Теоретические сведения по различным вопросам механики жидкости и газа
жүктеу/скачать 2,86 Mb.
|
| 1.9. Уравнение количества движения
Согласно второму закону Ньютона элементарное изменение количества движения равно элементарному импульсу силы: (1) Здесь Р – сумма проекции на какую – либо ось всех сил, приложенных к телу массы m, ω – проекция скорости на ту же ось, - время действия силы Р. Согласно уравнению (1) сумма проекций импульсов всех сил, приложенных к массе жидкости 1 – 2, равняется изменению проекции суммарного количества движения: (2) Р Рис. 17. Элементарная струйка ассмотрим изменения суммарного количества движения за время , в течение которого выделенная масса жидкости переместится из положения 1 – 2 в положение 1`– 2`. Предположим, что жидкость находится в установившемся движении, тогда количество движения массы 1` - 2, входящее как в начальное, так и в конечное значение суммарного количества движения, остается незаменимым а при вычитании сокращается. Иначе говоря, прирост суммарного количества движения должен быть равен разности количества движения, взято соответственно для масс 2 - 2` и 1 - 1`, которое в установившемся движении одинаковы: . Здесь dM – масса жидкости элемента 1 – 1` (или 2 – 2`), ωх2, ωх1 – проекции на ось х скорости потока в сечениях 2 и 1. Элементарная масса dM равна произведению секундного весового расхода жидкости на промежуток времени , поделенному на ускорение силы тяжести: Отсюда Величина носит название секундного количества движения. Подставляя полученное выражение в исходное равенство (2), получим уравнение количества движения в гидродинамической форме (первое уравнение Эйлера), согласно которому сумма проекций всех сил, приложенных к струе жидкости на любом ее участке, равна приращению проекции секундного количества движения на этом участке, или, что то же, произведению секундной массы на приращение проекции скорости: (3) Изменение давления на участке между торцовыми сечениями струйки пропорционально силе, действующей на выбранный элемент жидкости. Эта сила, параллельная оси х, равна (р1 – р2)F, К боковой поверхности приложена сила трения, направленная параллельно потоку, против него: – Ртр. Итак, сумма проекций всех сил на ось х равна Рх= (р1 – р2)F – Ртр – Р. По уравнению количества движения эта сила должна быть равна изменению количества движения: (р1 – р2)F – Ртр – Р = (4) Если расстояние между сечениями 1 и 2 бесконечно мало, то уравнение количества движения нужно записать в дифференциальной форме: Умножив все члены этого уравнения на скорость движения и разделив на весовой расход газа, получим уравнение работы всех сил для цилиндрической струйки, отнесенное к 1 кГ газа: Здесь использовано уравнение расхода в цилиндрической струйке: Следовательно стоящие в правой части члены представляют собой работу сил трения: , и техническую работу: . Таким образом, уравнение количества движения для цилиндрической струйки газа легко преобразуется в уравнение Бернулли: (5) В дальнейшем уравнение количества движения для цилиндрической струи газа применяется в следующей форме: (6) При отсутствии трения и силового воздействия газа на какую – либо машину дифференциальное уравнение количества движения приобретает особенно простой вид: (7) Уравнение (7) выражает важное свойство газового потока. При отсутствии внешних сил и сил трения увеличение скорости потока может быть вызвано только уменьшением статистического давления, и наоборот, торможение потока в этом случае всегда связано с увеличением давления в нем независимо от характера других процессов, происходящих в потоке, и изменения остальных параметров газа. В интеральной форме уравнение количества движения для цилиндрической струйки запишется так: или при условии РТр = 0 и Р = 0: , (8) или Итак, в цилиндрической струйке давление может измениться даже в том случае, когда нет трения и технической работы. Для этого достаточно, чтобы изменялась скорость течения, что может быть достаточно при подводе или отводе тепла. Например, при подогреве газа, в связи с уменьшением его плотности, скорость растет (), а давление падает. Важная особенность уравнения количества движения состоит в том, что с его помощью расчет действующих сил производится только по состоянию потока на контрольной поверхности без проникновения в сущность процессов, происходящих внутри этой контрольной поверхности. Поэтому уравнение количества движения позволяет во многих случаях достаточно рассчитать гидродинамический процесс, не вникая в его детали. Рассмотрим несколько примеров применения уравнений количества движения и энергии. жүктеу/скачать 2,86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|