§  23  (т.  е.  верхнюю  и  нижнюю  горизон­

Итак,  ряд  (Б)  выражает  закон  III. 
Но  прежде  всего  он  выражает  закон
I,  что  следует  из  значения  х т
 =  ^[аЬ =  
=  д/2,  где  а  и  Ь  —  два  любых  члена 
ряда  (Б),  расположенных  симметрич­
но  относительно  его  середины.  Он  так 
же,  как  и  ряд  (А ),  выражает  и  закон
II,  что  следует  из  связи  его  с  рядами
н 
т
5   н  и  5  н,  о  чем  речь  ниже.
Ряд  (Б ),  преобразованный  по  S K
-
1
в  Д ,  выписан  в  табл.  21.
Числа  соответствуют  табл. 
6
  (кроме 
числа  0,841)  *.  Таким  образом,  числа 
рядов  (А)  и  (Б)  (табл.  20  и  табл.  21)
н
соответствуют  числам  ряда  S  н.  Но 
ряды  (А)  и  (Б)  связаны  и  с  основными
т
числами  ряда  S н,  т.  е.  с  числами  а  =
20
 
2 1/ 12
 
22/12
 
23/12
 
24/12
 
25/12
 
26/12
соответствующий 
1 2
-ступенной  музы­
кальной  гамме.
Покажем  связь  рядов  (А.1)  и  (Б.1) 
с  числом  1,37.  При  выводе  ряда  (А) 
в  §  23  для  формулы  (39)  было  принято 
значение х г =  V 1 5 /
8
.  Но  в  формулу  (39) 
вводились  приближенные  числа  (16/9, 
8 /5 ,  7 / 5 ) .   Поэтому  х г  ряда  (А.1)  в  трех 
случаях 
отклоняется 
от 
значения
V 15/8.  Определим  x T =  ^fab,  где  а  и  Ь  — 
два  любых  члена  ряда  (А .
1
),  располо­
женных  симметрично  относительно  его 
середины:  *
1
= д
/1
  *  1 5 / 8 = 1 , 3 6 9 ;   х 2 =  
=  V 16/15  -  1 6 / 9 = 1 , 3 7 7 ;  
х 3 =  л/9
/ 8
  X 
X  у
5 /3
 =  1,369; 
*4
 =  л/6/5  •  8 / 5  =   1,386;
*  Ч исло 0,841  —  зн ачени е тем перированной  малой 
терции;  в  чистом  стр о е  это  0 ,4 1 7 -2   (см.  §  2 9 ). 
К роме  того,  0,841 =  jtr  в  т аб л .  7.
2°
2 -
i
/>2 2 - 2/'2 2  3/1 - 2-V 12 2 -5/12 2-6/12
1,000
0,944
0,891
0,841
0,794
0,749
0,707
=  0,969  и  р =  а _
10
= 1 , 3 7   (что  приме­
нительно  к  ряду  (А)  ясно  из  §  23).  Эта 
связь  раскрывается  при  преобразова­
нии  рядов  (А)  и  (Б)  в  соответствую­
щие  качественные  ряды,  типа  ряда 
( А .
1
). 
Аналогичное 
преобразование 
было  сделано  в  §  10  и  с  рядом  (Б ). 
Повторим  его  здесь  более  строго.  Ряд 
(Б)  содержит  числа  1  и  2.  Но  1 ^ 2 .  
Убирая  из  ряда  (Б)  повторение  качеств 
(например  число 
2
),  получаем  каче­
ственный  музыкальный  ряд  темпери­
рованного  строя:
27/12 
28/12
  29/12 
210/12
 
2
11/ 12, 
(Б.1)
*5 =  у 5 /4   •  3 / 2 = 1 , 3 6 9 ;  
х
6
 =  У 4 / 3   X 
X д / 7 / 5  =  1,367.  Отсюда  видно:  значе­
ние  х г= л / 15/8  —  основное, 
так 
как 
в  трех  случаях  остается  постоянным. 
Все  отклонения  от  д/15/8  —  различны. 
Наибольшее  отклонение  в  х 4,  связы­
вающем  малую  терцию  и  малую  сексту 
(опять  малая  терция  и  нарушение!  То 
же  число  6 / 5  =  0 ,833“ 1 = ( 0 ,4 1 7  • 2)_ ‘, 
о  котором  речь  в  § 2 9 ) .   Усредним  по­
лученные 
6
  значений  х г.  Среднее  х г =  
=   1,37.
Аналогичный  центр  ряда  ( Б .
1
)  х г =
=  д / 1  .  2 1 1/ 1 2   =   V 2 1 / 1 2   .  2 1 0 / 1 2   =
=   д/22/ 
12
  •  29/,2. . . =   1,374,  т.  е.  постоян­
ный.  Число  1,374  отклоняется  от  1,370 
на  0,004  как  и  в  золотом  сечении, 
точнее: 
в 
золотом 
сечении 
( §
2 2
)
х г  =   V I ,2 3 6.1,528  =   2 У 2 /У Ф
3
  =

