Р и с. 2 Сначала строится координатная система и для н агляд ­ ности за длину единичного отрезка берется 2 см. На оси О Ү 66

отмечается точка Ғ(0; 1/4). И зм еряется расстояние от точ­
ки Ғ  до любой точки М  параболы , и от точки М  строится 
отрезок, параллельный оси ординат и равный Ғ М . Отметим 
эту точку. Если повторить такое построение несколько раз, 
то геом етрическим местом т а к и х точек будет я в л я ть с я
прям ая у = 
. Тогда расстояние от точки 7^(0; 1 /4 ) до лю ­
бой точки параболы будет равно расстоянию от данной
точки до прямой у = - - .  Затем учащ им ся сообщ ается, что
4
точка Ғ(0; 1/4) назы вается фокусом параболы, а п рям ая 
у =  —і — директрисой. У чащ иеся знают: у любой параболы
есть фокус и директриса.
М ожно ан али ти чески м методом д оказать, что лю бая 
точка параболы у = х 2 находится на одном и том ж е рас­
стоянии от точки Ғ ( 0; 1 /4 ) и прям ой у = 
Д ля этого
расстояние от любой точки параболы с координатами 
(а; а2) до точки Ғ(0; 1 /4) вы числяется по общей формуле 
рассто ян и я м еж ду д вум я то ч к ам и . Затем н ах о д ят р а с ­
стояние от точки (а; а2) до прямой у = - - . Сравнивая эти
4
результаты, делается вывод, что эти расстояния равны.
3.3.2. Логические методы п озн ан и я
Сравнение. Среди методов познания распространенным 
и универсальным является метод сравнения.
М ысленное установление сходства и р азл и чи я иссле­
дуемых объектов назы вается сравнением. В науке уста­
новлено, что основу мыслительной деятельности человека 
составляет наблюдение путем сравнения и умение отличать 
происходящ ие изменения. Не опираясь на сравнение, не­
возможно сформировать даж е простое понятие. Не случай­
но сказано, что “все познается в сравнении” . Чтобы сделать 
правильные выводы на основе сравнения, необходимо п ри­
держ иваться следую щих условий:
67

1) сравнению подлеж ат только однородные объекты;
2) объекты сравниваю тся по идентичны м свойствам и 
доводятся до конца.
К. Д. У ш инский считал, что “в д и дакти ке сравнение 
долж но стать основным методом” . Чтобы целенаправлен­
но формировать у учащ ихся ум ения сравнивать объекты, 
необходимо, чтобы они четко знали о составе и структуре 
сравниваемы х объектов.
Сравнение — это:
а) выделение сущ ественных признаков изучаемы х объ­
ектов;
б) нахож дение признаков, отличаю щ их объект от ос­
тальны х;
в) сопоставление объектов по этим п ризнакам .
Системное и плановое использование сравнения в об­
учении м атем атике не только способствует углублению и 
систем атизации знаний, но и акти ви зи рует м атем атиче­
ское м ы ш ление, познавательную деятельность, развивает 
творческие и познавательны е способности учащ ихся.
Сравнение сходных м атем атических фактов облегчает 
усвоение зн ан и й , п реп ятствует заучи ван и ю некоторы х 
ф орм ально-траф аретны х утверж дений, помогает установ­
лению причинно-следственны х связей меж ду понятиям и, 
способствует формированию умений и навыков по осущест­
влению самостоятельного научного поиска.
Н есмотря на то, что сравнение играет важ ную роль в 
процессе познания, оно не может дать полноценное знание 
об изучаем ом объекте. С равнение станет эф ф ективны м
методом исследования предметов и явлений окруж аю щ ей 
нас действительности при использовании его наряду с 
другим и методами познания.
П риведем прим еры п р и м ен ен и я метода сравнения в 
обучении м атем атике.
1. 
Преемственность в изучении преобразования на плос­
кости и в пространстве явл яется одной из главны х идей 
курса геометрии. П ервые представления о перестановке у 
учащ и хся формирую тся в курсе м атем атики 5—6 классов, 
определение преобразования на плоскости — в 7—9 к л ас­
сах, а преобразования в пространстве — в 10—11 классах.
68

Рассмотрим общие свойства преобразования на плос­
кости и в пространстве.
Н а плоскости и в пространстве им ею тся следую щ ие 
общие свойства перестановки:
1) преобразованием подобия явл яется перестановка;
2) к о м б и н а ц и ей д вух п ер естан о в о к я в л я е т с я п е р е ­
становка;
3) в комбинации трех перестановок вы полняю тся свой­
ства ассоциативности;
4) обратное п реобразован и е п ер естан о вки я в л я е т с я
перестановкой.
Следовательно, и преобразование на плоскости, и пре­
образование в пространстве образуют группу.
П еречислим свойства преобразования подобия на плос­
кости и в пространстве:
а) точки Л, £ , С, леж ащ ие на одной прямой, переходят 
в точки 
В
Сх и сохраняется их порядок;
б) отрезок отображ ается в отрезок;
в) луч отображ ается в луч;
г) п рям ая отображ ается в прямую;
д) полуплоскость отображ ается в полуплоскость;
е) параллельны е прям ы е отображ аю тся в п а р ал л ел ь­
ные прямы е;
ж ) угол отображ ается в угол;
з) окруж ность отображ ается в окруж ность;
и) круг отображ ается в круг.
В пространстве, при преобразовании подобия, вы пол­
няю тся и следующие свойства:
а) плоскость отображ ается в плоскость;
б) две параллельн ы е прям ы е отображ аю тся в п а р а л ­
лельные прямы е;
в) сфера отображ ается в сферу;
г) сохраняется угол меж ду прямой и плоскостью.
С равнивая группы перестановок и преобразования по­
добия, мож но установить, что м нож ество перестановок 
является подмножеством преобразования подобия.
2. 
Использование метода сравнения полезно при изуче­
нии графиков ф ункций.
Рассмотрим функцию у = \х\. Если построить граф и к 
этой ф ункции, используя определение абсолютной величи­
69

ны, то увидим, что граф ик данной ф ункции симметричен 
относительно оси ординат (рис. 3).
Теперь построим граф ик ф ункции у =\х\ + 1. Д ля этого 
построим таблицу значения этой ф ункции и сравним ее со 
значениям и преды дущ ей ф ункции. В результате видим, 
что граф ик второй ф ункции можно получить с помощью 
граф ика первой функции путем переноса ее граф ика по оси 
ординат на одну единицу выш е.
Д ля построения граф и ка ф ункции у =\х\ -  1 необходимо 
граф ик ф ункции у =\х\ перенести по оси ординат на одну 
единицу ниж е.
Д ля вывода правила построения граф и ка ф ункции 

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: