Три взгляда
жүктеу/скачать 57,19 Mb. Pdf көрінісі
|
| частью 6 + А, т. е. a = x r = ^ j (a -\- b )X
Х д /(6 + А) (А — вспомогательная часть, связывающая части а и Ь в целое; А не входит в сумму а + 6, поэтому це лое и сумма не совпадают). Разделим числитель и знаменатель правой части равенства (35) на Ь -\-А и примем Ху получим х 2 = X + ^ - д , или х — х — 6 + А = 0 (36) Выражение имеет важное значе ние, так как один член его (Ь) входит только в сумму (а - \ - Ь ), а другой член (Ь-\- А) обозначает только часть цело го. Именно А та часть, точнее — тот сдвиг, который по определению д о л жен осуществлять неравенство целого и суммы. Согласно § 12, число !/г имеет о с о бый смысл: связь с реальным целым. Абстрактное целое мы изображали с помощью единицы. Только из этих с о ображений (оставляя пока в стороне S K и S h) можно положить: (1) -щ т^= = I И (2) ' / 2. в случае (1) А = 0 и формула (35) переходит в (34), в которой сумма частей а-\-Ь и есть абстрактное целое. В случае (2) из уравнения (36) получаем: * = Л/^ 2<~ 1 =1,Э 66= 1,37 = т). (37)* Итак, исходя только из условия (2), мы получили число т 1 = р = / в преде лах трехзначности, что опять говорит о фундаментальности числа ‘/г- Но случай (2) ‘/г, где Ь = А, вы ражает точную симметрию. Учитывая, что внутренней сущностью S K являет ся нарушенная симметрия S H, видо изменим случай (2), т. е. нарушим симметрию у ^гА = 1 / 2 , но так, чтобы сдвиг от у 2 был связан с мерой S H, т. е. с полученными выше числами а и / / V 2. Так как А — связующая часть, * Число т] мы уж е получали вы ш е по ф орм уле (33) § 20. Это о зн ачает, что ф орм ула (35) не явл яется случайной или произвольной. то примем Ь > А; отсюда: 1 > 1 , ъ 1 I > /2 и, следовательно, у + + г, где 2 < 72 (заметим: качествен ный СДВИГ ОТ 1 /2 можно получить толь ко при сложении 1 /2 + -г, так как деле ние или умножение на 1 /2 есть пре образование по S K; см. § 1 3 ) . Опреде лим число г. Ясно, что нельзя положить 2 = а или 2 = / / V 2 , так как в этих сл у чаях 2 > 7 2 И г т - д > 1. Следователь- л/3,030301482806492... 2 В случае 22 х = 1,37038508... = /Ci. При этом отношение A/fe = 0,97015..., т. е. согласуется с числами / / У 2 и а. Число //л/2 содержит пока неизвест ную, но важную связь чисел 2 и 10 (см. § 19), поэтому число К будем счи тать основным. Число К в первых семи знаках совпадает с числом h c / e 2 = = 1,370388-Ю2 (экспериментальная величина по данным за 1963 г.; см. § 18). Число К (так же,как и р и /) есть сдвиг от -д/2. Мера этого сдвига равна /С/л/2 = 0,969010... = к. С мы сл числа К весьма прозрачен и раскрывает содержание S H, с другой стороны, как не совпадение реаль ного но, необходимо числа а и //л /2 преобра зовать по S K. Но в какой диапазон? В данном случае любое преобразова ние по S K будет