=   1,3742435; 
в 
темперации 
х г  =  
=  
=   2 '
1/24
  =   1,3739538.  Числа
различаются  на  0,0003.  Эта  связь  — 
следствие  связи  темперированной  се­
кунды  с  числом  Ф  (показанной  выше) 
и  говорит  (так  же,  как  и  значение  тем­
перированного  тритона,  равного  У
2
) 
о  фундаментальности  ряда  (Б).
Если  из  рядов  (А)  и  (Б)  вместо 
числа 
2
  снять  число 
1
  (так  как 
2
т=;
1
),
то  в  полученных  рядах  будет  х г= 1 , 4 6 ,
+ 
2
 
+1
но  1,46  _1_  1,37.  Это  говорит  о  фунда­
ментальности  малой  секунды,  так  как 
ряды  (А.1)  и  ( Б .
1
)  отличаются  от  ря­
дов  (А)  и  (Б)  сдвигом  на  малую  се­
кунду;  при  этом  х к =  У
2
  в  рядах  (А) 
и  (Б)  переходит  в  х г= 1 , 3 7   в  рядах 
(А.1)  и  (Б .1).
Покажем  связь  рядов  (А.1)  и  ( Б .
1
)
с  числом  а.  Ряд  (А.1)  охватывает  ~Д
+ 
2
и  Д .  Ряд  (А.1),  преобразованный  по 
- 1
 
+ 1
 
- 2  
S K
  в  Д   и  Д   примет  вид  (А .2 ),—  в  Д
и  Д   (А .З),— в  Д   и  Д   (А.4):
7 
3 
4 
5 
8
 
15
10 
4 
5 
6
 
9 
16
16 
9 
6
 
5 
4
15 
I
  I
  Т   I
(А.2)
8
 
9 
3 
5 
2 
5 
3
15  Тб 
Т  Т
 
3 
7 
4
8
 
15
5 
6
 
9 
16
(А.З)
7
3
2
5
4
 
15 
1
 
8
9
3
5
2
20
 
8
 
5 
12
 
9 
32 
2
 
15 
Тб  У   Т   Т
В  каждом  из  этих  рядов  x r =  ^fab,  где 
а  и  Ь  —  два  любых  члена  ряда,  распо­
ложенных  симметрично  относительно 
его  середины,  в  трех  случаях  отклоня­
ется  от  основных  значений,  как  и  в  ряде 
( А .1 ). 
Основные  значения  х г  рядов 
(А .1 ),  (А .2 ),  (А .З ),  (А.4) 
равны  соот­
ветственно  V
1 5 /8  
=  
1,369;  д /1 5 /1 6  
=  
=  0,968;  У8ТТ5 =  0,730;  УТ5764 =  0,484. 
Эти  центры  смещены  относительно  с о ­
ответствующих  центров  S K
 (д/2 =  
1,414; 
1,000;  (д/2)- 1 = 0 , 7 0 7 ;   0,500) 
и  в  отли­
чие  от  последних  связывают  несиммет­
ричные  члены,  т.  е.  разные  качества, 
что  согласуется  со  смыслом  S H  § 
15 
и
ш  
жД 
1,369 
0,968
19. 
Мера  этого  сдвига:  у^-р
4
  =   — р  =
0,707 
0,484 
п п а о  
' 
о
=   6 j 3 0 =
6 ^ 0 0 =
° ’ 9 6 8 ~ a -  П Р И  а н а ­
логичном  преобразовании  ряда  (Б.1) 
мера  сдвига,  соответствующего  х Гу  от 
х к  равна  0,972,  т.  е.  отклоняется  от 
a  =  0,969,  но  связана  с  числом  Ф  (см. 
§22:  (о =  0,972).
Таким  о б разом ,  м у зы к а л ь н ы е  ряды  
выражают  гармонию.  Причем  ряд  (Б) 
в  явном  виде  выражает  все  три  закона. 
Этот 
факт 
заслуживает 
внимания. 
Принято 
считать, 
что 
темперация 
создана  для  устранения  возникающей 
в  чистом  строе  дисгармонии,  что  ряд 
(Б)  приближенно  соответствует  ряду 
(А)  и  что  эта  разница  для  нашего 
слуха  не  существенна.  В  противоречии 
с  этим  здесь  доказывается  фундамен­
тальность 
ряда 
(Б ). 
Выходит, 
что 
строй,  установленный  человеком,  выра­

