Теоретические сведения по различным вопросам механики жидкости и газа
жүктеу/скачать 2,86 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 1.7.Уравнение газовой динамики для единичной струйки Уравнение неразрывности
- Уравнение энергии
- Предельная скорость движения газа Число МАХА
| 1.6. Уравнение Бернулли
Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумме трех высот: геометрической z, пьезометрической и скоростной – не меняется вдоль данной геометрической струйки. Энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма удельных энергий не меняется вдоль данной элементарной струйки. Полную удельную энергию, определяемую трехчленом называют полным напором и обозначают Н. где z – геометрический напор; р/g – пьезометрический напор; – скоростной напор. Рассмотрим принцип действия приборов для измерения скорости течения жидкости. Простейшим прибором для измерения скорости в открытом потоке служит трубка Пито (рис. 13). Откуда Рис. 13. Трубка Пито Фактически наличие трубки в потоке несколько искажает общее распределение скорости, и поэтому при ее определении в формулу вводят поправочный коэффициент: Коэффициент ξ1 находят экспериментально для каждой трубки. Трубку Пито можно использовать и для измерения скорости в закрытых трубопроводах (рис. 14), применяя её совместно с обычной пьезометрической трубки. Трубка Пито показывает полный напор жидкости в трубе а пьезометрическая трубка – статистический напор в том же сечении трубы. Р Рис. 14 азность этих напоров равна разности Δh уровней в обеих трубках. Таким образом, Для того чтобы учесть влияние вязкости и внесенное трубкой изменение в распределении скорости и давление в потоке, так же как и для трубки Пито, вводят поправочный коэффициент ξ: 1.7.Уравнение газовой динамики для единичной струйки Уравнение неразрывности Основное уравнение газовой динамики выводится для элементарной струйки газа, поперечные размеры которой настолько малы, что в каждом ее сечении можно считать постоянными все основные параметры потока: скорость, давление, температуру и плотность газа. Метод элементарной струйки лежит в основе гидравлики, поэтому газовую динамику элементарной (единичной) струйки иногда называют «газовой гидравликой». Чтобы получить уравнение неразрывности, рассмотрим стационарное (установившееся) движение элементарной струйки газа (рис 15) . Траекторией частиц при таком движении называется линиями тока1. Р Рис. 15. Элементарная струйка ассмотрим некоторый участок струйки между двумя нормальными к поверхности тока сечениями 1 и 2; заметим, что в соответствии с указанным на рисунке 15 направлением движения в объеме 1–2 приток газа осуществляется только через поперечное сечение 1, а расход газа – только через сечение 2. За бесконечно малый промежуток времени выделенная часть струйки переместится в новое положение 1´ – 2´. Приток газа в объеме 1´ – 2 составляет [кГ], (1) где γ1 – удельный вес газа в поперечном сечении 1, равный , F1 - площадь поперечного сечения 1. Расстояние между сечениями 1 и 1´ равно произведению скорости движения на элементарный промежуток времени. где ω1 – скорость в сечении 1, откуда Расход газа из объема 1´ – 2 равен, очевидно, При установившемся режиме и отсутствии разрывов сплошности в движущейся среде приток газа должен равняться расходу: . Отсюда после соответствующей подстановки получаем уравнение неразрывности – закон сохранения массы – для единичной струйки сжимаемой жидкости (газа) при установившемся течении (2) В случае несжимаемой жидкости, т.е. при γ = const, уравнение (2) принимает более простую форму: (3) которая применима к газовым течениям в тех случаях, когда изменениями удельного веса газа можно пренебречь. На основании уравнения неразрывности (3) по расположению линий тока в несжимаемой среде можно судить о скорости движения. Уравнение энергии Следуя первому началу термодинамики (закону сохранения энергии), составим баланс энергии в неподвижной системе координат (рис. 15), т.е. рассмотрим преобразование энергии в одной и той же массе газа, заполнявшей в начале объем 1 – 2, а через бесконечно малый промежуток времени переместившейся в положение 1´ – 2´. Приращение любого вида энергии равно разности количеств этого вида энергии в положениях 1´ – 2´ и 1 – 2. Отсюда следует, что приращение кинетической энергии равно здесь dG/g – массовый расход газа через поперечное сечение струйки время . Приращение потенциальной энергии (энергии положения) dEп = dG(z2 – z1), где z2, z1 – высота расположения (нивелирные уровни) сечений 2 и 1. Приращение внутренней (тепловой) энергии , где А = 1/427 – тепловой эквивалент механической работы, u = cυТ – тепловая энергия единицы веса газа (произведение теплоемкости при постоянном объеме на абсолютную температуру). Если теплоемкость газа в сечениях 1 и 2 одинакова, то прирост внутренней энергии равен Согласно первому началу термодинамики подведенные к газу тепловая энергия и работа сил давления расходуются на совершение технической работы, работы сил трения, а также не повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии Разделив все члены полученного выражения на величину dG, приходим к уравнению энергии для единицы веса (1 кГ) газа (4) Где Q = dW/dG – тепло, подводимое к 1 кГ газа на участке 1 – 2; L=dl/dG – техническая работа, совершаемая 1 кГ газа на том же участке; LТр =dlТр /dG – работа сил трения, приходящаяся на 1 кГ газа. Из термодинамики известно уравнение состояния идеального газа pυ = RТ, (5) где R – газовая постоянная, а удельный объем газа υ есть величина, обратная удельному весу . Отсюда . (6) Кроме того, известно соотношение, связывающее теплоемкость при постоянном объеме (сυ) и теплоемкость при постоянном давлении (ср): ср = сυ + АR. (7) Введем в рассмотрение теплосодержание (или энтальпию) газа, т.е. произведение теплоемкости при постоянном давлении на абсолютную температуру i = срТ. (8) Тогда соотношение (7) примет несколько иной вид: i = u + ARТ (9) или на основании (6) i = u + A. (10) где А = 1/427. Используя вышеизложенные выражения, можно придать уравнению энергии следующую форму: (11) Уравнение энергии (11) иногда называют также уравнением теплосодержания. Существенно то обстоятельство, что уравнение теплосодержания не содержит работы трения. В самом деле, поскольку работа, расходуемая на преодоление трения или любого другого вида сопротивлений, преобразуется полностью в тепло, а последнее остается в газовой струе, наличие сил трения не может нарушить общего баланса энергии, а лишь приводит к преобразованию одного вида энергии в другой. Так в большинстве случаев изменение потенциальной энергии пренебрежимо мало в сравнении с другими частями уравнения энергии, и членом (z2 – z1) пренебрегают. Тогда уравнение теплосодержания примет следующий вид: (12) При отсутствии технической работы и теплообмена с окружающей средой, т.е. в случае энергетически изолированного процесса в газе, имеем: (13) В частности, уравнение (13) определяет движение газа по трубе, если нет теплопередачи через стенки. Иначе говоря, изменение теплосодержания (температуры) в энергетически изолированном процессе связано только с изменением скорости. Если скорость газа не меняется, то остается постоянной и температура. Если изменение скорости и теплообменом можно пренебречь, то уравнение теплосодержания принимает следующую форму: Иначе говоря, изменение теплосодержания газа при этом эквивалентно механической работе. В колесе турбины температура газа уменьшается (LТ>0), в колесе компрессора температура возрастает (Lk<0). Таким образом, следуя уравнению теплосодержания, мы получим простые соотношения для расчета температурных перепадов на турбине и компрессоре при малых изменениях кинетической энергии: Здесь ср – среднее значение теплоемкости при постоянном давлении на данном интервале температур. Если скорость изменяется существенно, то расчет лишь немного усложнится. Именно: Наконец, при изотермическом процессе (i2 = i1= const) механическая работа расходуется целиком на изменение кинетической энергии Режим, близкий к изотерическому, можно получить в многоступенчатом компрессоре с промежуточным охлаждением газа. Когда механической работы нет, уравнение теплосодержания дает в таком виде оно применяется к теплообменным процессам. При Qнар = 0, AL = 0 уравнение теплосодержания приобретает следующую форму: Отсюда нетрудно видеть, что если газовую струю затормозить полностью, то теплосодержание газа достигает максимального возможного значения: Получающее при этом значение теплосодержания i0 , будем назвать полным теплосодержанием, а соответствующую абсолютную температуру – температура торможения. Пользуясь средним значением теплоемкости, можно вычислить температуру торможения по следующей формуле: Для воздуха (ср 0,24) имеем приближенно . Например, в воздушном потоке нормальной температуры (Т ≈3000 К) при скорости движения ω = 100, 350; 1000 м/сек получается соответственно температура торможения: Т0 ≈ 305, 360, 800 0К. Истинная температура обтекаемой газом поверхности обычно отличается от температуры торможения. Для определения температуры поверхности пользуются следующей формулой: или для воздуха – принимается 0,1 ÷0,8. Предельная скорость движения газа Число МАХА Рассматривая истечение газа при отсутствии энергетического обмена, нетрудно убедиться в том, что скорость истечения ни при каких условиях не может быть выше некоторой максимальной величины. В самом деле, из соотношения следует, что максимальная скорость достигается в том случае, когда теплосодержание в потоке равно нулю, т.е. когда полное теплосодержание газа целиком преобразуется в кинетическую энергию Отсюда получим формулу для максимального значения скорости в газе Соответствующая приближенная формула для воздуха, выведенная в приложении постоянства теплоемкости (ср ≈ 0,24), имеет следующий вид: . Если температура торможения воздуха (температура в сосуде, из которого воздух вытекает) близка к нормальной (Т0 ≈3000 К = 270 С), то максимальная возможная скорость истечения ωmax=776 м/сек. Увеличение максимального значения скорости может быть достигнуто только путем повышения температуры торможения (полного теплосодержания). Для того чтобы перевести газ из состояния покоя в движение со скоростью ω, необходимо израсходовать часть его теплосодержания, равную жүктеу/скачать 2,86 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|