произвольным, кроме единственного, учитывающего ф унда ментальный смысл семи октав S K. Тогда имеем два случая: z \ = ~ 2 ~ 7; z 2 = = а - 2 . В случае z\ из соотношения 7 -^—■ = 0 + А = у + 2 и уравнения (36) получаем: J_ = 1,37038805753619... = К. (38) целого и суммы. При этом числа Ф и 1,37 оказались связанными. Число Ф переходит в число К и наоборот: при щ г ^ = 1 пропорция (35) переходит в золотую (34). В основе обеих про порций совершенно аналогичная связь принципов па и а п. Выразим формулы (34) и (35) в численных значениях, положив для (34) a -\-b = 1, для (35) а-\-Ь - \ - \ = \ . Суммы числителя и зн а менателя правой части полученных р а венств в точности равны числам Ф и К соответственно (табл. 14). 22. СВЯЗЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С ЧИСЛАМИ л/2 И 1,37 Ч исло л/2 м о ж н о п олучи ть с по- Т а б л и ц а 14 (34) (35) 0,618 1 0,382 0,618 0,578 = 0,792 0,214 + 0,208 0,578 1,000 + 0,618 = 1,000 + ф -' + 1 1,000 : 0,792 + 0,578 = 0,792 + К ~ '+ 1 ф - ' + 1 = 0,792 : = Ф 1 / ( - ‘ + 1 = К мощью ряда Фибоначчи, множителя 7 и цифровой симметрии, т. е. множите ля 10" ( п — целое). Напомним ряд Фибоначчи (см. § 2 0 ): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... = ф-„, где п = 1, 2, 3, 4, 5, ..., т. е. номеру члена ряда Т , на пример, х¥ 1 = \, 4^2= 1, Чг3 = 2, 4^4 = 3, Ч г5 = 5, ¥ 6 = 8, 4^ 7= 13 и т . д . Возьмем теперь д/2 = 1,4142135623 ... и полу чим его следующим образом: д/2 = = 7 4 '1- 1 0 - | + 7 4 V 1 0 - | + 7 4 V 1 0 - 3 + + 7Чг4- 10_5 + 7Ч/'5 - 10_7 + 7Чг6- 10 _9 + + 7 ^ 7 - 1 0 - " + 7 ¥ 8- 1 0 - " + 7Чг9 X X Ю - " + 7Ч^ю* 1 0 - |2 + 7Чг| | . 1 0 - |2 + + 7 ¥ , 2 - Ю - 13 + 7 4 fi3- Ю " 13 + 7 ¥ м Х X 1 0 - 13 + 7 ¥ , 5 - 1 0 - 14 ..., т. е. V2 = = 27ЧГ„ • 10* (от числа k , закон изме- нения которого пока неизвестен, зав и сит получение д /2 ). Мы показали связь золотого сечения с ^ 2 и одновременно связь д/2 с числом 7, о которой упо- 1 1 2 3 5 8 13 21 34 Т ’ Т ’ Т ’ ~ 5 ~ ’ ~ 8 ~’ Т з ’ г Г 3 4 ’ 55 ’ — отношения членов ряда Фибоначчи 1 1 2 3 5 8 13 21 34 ~2 9 ~3 9 ~ 5 ~ ' 8 " ’ Тз ’ 2 1 9 34 ’ 55 ’ 89 ’ — отношения членов ряда Фибоначчи, Так как Ф _ 1 - | - Ф _ 2 = 1 , то х А = = * г = д( ф ^ Т ф ^ = ф - 1 2 — Ф /о 2 - Л ;2 Л 2 = Л 2 — 1 ( Ф + ! ) - ■ = 1 - 1 (Л 2 + 1 ) - ' = У 2 - 1 миналось в § 16. Связь Ф с д/2 видна и из симметрии, показанной в табл. 15. Теперь покажем связь Ф с 1,37. Эта связь не ограничивается только связью с числами К и ц. Из уравне ния ф п - \-ф п + [ = ф п + 2 следует Ф _1 + + Ф - 2 = 1 и Ф ~ 1/ Ф - 2 = Ф, что соот ветствует делению любого единичного отрезка по золотому сечению, т. е. име ем важный частный случай (качествен ное обобщение) золотого сечения. Числа Ф -1 и Ф - 2 являются пределами следующих рядов: = 0,6180... = Ф -1 (см. § 20); и :0,3819... = Ф “ 2 (Л ( П 1 = 0,4859, т. е. отклоняется от — = а \ но почти совпадает с а 23 = 0,4845 (р а з ница 0,0014). Центр S K х к = а 22= 1/ 2 - 3 - 2 есть граница Д и Д . Основной центр — -(- 1 2 S K хк = а ~ 11 = д/2 есть граница Д и Д . Пусть а _2 = Ф - 1 , b — з — Ф 2• Най дем a + i и Ь + 2. По формуле (21) на ходим а_|_ 1 = 1,236, 6 + 2 = 1,528, х г = = д/a + i *^ + 2 = 1,374 (см. табл. 16). 190 взятых через один. Теперь наоборот, найдем а + 2 и b + i. По формуле (21) находим а + 2= 1,618, b + \ = 1,309, х г = д/а + 2-6+1 = 1,456. Но 1,456 _L 1,374. Связь Ф с 1,37 ин вариантна относительно преобразова ний S K. Пусть с _ з = 0,486 ( = х г = = д/Ф-1 *Ф- 2 )- По формуле (21) на ходим с _2 = 0,515, с _ 1 = 0,972, с+ \ = = 1,029 и т . д . Инвариант 2: с _ 3/ / ( д / 2 ) - 3 = (д/2 Г 7 С - 2 = с _ , / ( У 2 ) - 1 = = д / 2 / с + 1 = 1,37. Итак, золотое сече ние есть выражение S H- Установлен- а - г = 0 , 6 1 8 _________Ь - з = 0,382 * r = V a - 2 ^ - 3 = 0,486 , 0,486 _ 0,500 а+ \ = 1,236 _________Ь ^ 2 = 1,528 * г = л а + \-Ь + 2 = 1,374 1^374 = Q д ?^ V 2 ная связь Ф с 1,37 не была известна и ее наличие говорит об эвристичности S K. Эта связь расширяет возможности анализа и позволяет объяснить мно гие исторические факты, которые рань ше рассматривались, как якобы проти воречащие принципу золотого сечения. Таким образом, к двум проблемам § 18 следует добавить золотое сечение. Иначе говоря, три фундаментальные проблемы — н аруш енная симметрия, число 137 и золотое сечение, постав ленны е современной наукой и считаю щиеся различны ми, качественная сим метрия связывает в одну. Само по себе это важное достижение теории S K*. Из сказанного следует, что золотое сечение может, в частности, выра жаться числами со = 0,971737... = 0,972 и 1 = 1,374244... = 1,37, устанавливаю щими связь золотого сечения с нару шенной симметрией. Число (о — это сдвиг от единицы (четного центра 5 К) в Д , число I — сдвиг от У2 (нечетного центра S K) в Д . Поэтому числа со и I соотносятся между собой как инвари * П остроенная автором впервые качественн ая симметрия чисел (или теория S K) — закон 1 — есть основной закон гармонии. Вся и зл а га е м ая здесь проблем атика о б я за н а этому закону. анты 1 и 2 , т. е. со/(У 2 )_ 1 = £ и £ /д /2 = со (см. § 13). Возникает вопрос, какими же числами выражается золотое сечение? Прежде всего это числа Ф ~ 1= 0,618 и Ф ~ 2 = 0,382, а в Д — соответственно 0,809 и 0,764. Забегая вперед, приба вим и V ^ = 1,272, а в~Д (д/ф ) - 1 = 0 , 7 8 6 . Заметим теперь, что два основных чис ла Ф - 1 и Ф ~ 2 находятся в ра зн ы х диапазонах S K. Пусть а _ 2 = Ф - 1 , Ь - 3 = = Ф ~ 2. Преобразуем оба числа в один и тот же диапазон. По формуле ( 2 1 ) находим 6 - 2 = 0,6545085. Найдем так же а — 1 , b — 1 , а + 1 , Ь + 1 , < 2 + 2 , 6 + 2 , ••• • Инвариант 3: = 0-2 CL- 1 0 + 1 = Ь ± = ... = 0 ,9442719... = 0,944 = Q. а + 2 ^ Число Q имеет фундаментальное зн а чение, так как: 1 ) число Q получено из преобразования по S K основных чи сел золотого сечения Ф - 1 и Ф - 2 ; 2) число Q преобразуется по S K в число 0,472 = х гар тех ж е чисел Ф - 1 и Ф ~ 2. Действительно, х г = ^ ф - 1 . ф 2 = П Л Q£ Ф Х -\-Ф ~ 1 = 0,486; х к = ------ ^----- ■== Т ' * гар = = Хг/л:А= 0,472; но 0 ,4 7 2 ^ 0 ,9 4 4 . Кро- ме того, 0,472 дополняет до единицы 0,528. Отношение 0,472/0,528 = 2 / ^ 5 = = 0,89443... = х гар чисел Ф и Ф ~ 1. Число И н вар и ан т 1 0,972 0,944 0,894 0,809 0,786 0,764 И н вар и ан т 2 0,728 0,749 0,791 0,874 0,899 0,9256 2 /л /5 также фундаментально, так как из уравнения Ф2 = Ф -\-1 следует Ф = = ф - 1 + 1 ( ф = 1,618; Ф ~ {= 0,618), т. е. в золотом сечении связь обратных чи сел Ф и Ф - 1 имеет важный смысл (тождественность десятичных знаков бесконечных дробей Ф - 1 и Ф) допол нительно к тому, что они связаны S K: + 2 — 2 Ф _L 1/Ф. Итак, мы получили два важнейших числа Q = 0,944 и 2 /л]Ъ = = 0,894. Возьмем теперь все приведенные выше числа и их инварианты и пре- - 1 образуем по S K в Д ; получим 12 чисел 23. ПОЛУЧЕНИЕ МУЗЫКАЛЬНОГО РЯДА ИЗ ЗАКОНОВ I И II Закон II в частном случае можно выразить формулой а : х = х : Ь, (39) где х = х г может принимать значения Р, /, Л* /С- Закон I в частном случае выража ется формулой (16) (см. § 12 ) а : х = = х : Ьу где х г = х к = (л]2)п. Примем для формулы (16) х = д/ 2 , для формулы ( 39 ) х = р. Итак, две формулы (16) а / ^ 2 = л]2/Ь и (39) а / р = р /6 — осно ва построения соответствующего ряда. золотого сечения (табл. 17). Числа ин варианта 1 были известны, но здесь получили новое толкование (как чис ла S H). Числа инварианта 2 демонстри руются впервые. Итак, мы установили три ч и сл о вы х за к о н а гармонии: качественная сим метрия, н а р у ш е н н а я симметрия, з о л о тое сечение. Эти законы основаны с о ответственно на числах ■>/ 2 , л/3, Ф (см. § 12, 20). Поэтому связь чисел д/2, 1,37 и Ф, показанная в этом пара графе, означает также связь трех з а конов. Музыкальные ряды Напомним -у2 = а - 11, р = а _10 = У 2 -а ; р 2 = 2 а 2 = а -20. В ы в о д р я д а . Примем а = 1 = а ° . Тогда согласно (16) Ь = 2 = а -22, со гласно (39) Ь = а ~ 20. Подставляя в формулу (16) Ь = а -20, получаем а = = а - 2 ; подставляя в формулу (39) а = а - 2 , получаем Ь = а -18 и т. д., под ставляя полученное значение b из фор мулы ( 39 ) в формулу (16), получен ное значение а из формулы (16) в формулу (39), продолжаем: по (16) а = а - 4 , по (39) Ь = а -16, по (16) а = = а - 6 , по (39) Ь = а -14, по (16) а = = а - 8 , по (39) Ь = а -12, по (16) а = = а ~ 10 = р, по (39) Ь = а ~ ,0 = Р; тем самым получен ряд из четных степе ней а. Аналогичным образом выведем ряд, используя первые малые целые числа. Согласно (39) а = $2/Ь , Ь = $2/а . П о ложим р2^ 1 5 / 8 (числа 8 и 15 — на именьшие из целых чисел, отношение которых в пределах трех знаков равно р2), откуда р « У 1 5 / 8 = 1 , 3 6 9 = 1,37. Д в а у с л о в и я : 1) использование чисел первой десятки и еще д в у х — 15 и 16 (возникающих как следствие значения х г = д/15/8, принятого для формулы (3 9 ) ); 2) использование всех чисел первой десятки. В ы в о д р я д а . Снова примем а = 1. Тогда согласно (16) 6 = 2, согласно (39) 6 = 15/8. Далее, как показано выше, по (16) а = 16/15, по (39) 6 = Т а б л и ц а 18 = Т 28 ~ ~ Т (согласно условия 2)*, подставляя 6 = 1 6 / 9 в формулу (16), продолжаем: по (16) а = 9 / 8 , по (39) 6 = 5 /3 , по (16) а = 6 / 5 и т .д . до тех пор, пока не начнет повторяться тот же ряд в обратном порядке; поворот будет от числа 7/5 , заключенного между д/2 и д/15/8. Два вывода ряда показаны в табл. 18 и 19 (горизонтальная стрел ка — преобразование по формуле (16), т. е. по S K, наклонная — по формуле (3 9 ) ). Ряд в табл. 19 получен при мини мальном количестве приближений: только в преобразованиях по форму ле (39) в трех случаях — числа 16/9, 8/5 , 7/5. Преобразование по формуле * Ч исло 2 2 5/128 ближ е к 7 /4 , но в этом случ ае в ряду будет о тсу тство вать числе 9. Т а б л и ц а 19 (16) оставалось точным. Поэтому ф о р мулу (16) назовем жесткой. Р я д в табл. 19 ока зы в ае тся приближенным выражением четных степеней а (табл. 18), если сохранить два условия вто рого вывода и оставить жесткой ф о р мулу (16). Д в а разных приближения (в табл. 18 после получения степеней а , в табл. 19 — приближенные числа 16/9, 8/5 , 7 / 5 подставлялись в ф о р мулы) дают одни и те ж е числа. В обеих + 1 + 2 + 2 таб л и цах a _L b, кроме пары 10/7 _L + 1 _L7/5 в табл. 19. Это перекрещ ивание (поворот в получении чисел ряда) произошло потому, что пара 4 / 3 N * 7 / 5 с в я за н а формулой (39) более точно, чем п ара 10/7 N» 4 /3 . Член 10/7 о к а з ы вается как бы «лишним»: от него не следует по формулам (16) и (39) но- + 2 + 1 вых чисел. П а р а 10/7 _L 7 / 5 сод ерж ит число 7 и яв л яе тся седьмой. О пять число 7 и тот же смысл, что и в § 16 — количест венная мера, о гр а н и ч и ва ю щ а я качественный сдвиг. Второе «лишнее» со д ер ж ащ и е ка ж д ы й по 7 чисел, вклю- число в табл. 18 и 19 — число 2. Но, используя число 2 = (У 2 ) 2 в п р е о б р а зо ван иях по формуле (39), получим числа - 1 + з в д и а п а зо н а х a _L b, инвариантные числам табл. 19. Таким образом, имеем 7 к ачеств ен но симметричных п ар чисел, о б р а зу ю щих ряд: 1, 16/15, 9 / 8 , 6 /5 , 5 / 4 , 4 /3 , 7 / 5 , 10/7, 3 / 2 , 8 / 5 , 5 / 3 , 16/9, 15/8, 2 — представляющ ий собой своеобразную замкнутую числовую систему. С л ед о вательно, четные степени а п ри о б р ета ют важ ное значение, т а к как с в я зы ваю т формулы (16) и (39); особенно а 2 — основа этой связи (р 2 = 2 а 2, т. е. Р 2 __ 2\ 2 л п п 0.484 7 ^ а. ); а = 0 , 9 3 9 = 0 5 1 6 , в целых 2 15 n r io ^ r 0,484 числах ( 2 = 7 ^ = 0,9375 = пс. , с — чис- 16 0,516 л о , близкое к д = 0,943 = ^см ' § 1 5 ) . Полученный р я д в точности сов п ад ает с музы кальным рядом (А) (см. § 1 0 ). зительное вы раж ен и е нечетных степе- 24. ЗАКОНЫ ГАРМОНИИ В МУЗЫКАЛЬНЫХ РЯДАХ Получение р я д а (А) из зак он ов I сматривали ряды (А), ( Б ) , (А.1), и II, естественно, означает, что р я д (А) (Б .1 ). Теперь остановимся на них эти законы вы р а ж ае т. В § 10 мы р а с : подробнее. Рассмотрим чистый строй. 1 А 16 15 9 8 6 5 5 4 4 3 7 5 10 7 3 2 8 5 5 3 16 9 15 8 2 (А) -к-—- Ь П — 9 О — е — п ------ | п Р о п —9 — «Г Р -9 -0 - е - ° Я - в - TI -о - ■О- - в - -е- -в ~ -в - - е - 1 2м 26 Зм 36 4 5ум. 4ув. 5 6м 66 7м 76 8 Р я д (А) ох в аты ва ет интервал чая и центры S K, равные четным степе- октаву, т. е. д ва д и а п а зо н а ( Д и Д ) , ням -^2 (числа 1 и 2), а т а к ж е прибли- ней -\/2 (числа 7 / 5 и 10/7) + 2 1 2 3 4 5 6 15 16 5 8 3 ± ~8 ~9 ~3 Т ~2 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 15 8 5 4 3 5 ± 1б i I i Т 7 1 Преобразуя эти числа по + 1 7 7 6 5 4 10 7 4 5 6 7 _L Т Т Т Т V 2 - 2 7 6 5 4 3 7 2 5 3 9 -L Т о Т ~8 Т Т б (л/ 2 ) - ' формуле ( 2 1 ), имеем: 3 2 1 9 16 8~ Тб ± 1 2 1 8 Тб _L 1/2 - 3 - 4 1 2 3 4 5 6 7 7 15 4 5 2 3 5 7 -L 32 i 12 I ? 14 _L 20 ^ 1 / 2 (V 2 ) - 3 (цифры над дробями — номера симметричных членов). Рассмотрим: 1 ) диапазон — 1 (выписан в табл. 20 ); числа соответствуют табл. 6 , т. е. н числам ряда S H (в табл. 6 подчеркнуты пунктиром), кроме числа 0,833 = 0,417*2 (о нем речь в § 29); 2 ) диапазоны — 1 и — 2 (нотное изображение то же, что и ряда ( А ) ) . — 1 —2 Ряд _L 5 / 6 4 / 5 3 / 4 J_ 2 / 3 5 / 8 3 / 5 ± ( Г ) — 1 1/2 численное выражение консонансов в музыке*. Ряд ( Г ) состоит из восьми, а с исключением единицы (так как 1— 1 / 2 ) — из семи членов. Преобра- — 3 зуя числа 1, 5 / 6 , 4 /5 , 3 / 4 в Д , ряд ( Г ) примет вид: - 2 - 3 _L 2 / 3 5 / 8 3 / 5 JL 5 / 1 2 2 / 5 3 / 8 ± ( 2 '), см. (4 0 ). 1/2 * К онсонансы — устойчивые, гарм оничны е созвучия. Кроме 5/1 2 — значения малой (минор ной) терции (5 / 1 2 = 0,417 = 0,833 X Х 2 _ | — опять то же число, о котором речь в § 2 9 ) , числа ряда (2') группи руются в ряды 1/2, 2 /3 , 3 /5 , 5 / 8 и 1/2, 2 /5 , 3 /8 , совпадающие с первыми числами рядов Фибоначчи (/) и (/') см. § 22 . Это означает, что консонансы выражают золотое сечение. Вернемся к ряду (А) и исключим из него два «лишних» члена согласно жүктеу/скачать 57,19 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|