жает  гармонию  более  совершенно,  чем 
натуральный  строй.  Не  случайно  тем­
перированный  строй  лежит  в  основе 
европейской 
музыкальной 
культуры. 
Но  это  означает,  что  музыка  основана 
на  иррациональных  числах.  Числа,  по­
лучаемые  из  законов  гармонии,  также 
иррациональны.  Т ак  что  в  основе  п р и ­
роды   —  и р р а ц ио нальны е  числа.  Нату­
ральный  же  ряд  чисел  легко  выводится 
из  законов  гармонии  —  из  закона  II 
(см.  формулу  (2 3 ))  и  из  закона  III 
[39,  с.  71],  являясь  как  бы  вторичным.
Вернемся  к  ряду  (А ).  Он  выражает 
сложную  структуру  и  поэтому  до  сих 
пор  не  было  формулы  ряда  (А).  Фор­
мула  ряда  (Б)  проста:  а п =  2п /п ,  где 
п  —  целое.  Из  законов  I  и  II  мы  полу­
чили  формулу  ряда  (А)  в  виде  дихо­
томического  закона:
A 
m ,i.j  =  
( я ± 2 Л)|,/, 
(41)
где 
А т,ц  —  га-ный 
член 
ряда 
(А), 
взятый  в  /-ом  и  /-ом  диапазонах.  Число 
а  может  принимать  только  два  значе­
ния:  а\ =  \\  а
2
 =  
(2
 + 
1
 +  
2
- 1 )/,  где  / =  
=   —  1.  Пусть  а =  а\  =   \;  тогда  форму­
ла  (41)  примет  вид:
A mj'j  =   (1  ± 2 ”)/,/, 
(42)
где  при  сложении  п =  
0
,  —
1
,  —
2
,  — 
3
; 
при  вычитании  п  =   — 4,  — 5,  —
6
,  —
7
.
Пусть  i  =   +
1
,  /  =   +
2
.  По  фор­
муле  (42) 
(без  подчеркнутых  значе­
ний  п  —  о  них  скажем  позже)  получа­
ем  пять  членов  ряда  (A)  (Ai,  А
2
  ...,  As).
+ 
1
 
+2
Преобразуя  их  по  S K
  в  Д   и  Д ,  полу­
чаем  пять  пар  чисел  ряда  (А),  пока­
занных  в  табл. 
2 2
.  Шестую  и  седьмую 
пары 
получаем 
при 
а =  а2 =  ( 
2
 + 
1
  +  
+   2 -
1
)_i.  В  этом  случае  формула  (41)
примет  вид:
A mj,j
  =   [ ( 2 1 —
|—
 2 
2 Л]|,/,  (43)
где  при  сложении  п  =   +
1
,  при  вычи­
тании  п =   —
1
.  По  формуле 
(43) 
полу­
чаем  еще  два  члена  ряда  (А)  (Аб,  А7) 
и  соответственно  шестую  и  седьмую 
пары  чисел  (табл. 
2 2 ) . 
Тем  самым  мы 
получили  ряд  (А),  т.  е.  музыкальный 
ряд  (чистый  строй).  Значения  п  =  
=   — 5,  —
6
,  — 7  для  формулы 
(42) 
введены  из  соображений  симметрии 
дихотомического  ряда  2 п,  взятого  в 
диапазоне  семи  октав  (от 
2
°  до  2 ~ 7) 
с  центром  х к =  (У
2)- 7
  (сложение  +
2
Л  и 
вычитание  — 2п  в  формуле 
(42) 
есть 
учет  этой  симметрии).
Т абли ца 
22
т
п
4m.  + 1
4  щ,  +2
1
0
1
2
2
- 1
4 /3
3 /2
3
- 2
5 /4
8 /5
4
- 3
9 /8
16/9
5
- 4
16/15
1 5/8
6
+   1
7 /5
10/7
7
-   1
6 /5
5 /3
При  этих  значениях  п  по  формуле 
(42)  получаем  дополнительные  к  ряду
(А)  члены.  Они  в  Д   равны  0,969,  0,984,
0,992,  т.  е.  соответствуют  числам  S H 
(см.  табл.  4,  §  15).  Два  числа,  получен­
ных  по  формуле  (43),  являются  самы­
ми  загадочными  числами  ряда 
(А).

Число  7/$  (  Д )   есть  значение  тритона 
в  чистом  строе  (тритон  в  музыке  — 
характерный 
диссонанс-нарушитель). 
Второе  число  6/ s  =  (0,417 • 2
) ~ 1
  соответ­
ствует  значению  минорной  терции  — 
опять  то  же  число,  о  котором  будет 
идти  речь  в  §  29.
Формула  (41)  есть  вариация  зако­
на  II.  Это  опять  аддитивный  принцип 
октав,  только  выраженный  несколько 
иначе,  чем  в  §  20.  Формула  (43)  — 
явное  выражение  дихотомии;  причем, 
если  в  (42)  а =   1 = 2 ° ,   то  в  (43)  едини­
ца  (
2
°)  как  бы  расщепляется  на 
2
 + 
1
  и 
2 ~ \   число  п  в  (43)  также  принимает 
значения  + 1   и  — 1.  Кроме  того,  член
(2 + 
1
 +  2 - 1 ),  взятый  в  Д ,  т.  е.  (2 + 
1
 +  
+  
2
“ ') 
_1
 =  
4/ 5
 =  0,800 
(значение  ма­
жорной  терции). 
Фундаментальность 
числа  0,800  будет  показана  в  §  29.
Таким  образом,  ряд  (А)  мы  полу­
чили  дважды: 
1
)  по  формулам  (16) 
и  (39)  в  §23;  2)  по  формуле  (41). 
Первый  вывод  показывает  связь  ряда
(А)  с  десятичной  системой  счисления, 
второй  —  с  дихотомией.  Оба  вывода 
означают,  что  ряд  (А)  выражает  з а ­
коны  I  и  II.  Он  выражает  и  закон  III 
(так  как  в  ряде  ( А .
1
)  среднее  х г=   1,37, 
а  числа  1,37  и  Ф  связаны  с  помощью 
S K) ,  
н о
 
не  в  такой  явной  форме,  как 
ряд  (Б ).  Тем  не  менее  сказанное  гово­
рит  о  фундаментальности  и  ряда  (А).

Г л а в а   3.  Экспериментальные  начала  гармонии
Ряд экспериментальных  фактов  при­
веден 
выше: 
соответствие 
числа 
р
числу  h c / e 2y  выражение  законов  гар­
монии  в  музыкальных  рядах,  связь  Ф 
с  1,37  и  др.  Ниже  мы  приведем  ряд 
экспериментальных 
фактов 
проблем­
ного  характера.
25. 
МУЗЫКАЛЬНЫЙ  РЯД 
И  ТАБЛИЦА  МЕНДЕЛЕЕВА
Сущность  периодического  закона  — 
подгрупповая  аналогия,  на  основе  ко­
торой  элементы  системы  делятся  на  три 
группы:  основные  (
8
),  переходные  (
10
), 
лантаниды  (14).  Определенное  распо­
ложение  этих  групп  в  таблице  о б р а ­
зует 
многоплановую 
ритмическую 
структуру  —  композицию. 
Для 
рас­
смотрения  этой  композиции,  т.  е.  черт 
повторения  как  в  свойствах,  так  и  в 
порядке  расположения  элементов  сис­
темы,  обозначим  элементы  одной  и  той 
же  подгруппы  одинаковыми  буквами 
(табл.  23). 
Буквы,  таким  образом, 
обозначают  не  конкретные  элементы, 
а  подгрупповые  свойства.  Чередование 
подгрупповых  свойств  элементов:  ос­
новных,  переходных,  лантанидов  (как 
видно  из  таблицы)  образует  последо­
вательность,  в  которой  имеются  пере­
становки  и  замещения,  сбивающие  пра­
вильный  ритмический  порядок  сл едова­
ния  свойств,  что  и  создает  сложную
ритмическую  структуру  таблицы.  Так, 
свойства  первых  восьми  элементов  по­
вторяются  в  следующих  восьми:  ритм 
8
—
8
.  В  четвертом  периоде  этот  ритм 
нарушается  группой  переходных  эле­
ментов  № 2 1 — 30  (буква  Г  оторвалась 
от  В ),  что  образует  ритм 
10—8
 
(10
  пе­
реходных  №  21— 30, 
8
  основных  №  31 — 
38,  10  переходных  №  3 9 —48, 
8
  основ­
ных  №  49— 56).
В  дальнейшем  любое  число,  характе­
ризующее  группу  с  определенной  по­
следовательностью  свойств  элементов, 
будем  называть  ритмом.  Так,  ритм  10 
(10
  переходных  элементов)  нарушается 
в 
шестом 
периоде: 
14 
лантанидов
( № 5 8 — 71) 
вклиниваются  в 
группу 
переходных  элементов,  отделяя  от  нее 
один  элемент 
( № 5 7   —  лантан),  что 
образует  ритм  9  (№   72— 80,  аналогич­
ные  №  22— 30).
Проведем  линии,  отделяющие:  1) 
места  указанных  разрывов  и  аналогич­
ные  по  подгрупповым  свойствам  места 

жүктеу/скачать 57,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: