Теория и методика обучения математике

1) форму м ы ш ления, исследования и п ознания, когда 
и зучаем ы й объект м ы сленно и ли п р а к ти ч е с к и р а с ч л е ­
няется на составные части, к а ж д а я из которы х изучается 
отдельно, с тем, чтобы в дальнейш ем соединить с помощью 
синтеза в единое целое рассматриваемое уж е на более вы ­
соком уровне;
2) метод рассуж дения, при котором мысль дви ж ется от 
неизвестного к известному;
3) метод м ы ш ления от целого к частям этого целого;
4) прием м ы ш лен и я, при котором переходят от след­
ствия к его причине;
5) особую форму процесса м ы ш л ен и я , ко гд а объект 
вклю чается во все новые связи и в силу этого выступает во 
все новых качествах, которые ф иксирую тся в новых по­
н яти ях (с точки зрения психологии).
А в синтезе этот процесс осущ ествляется в обратном 
порядке.
Под синтезом понимают:
1) форму м ы ш ления, исследования и познания, когда 
изучаемы й объект мысленно или п ракти чески соединяет­
ся в единое целое из составных частей объекта, расчленен­
ного в процессе анализа;
2) метод рассуж дения, при котором мысль дви ж ется от 
неизвестного к известному;
3) метод м ы ш ления от частей к целому;
4) прием м ы ш ления, при котором переходят от п ри чи ­
ны к ее следствию;
5) особую форму м ы ш лен и я, когда происходит соот­
несение и установление всяки х связей м еж ду различны м и 
элементами (с точки зрения психологии).
В этом и п р о явл яется противополож ность ан ал и за и 
синтеза. Однако в познании нельзя рассматривать анализ 
и синтез вне зависимости друг от друга, потому что даж е в 
простых мыслительных действиях анализ поддерживается 
синтезом, а синтез — анализом. Следовательно, в процессе 
обучения они прим еняю тся к а к единый аналитико-синте- 
тический метод.
А нализ и синтез ш ироко прим еняю тся в процессе обу­
чения м атем атике, например, при доказательстве теорем 
и реш ении задач на доказательство, на построение и при
71

реш ении задач с помощью уравнений, при оты скании р аз­
личны х множ еств точек и т. д.
Э лем ентарны й а н а л и з и синтез. В элементарном пони­
мании а н а л и з  — это метод расчленения целого на части, а 
синт ез — соединение этих частей в единое целое.
Рассмотрим примеры.
1. П ри ф орм и рован и и п о н яти й у к азы в аю тся общ ие 
свойства поняти й, а затем вы деляю тся из них сущ ествен­
ные, т.е. осущ ествляется элементарный анализ. Элементар­
ный синтез объединяет сущ ественные свойства поняти я.
2. К ак и другие н ауки , м атем ати ка использует к л а с ­
сиф икацию понятий. К ласси ф икац ия родовых понятий на 
видовые, видовых — на другие классы понятий осущ ест­
вляется с помощью элементарного анализа. Например, при 
класси ф и кац и и п о н яти я натурального числа множество 
н атуральн ы х чисел д ел и тся на множ ество просты х, со­
ставны х, четны х и нечетны х чисел.
У ч и т ы в а я в с ев о зм о ж н ы е р а с п о л о ж е н и я п р я м ы х в 
пространстве, их делят на классы п араллельны х, перпен­
ди кулярн ы х и скрещ иваю щ ихся прям ы х.
При классиф икации точек разры ва ф ункций их расчле­
няю т на следующ ие типы:
а) восстанавливаем ая точка разры ва;
б) разры в первого рода;
в) разры в второго уровня.
3. В процессе доказательства многих м атем атических 
предлож ений приходится их разделять на несколько час­
тей, т.е. осущ ествлять элементарны й анализ.
Н апример, для доказательства теоремы косинусов рас­
сматриваю тся по отдельности различны е виды треуголь­
ника: тупого, острого и прямого. Обобщение этих случаев 
к ак целое явл яется синтезом.
При доказательстве теорем методом от противного ис­
пользуется такж е элементарны й анализ. Н апример, для 
того чтобы доказать, что А = В, допускают, что А ^ В. В ре­
зультате получают противоречащ ий вывод либо с данными 
теоремы, либо аксиомы, либо с ранее доказанной теоремой. 
В соответствии с законом об исключении третьего, делается 
вывод: допущ ение неверно, поэтому доказываемое равен- 
72

ство верно. Следовательно, при доказательстве ан али зи ру­
ются все возмож ны е случаи.
Проведение исследования при реш ении задач на постро­
ение явл яется элем ент арны м а н а л и з о м , осущ ествление 
построения — элем ент арны м синтезом.
4. 
В ш кольном курсе геометрии лю бая аксиом а может 
быть примером элементарного синтеза. В аксиоме “Через 
три точки, не леж ащ ие на одной прям ой, можно провести 
только одну плоскость” реализуется элементарны й синтез, 
так к а к меж ду таким и первоначальны м и пон яти ям и , как
точка, п р ям ая и плоскость, устанавливается однозначное 
соответствие.
Рассмотренные выш е примеры показы ваю т, что в м ате­
м атике и в обучении м атем атике ш ироко прим еняю тся ме­
тоды анализа и синтеза, поэтому возникает необходимость 
хорошо знать особенности их прим енения. Только тогда 
учитель может сформировать у учащ ихся правильное пред­
ставление об этих методах.
С интетический метод. И сходны м моментом си н тети ­
ческого д о к азател ьства у твер ж д ен и й я в л я е т с я условие 
теоремы. На основе преды дущ их предлож ений и законов 
логики условие теоремы постепенно преобразую т до тех 
пор, пока не приходят к заклю чению . К достоинствам син­
тетического метода относятся: исчерпы ваю щ ая полнота, 
сж атость, краткость (обычно данны й метод прим еняется 
при излож ении уж е разработанны х м атем атических тео­
рий, известны х доказательств или доказательств, оты ска­
ние которы х не вы зы вает у учащ и хся затруднений).
Синтетический метод имеет и свои недостатки. Оста­
ется неясны м, к ак можно обнаруж ить такое доказатель­
ство, почему в рассуж дениях поступают так, а не иначе; 
дополнительные построения н и к ак не аргументирую тся; 
учащ иеся, слуш ая или читая доказательство, воспринима­
ют его пассивно, соглаш аю тся с истинностью каж дого 
ум озаклю чения и не представляю т, в каком направлении 
до л ж н ы вестись д ал ьн ей ш и е р ассу ж д ен и я. Этот метод 
мало способствует сам остоятельном у откры тию д о к а за ­
тельства; идея, план рассуж дений остаются скры ты м и от 
учащ и хся. Поэтому, используя нисходящ ий анализ, н е­
обходимо найти, с чего начинать рассуждение.
73

Т аким образом, при д оказательстве теорем строится 
последовательность обоснованных рассуж дений начиная 
с условий теоремы до их заклю чен и я. И стинность зак лю ­
чения теоремы явл яется логическим следствием начиная 
с условия теоремы, ранее известны х м атем атических пред­
лож ений (аксиом, ранее доказанной теоремы и т. д.).

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: