Вопрос: По известны м трем элементам треугольника
необходимо найти его другой элемент. К каком у виду от
носится данная задача?
О т ве т : К реш ению треугольников.
Вопрос: К акие информации больше всего использую тся
при реш ении треугольников?
Ответ: Теоремы синусов и косинусов.
Вопрос: По данны м чертеж а какую из данны х теорем
можно использовать, чтобы найти медиану
тЬ и для какого
треугольника?
Ответ: Н ерацион ально использовать теорему си н у
сов, так к а к не известны величины углов треугольника.
Отметив
один из углов, напиш ем теорему косинусов для
треугольника
АО В. Далее, задавая рациональны е вопросы,
способствующие составлению плана, можно будет создать
полный план реш ения задачи.
Пусть
/ А О В = а, тогда ^
ВОС = 180° - а (так к ак
суммой
углов
АО В и
ВОС явл яется развернуты й угол).
Медиана
т ь — общ ая для углов
А О В и
ВОС, даны другие
стороны треугольников. П рименим теорему косинусов и
получим:
ь
2
с2 =
+
т 2 - Ъ •
т ь соз а ,
Ь2
а2 =
+
т 2 - Ь ’ т ь со8(180° - а).
Преобразуя эти равенства, можно найти длину медианы
т ь. По данной методике можно найти и другие медианы
треугольника:
т а,
т .
Р еали зац и я плана н и к ак и х затруднений не вы зы вает.
Если слож ить почленно вы ш еуказанны е равенства и ис
пользовать формулы приведения, то получим:
с2 -(-
а,2 —
+
2 т 2 ,
т ь = \ УІ2а2 +2с2 - Ь 2 .
Д ля этапа проверки ограничим ся ответом на вопрос:
Есть ли другие способы реш ения данной задачи? Если уча
щ иеся затрудняю тся самостоятельно
предлож ить другой
способ реш ения задачи, то учитель может подсказать сам:
165
а) треугольник
АВ С дополняется до параллелограм ма
А В С В (рис. 12).
И звестны сторона и диагональ параллелограм ма
А В С Б .
П ри м ен яя
следствие из теоремы косинусов, т.е. свойство
суммы квадратов диагоналей параллелограм м а, получим:
(2
т ь)2 + Ъ2 = 2
а2 + 2с2.
Отсюда:
тЪ - \ лІ2а2 + 2с2 - Ь 2 .
б) векторны й способ реш ения задачи. Введем векторы:
—>
—>
—>
—
—>
_
ВА — с ,
ВС - а ,
АС = Ъ,
В Б =
т (рис. 13).
Вы полним слож ение и вы чи тан и е над данны м и в е к
торами:
іа+с=2ть
Достарыңызбен бөлісу: