диаграмма (а) соответствует конктакт-
ному взаимодействию, диаграмма (б) от-
носится к излучению с рождением проме-
жуточного
ρ-мезона. Двойные горизон-
тальные линии изображают
π-мезон, оди-
нарные линии – кварковые, прерывистая
линия – фотонная и, наконец, вертикаль-
ная двойная на второй диаграмме –
ρ-
мезон.
Жирные точки меньшего размера изображают волновую функцию скалярного
двухкваркового состояния, точка большего размера – векторную. Волновые функ-
ции вычисляются по методу работ [1, 2], причем для
π-мезона волновая функция
соответствует безмассовому состоянию, для
ρ-мезона – обладающему массой. В част-
ности, скалярная волновая функция следующим образом выражается через функ-
ции Мейера:
Ψ(z) = C
∗
1
G
30
06
z |1,
1
2
, 0,
1
2
, ¯a, ¯b + C
∗
2
G
30
06
z |1,
1
2
,
1
2
, 0, ¯a, ¯b +
+ C
∗
3
G
30
06
z |1, ¯a, ¯b,
1
2
,
1
2
, 0 + C
∗
4
G
30
06
z |
1
2
, ¯a, ¯b, 1,
1
2
, 0 .
(2.5)
где
z =
β q
2
2
6
, ¯a =
−1 +
√
1 + 64u
4
, ¯b =
−1 −
√
1 + 64u
4
,
u =
βm
4
64
,
β =
(G
2
1
+ 6 G
1
G
2
) N
16 π
4
.
(2.6)
Здесь
m – составляющая масса кварка; G
1
, G
2
– константы четырехфермион-
ных вершин, значения которых определяются величиной константы сильного вза-

Нелокальное взаимодействие Намбу – Иона-Лазинио, полученное методом компенсации ...
89
имодействия
α
s
;
q – импульсная переменная; N – число цветов кварков (3). Вы-
числение диаграмм производилось в эвклидовом пространстве, угловые интегралы
вычислялись точно (с выражением через эллиптические функции), интегрирование
по модулю импульсов производилось численно. Масса
π-мезона оценивалась поло-
виной составляющей массы кварка (
m = 265 ÷ 280). Для контактной диаграммы,
в частности, формфактор оценивается следующим интегралом, причем выбор ки-
нематических переменных, представленный на рисунке, в данном случае заметно
упрощает вычисление угловых интегралов благодаря обращению в нуль скалярного
произведения постоянных векторов
p и q: p · q = 0.
12 g
2
s
Ψ k
2
2
p
2
q
2
+ q
2
pk − 4 p
2
m
2
− 4 p
2
k
2
− 12 pk m
2
+ 8 pk
2
+ 4 k
2
pk
(m
2
+ q
2
+ kq + 1/4 k
2
) (m
2
+ q
2
− kq + 1/4 k
2
) (m
2
+ k
2
+ 2 pk + p
2
)
d
4
k (2.7)
(
g
s
– константа эффективного мезон-кваркового взаимодействия). Аналогичным об-
разом определяется значение
ρ-мезонного вклада.
PHOTON
RHO-MESON
PHOTON+RHO
EXPERIMENT
Q
2
, GeV
2
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
F
2
Q
2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
Рис. 2. Зависимость
F
2
(Q
2
) при α
s
= 0, 416
Интеграл указанного типа при
q
2
= 0, вообще говоря, переходит в нормировоч-
ный интеграл из определения волновой функции, однако поскольку используется
функция безмассового состояния, при малых
α
s
выполнение нормировочного усло-
вия (2.4) не обеспечивается автоматически, и все величины, выражающиеся через
интегралы подобного типа, перенормируются на вычисляемое значение
F
γ
∗
π
+
π
−
(0)
(максимальная величина коэффициента
∼1,06). Поведение функции формфактора
отображается на рисунках 2 и 3, а результаты вычислений для пространственнопо-
добной области представлены в табл. 1.
Вычисления производились для двух значений
α
s
из интервала, для которого со-
ответствие экспериментальным данным остается удовлетворительным. Вклад диа-

жүктеу/скачать 3,26 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: