Теория и методика обучения математике

в процессе использования этого метода для реш ения кон ­
кретны х практи чески х задач.
Ц ели указанного метода состоят в познании явлений, 
процессов действительности и в получении способа. У ка­
занны е цели метода уравнений и неравенств являю тся и 
ц елям и его изучения. Но можно говорить и о других, к о ­
торые имеют к а к образовательное, мировоззренческое, так 
и дидактическое значение.
Координат ный метод — способ определения полож е­
н и я точки (на п рям ой , на плоскости, в пространстве) с 
помощью чисел (для декартовой системы координат). И с­
пользуя координатны й метод, алгебраические уравнения 
можно истолковать в виде геометрических образов (граф и­
ков) и, наоборот, искать решение геометрических образов с 
помощью аналитических формул (уравнений и их систем).
П оняти йны й аппарат координатного метода для п р я ­
моугольной системы координат:
1. Абсцисса (от лат. аһзсізза — отсекать) — одна из де­
картовы х координат точки (обычно первая), обозначаемая 
буквой х.
2. О рдината (от лат. о гдіпаіиз — упорядоченный) — 
одна из декартовы х координат точки (обычно вторая), обо­
зн ачаем ая буквой у.
3. Координаты (от лат. со — совместно и огйіпаіиз — 
у п орядоченны й, определенный) — числа, взяты е в опре­
деленном порядке и характеризую щ ие полож ение точки 
на линии, на плоскости, в пространстве.
4. Координат ная плоскость — плоскость, на которой 
рассм атриваю тся два семейства несам опересекаю щ ихся 
линий, причем к а ж д а я ли н и я одного семейства пересека­
ется с каж дой линией другого семейства только в одной 
точке. Н ачальны м и л и н и ям и вы брали х  = 0 и у = 0 (их 
н азвали осями координат). Л инии х = сопзі и у — сопзі — 
координатны е линии.
Вект орны й метод. Вектор — одно из ф ундам енталь­
ны х понятий современной м атем ати ки , ш ироко исполь­
зуется в р азл и чн ы х ее областях. В настоящ ее время на 
векторной основе излагаю тся ли н ей н ая алгебра, ан али ти ­
ческая и диф ф еренциальная геом етрия, функциональны й 
ан али з и др.
98

К понятию вектора, к ак направленного отрезка, п р и ­
водят многие задачи из других областей ф изики: теории 
упругости, теории электром агнитны х полей и т.д.
К основным компонентам векторного метода реш ения 
задач относятся:
• Перевод условия задач на я зы к векторов, в том числе:
— введение в рассмотрение векторов;
— выбор системы координат (если это необходимо);
— выбор базисны х векторов;
— разлож ение всех введенных векторов по базисным 
векторам.
• Составление системы векторны х равенств (или одно­
го равенства). Отметим, что в ш коле чащ е использую тся 
векторны е тож дества и их преобразования, реж е — в ек ­
торные уравнения. Поэтому в ш кольной м атем атике ис­
пользуется термин равенство.
• Упрощ ение векторны х равенств.
• Зам ена векторны х равенств алгебраическим и у р ав­
нениям и и их реш ение.
• Объяснение геометрического смысла полученного ре­
ш ения этой системы (или одного уравнения).
М ет од геометрических преобразований. Сущность лю ­
бого математического метода, в том числе и метода геомет­
рических преобразований, состоит в построении модели 
одной теории (например, теории евклидовой геометрии) в 
объектах другой (в наш ем случае группы геометрических 
преобразований). Существенным признаком м атем атиче­
ской модели явл яется наличие изом орф изм а м еж ду м о­
делью и моделируемой теорией. В рассматриваемом п р и ­
мере устанавливается наличие указанного изоморф изма 
меж ду множеством точек и прям ы х евклидовой плоскости 
и множеством инволю ционных элементов группы д ви ж е­
ний, т.е. осевых и центральны х симметрий. К аж дой точке 
Л ставится в соответствие центральная сим метрия с ц ен т­
ром в данной точке А, каж дой прямой а — осевая сим мет­
рия с осью а.
Р а зл и ч н ы е о тн о ш ен и я м еж д у то ч к ам и и п р я м ы м и
евклидовой плоскости могут быть и н терп рети рован ы с 
помощью композиций осевых и центральны х симметрий.
99

Н априм ер, отнош ение точка А принадлеж ит прямой а со­
ответствует тому, что композиции центральной симметрии 
относительно центра А  и осевой с осью а, осевой относи­
тельно прямой а и центральной с центром А представляю т 
одно и то ж е преобразование плоскости, т.е.
А € а , А° а = а°А.
Н али чи е указанного выш е изом орф изм а и позволяет 
п р и м ен я ть метод гео м етр и ч еск и х п р еобразован и й при 
реш ении задач, сформулированны х в терм инах евклидо­
вой геометрии.
М ет од диф ференциального и с ч и с л е н и я . Метод д и ф ­
ф еренциального исчисления явл яется основным методом 
исследования разл и чн ы х процессов, реш ен и я задач. Он 
выступает методом математического анализа, так к ак с его 
помощ ью изучаю тся свойства разли чн ы х классов ф у н к ­
ций. Кроме этого, производная явл яется инструментом и 
я зы ко м , на котором описываю тся многие процессы естест­
возн ан и я и тех н и к и , исследую тся и изучаю тся явлен и я 
реального мира.
М атем атика прим еняется в естествознании и технике 
для расчетов и количественных характеристик. Но полу­
чи ть расчетную формулу, например, траектории ракеты
или прочности балки, трудно. Здесь и используется аппарат 
математического анализа, который дает возможность ис­
следовать бесконечно малы е элементы линий (поверхнос­
тей) — дифференциальное исчисление и в результате полу­
чить требуемые формулы для объекта в целом — интеграль­
ные исчисления.
О бращ ение к бесконечно м алы м элементам дает воз­
можность “кусок” кривой заменить отрезком (секущей или 
касательной), при этом установив какие-либо закономер­
ности.

жүктеу/скачать 5,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: