Теория и методика обучения математике

ством. Д ля полного доказательства необходимо показать, 
что:
(8) —» (7) —> (6) —» (5) —> (4). Д ействительно, из (8) можно 
получить (7), а из (7) — (6) и т. д.
О 
методе доказательства от противного более подробно 
будет сказано далее в разделе “М атематические утверж де­
ни я, теоремы и их доказательства” .
Обобщение и кон крети зац и я. Одним из простых и часто 
прим еняем ы х методов при структурировании теоретиче­
ских вопросов и формулировок заклю чений является метод 
обобщения. Под обобщением понимают мысленное выделе­
ние, фиксирование каких-либо свойств, п ри н адлеж ащ и х 
только данному множ еству объектов и объединяю щ их эти 
объекты воедино.
Методическую основу обобщения составляю т д и а л е к ­
тические принцип ы о взаимной условности предметов и 
явл ен и й окруж аю щ ей действительности . Д аж е простое 
обобщение составляет основу глубокого осознания в за и ­
мосвязей мира.
К онкр е т и за ц и я  односторонне фиксирует одну сторону 
объекта изучения вне связи с другими его сторонами.
Из истории науки известно, что два противополож ны х 
процесса находятся в диалектическом единстве:
1) материалы , накопленные империческим путем, обоб­
щ аю тся и устанавливаю тся в общие закономерности;
2) установленные общие закономерности находят свое 
применение в конкретны х объектах и явлен и ях реальной 
действительности.
Эти процессы п роявляю тся в ш кольн ом курсе м ате­
м ати ки в виде обобщ ения теорети чески х м атери алов и 
законом ерностей, задач к о н к р ети зац и и , р асш и р ен и я и 
суж ения и т. д.
В м атем ати ке обобщение поним ается к а к переход от 
рассм отрения элементов м н ож ества М  к м н ож еству ІУ, 
рассмотрение множ ества А7", являю щ ееся подмножеством 
множ ества ІУ, и изоморфным множеству М . К о н кр е т и за ­
цией является, наоборот, переход из рассмотрения элемен­
тов второго множ ества к рассмотрению элементов первого 
множества.
Д ля того чтобы объяснить учащ имся суть обобщения и 
конкретизации, необходимо переходить к рассмотрению
77

ее с точки зрен и я частного случая теории множеств. Пусть 
множество М  является подмножеством множества N
1
тогда 
переход от м нож ества М  к множеству N будет обобщением, 
а от м нож ества Л/" к множ еству М  — конкрет изацией.
Если в процессе конкретизации осущ ествляется пере­
ход от рассм отрен и я элементов рассм атриваем ого м но­
ж ества к элементам его подмнож ества, то утверж денны е 
д л я элементов данного м нож ества свойства явл яю тся и 
свойствами элементов его подмножества.
Н априм ер, д л я изучения п он яти я ромб сначала п ока­
зываю т, что свойствами параллелограм м а обладает и ромб 
(так к а к ромб есть параллелограм м), а затем доказываю т 
характерны е только для ромба свойства.
При обобщении осущ ествляется переход из рассмотре­
н и я какого-либо множ ества к рассмотрению множ ества, 
вклю чаю щ его рассматриваемое множество. Поэтому сна­
чала доказы ваю тся все свойства элементов первого м нож е­
ства, а затем все свойства, присущ ие элементам вне этого 
множества. При переходе сохраняю тся некоторые свойства, 
но одни из них теряю т силу, а другие — объясняю тся в 
обобщенном виде. Н априм ер, множество прямоугольны х 
треугольников явл я ется подмнож еством любого м нож е­
ства треугольников. При переходе из первого множества ко 
второму сохраняю тся следующ ие свойства: “П рям оуголь­
ному треугольнику можно вписать треугольник” , “сумма 
внутренних углов треугольника равна 180°” . А свойство 
“Если в прямоугольном треугольнике один угол равен 30°, 
то п роти волеж ащ и й к этому углу катет будет равен по­
ловине гипотенузы ” справедливо только для прям оуголь­
ны х треугольников и этим свойством не обладают другие 
виды треугольников. Теорему П иф агора, справедливую
для прямоугольны х треугольников, можно заменить его 
обобщением теоремой косинусов, которая справедлива для 
любого треугольника.
Д ля обучения учащ и хся умению обобщать и к о н к р е­
ти зи р о вать, необходимо рассм атри вать все возм ож ны е 
случаи. Это выполнимо при формировании математических 
понятий, при реш ении матем атических задач, повторений 
материалов тем и глав. Т акая работа долж на осущ ествлять­
ся целенаправленно и последовательно.
78

И сточником результативного усвоения методов обоб­
щ ения и конкретизации явл яется знание об их структур­
ных составляю щ их.
Обобщение — это:
а) сравнение рассм атриваем ы х объектов;
б) выделение среди них главны х, общ их признаков;
в) объединение их по выделенны м признакам .
Объединение объектов по общим признакам происходит
следующ им образом:
• осущ ествляется замена постоянного с переменной;
• снимаю тся ограничения к исследуемому объекту.
П ри к о н к р ети зац и и перем енную зам ен яю т п остоян ­
ной или устанавливается ограничение для исследуемого 
объекта.
Известно, что любое понятие можно дифференцировать 
по содерж анию и объему. П ереход от одного п о н яти я к 
более общему является обобщением, и наоборот — конкре­
тизацией.
Н априм ер, при изучении п о н я ти я ч ет ы р е х у го ль н и к  
у учи теля есть возмож ность использовать эти методы и 
сформировать понятие об этих методах. К онкретизацией 
этого п о н яти я явл яю тся следую щ ие: в ы п у к л ы й  и невы- 
п у к ль ш чет ы рехугольник. В ы пуклы й четы рехугольник 
явл яется обобщением поняти й пар а ллело гр а м м , т рапе­
ция. В последовательности: ромб, параллелограмм,, в ы п у ­
клы й четырехугольник, четырехугольник, многоугольник 
каж д ое п он яти е я в л я е т с я обобщ ением преды дущ его, а 
предыдущ ее — конкретизацией последующего пон яти я.
Рациональное использование этих методов способствует 
осознанному усвоению рассм атриваем ы х пон яти й , уста­
новлению логических взаимосвязей меж ду ними и систе­
матизированию .
Одним из основных вопросов к у р са ш кольн ой м ате­
м атики является развитие п он яти я числа. О знакомление 
учащ ихся с последовательностью расш ирения этого п он я­
тия создает условия для форм ирования у них целостного 
представления о понятии числа и поним ания особенностей 
различны х числовых множ еств. Обобщение и кон к р ети за­
ция имеют огромное значение при изучении таки х тем, к ак
79

“У равнение”, “Ф ун к ц и я” , “Перенос плоскостей” , “Преоб­
разование пространства” , “М ногоугольники” и т. д.
Н апример, при изучении формулы 7г-го члена геомет­
рической прогрессии, оп и раясь н а определение, можно 
написать следующие равенства:
Учащиеся могут легко обнаружить, что равенства можно 
написать в обобщенной форме в виде формулы: Ъп =
С помощью данной формулы можно найти любой член 
геометрической прогрессии.
Если задана последовательность и необходимо найти 
ф орм улу общ его ч лен а данной п оследовательн ости , то 
и сп ользуется обобщ ение, а если по общ ей формуле н е­
обходимо найти члены последовательности, то — к он кре­
ти зац и я.
В м атем ати ке часто рассм атри вается сначала общий 
случай, а затем переход к частны м случаям реш ения за-
написать в виде суммы четной и нечетной ф ункций.
Допустим, что задача реш ена, т.е. /(х) = 

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: