Ту хабаршысы

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
289
 
 


 




 
 


 













0
0
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
4
n
m
n
n
m
n
m
n
DQ
DQ






 



 

 



 

 
;
!
2
!
2
!
1
2
2
1
1
2
0
1
1
2
n
h
f
DQ
M
m
n
h
W
n
z
n
n
n
m
n















 
 
                   (2) 
,
1
;
;
0
1










MN
D
f
f
f
z
z
z
jz

 
где 
N
 и  
M
 вязкоупругие операторы 
  
  

  
,
2
0
1




















d
t
f
t
N
 
 
 

  
,
0
1


















d
t
f
t
M
   
                                                           (3) 


t
y
x
f
z
,
,
-внешние нестационарные усилия,  
 
 
n
Q
,
,
1
2
1
1


 операторы вида 
 
 


q
n
q
q
n
n
Q
t
pM
y
x
t
pN
2
2
1
0
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
;
;
;





















































 
                                                           (4) 
Общее уравнение (2) сложно по структуре и мало пригодно для решения прикладных задач. Из 
общего уравнения можно получать приближенные уравнения колебания. Например, ограничиваясь в 
рядах сумм уравнения первыми двумя слагаемыми, получим приближенное уравнение 
  
 








,
1
1
8
2
3
4
3
6
2
1
2
2
1
4
4
1
1
2
2
2
2
0
z
f
h
W
MN
M
t
W
MN
p
t
W
M
N
p
h
t
W
p
W
P





















                                      
     (5) 
где 
h
2
  –  толщина  пластинки.  Уравнение  (5)  является  обобщением  уравнений  Кирхгофа,  С.П. 
Тимошенко и других авторов. 
 
п.2. Трехслойная пластинка, внутренняя составляющая которой имеет толщину 
0
2h
, а внешние 
составляющие  имеют  толщину 


0
1
h
h 
  и  состоят  из  одного  и  того  же  материала.  Параметры  внут-
ренней составляющей обозначим индексом ''0'', а внешних индексом ''1''. 
Не  приводя  общего  уравнения  колебания  пластинки  в  силу  его  громоздкости,  приведем  при-
ближенное уравнения (5). Оно имеет вид 
 
,
1
1
1
2
3
2
1
2
2
4
4
1
2
1
2
0
z
f
M
W
A
t
W
A
t
W
A
t
W
A












 
где операторы 
j
A
 равны 












































1
1
1
1
1
1
1
1
3
0
1
2
0
1
0
1
0
1
0
3
0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
0
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
2
3
6
3
6
3
;
N
M
p
M
p
h
h
h
M
N
p
p
h
h
M
N
M
p
h
M
N
M
p
A
h
p
h
h
p
M
A
 

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
290 



;
2
2
2
0
1
0
1
0
1
h
h
h
M
p



  
 
 
 
 
                                       (6) 
































 

.
2
1
3
2
3
2
2
3
2
;
4
4
1
3
2
3
2
0
1
2
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
2
0
1
1
0
1
2
0
0
1
1
0
3
0
1
2
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
2
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
2
0
1
1
1
2
0
1
1
1
1
1
2
0
0
1
2
0
0
1
1
0
2
h
h
h
D
M
M
h
h
h
h
h
D
h
h
h
h
D
h
h
h
D
M
M
A
h
h
h
N
M
D
p
M
p
h
h
h
N
M
D
p
M
p
h
h
h
h
M
p
C
N
p
h
h
D
h
h
h
D
M
p
h
D
h
h
D
M
p
A


































































 
п.3. Предварительно напряженная пластинка характеризуется конечными и начальными не ма-
лыми деформациями, задаваемые начальными смещениями точек пластинки 





































2
1
2
0
1
2
1
2
0
0
13
1
33
0
1
1
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
1
;
;
;
b
b
b
a
a
a
A
A
c
cz
w
y
b
x
a
v
y
b
x
a
u
                                        
(7) 
Приближенное уравнение поперечного колебания такой пластинки имеет вид 






































33
11
1
13
1
44
1
33
1
33
13
1
0
1
4
4
1
44
1
0
1
33
1
1
2
2
2
1
3
3
2
1
1
2
1
3
1
6
A
A
A
A
A
A
A
a
c
p
t
W
A
a
A
c
p
h
t
W
p
 






;
1
1
2
2
1
33
2
13
33
11
2
2
z
f
h
W
A
A
A
A
c
t
W










 
                                                    (8) 
при  этом  рассмотрен  частный  случай 
;
0
0
1

 b
a
,
1
0
b
a 
ij
A
-вязкоупругие  операторы  транс-
версально-изотропного материала пластинки.  
п.4. Изотропная пластинка с учетом температуры. 
Если  на  поверхности  пластинки  кроме  механических  усилий  задана  температура 
T
,  то  при-
ближенные уравнения колебания имеют вид 
 
 


 
 


 



 
   
 



 






;
,
2
3
3
,
6
;
1
7
6
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
11
1
1
1
12
1
1
1
2
0
1
1
1
11
2
0
1
0
1
1
2
2
0
1
h
z
z
T
Q
M
L
Na
M
Q
W
M
T
h
T
f
h
M
T
M
h
W
P
M










































 
                                                    (9) 
где 
0
T
 – температура точек срединной плоскости пластинки. 
п.5. Изотропная пластинка переменной толщины: 
F
F
F


2
1
. 
Приближенное уравнение поперечного колебания имеет вид 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
291




 




 


































2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
3
1
1
3
,
y
M
D
M
y
F
y
D
M
x
M
D
M
y
F
y
x
F
t
W
p
y
y


 


























2
4
1
1
2
2
2
2
3
6
,
1
t
W
M
N
p
y
x
F
W
x
D
M
 


















W
MN
M
t
W
MN
p
2
1
2
2
1
1
8
2
3
4
 




;
2
3
1
,
1
n
y
x
f
x
F
x
F
F
D
y
x
F




















 
.
1
1



MN
D
   
 
 
 
 
 
 
                      
(10) 
п.6. Если однородная пластинка лежит на деформируемом основании, то в уравнении (5) необ-
ходимо добавить закон отпора, который имеет вид 
 


;
4
3
2
2
2
2
1
1
2
1

























W
t
W
N
M
p
t
h
t
W
h
S
W
P
 
;
1
2
/
1
1
1
1
p
MN
M
S


 
 
 
                                                                           (11) 
1
1
1
,
,
p
N
M
 параметры основания. Как видно, закон отпора отличен от Винклеровского. 
п.7.  При  исследовании  динамической  устойчивости  изотропной  пластинки  из  упругого  мате-
риала  сжимающими  нестационарными  усилиями 
 
t
P
1
  и 
 
t
P
2
  вдоль  осей 
x
  и 
y
,  соответственно, 
вместо правой части в уравнении (1.5.5) необходимо добавить слагаемое 






.
4
,
,
0
2
2
0
2
2
2
0
1



d
W
t
W
t
P
x
W
t
P
t
y
x
F
t


















 
 
                        (12) 
п.8. При решении тех или иных задач колебания, скажем, прямоугольных пластин, необходимо 
формулировать  граничные  и  начальные  условия.  Полученные  общие  решения  и  зависимости  пере-
мещений и напряжений от искомых функций позволяют  однозначно строго выводить граничные ус-
ловия. Показано, что для шарнирного и жесткого закрепления граничные условия совпадают с клас-
сическими, а для свободного от напряжений края получены граничные условия для однородной изо-
тропной пластинки вида (
const
x 
): 






,
0
;
0
1
1
3
2
3
3
2
2
1
2
2
2
2






















x
W
t
W
M
D
p
y
W
D
x
W
D
                                                  (13) 
где  одно  из  условий  содержит  инерционную  составляющую,  что  соответствует  принципу  Да-
ламбера  механике.  Если  плоский  край  пластинки  находится  в  жестком  контакте  с  деформируемой 
вертикальной плитой, то граничное условие упругой заделки имеет вид 













2
2
1
1
2
1
3
2
2
3
2
3
3
y
W
M
D
h
DM
h
x
W
DM
h
 
;
;
6
1
2
3
1
1
2
1
2
x
W
h
W
t
x
W
p
D
h
Dp
h














 
 
 
 
                                                (14) 
где 
1
1
1
,
,
M
D
p
- параметры плиты. 

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
292 
Таким образом, предлагаемый подход позволяет строго строить приближенные теории колеба-
ния плоских элементов различного вида. 
 
ЛИТЕРАТУРА 
1.  Сейтмуратов А.Ж. Математическое моделирование и исследование колебаний   упруго-вязких  слои-
стых пластин, стержней и цилиндрических оболочек. // Диссертация на соискание ученой степени доктора фи-
зико-математических наук. – Алматы: КазНУ имени аль-Фараби, 2010. 
2.  Филиппов  И.Г.,  Филиппов  С.И.  Уравнения  колебания  кусочно-однородной  пластинки  переменной 
толщины. – МТТ, 1989, № 5, с.149-157. 
3.  Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Егорычев О.А. Влияние слоистости деформированного основания на 
колебания плоских элементов. Сб. трудов Респуб. конфер. «Актуальны проблемы механики контактного взаи-
модействия», Узбекистан, 1997, с.70-71. 
 
REFERENCES 
1.  Seytmuratov A.Zh. Mathematical modeling and study of oscillations viscoelastic laminated plates, rods and 
cylindrical shells. / / Dissertation for the degree of  Doctor of Physical and Mathematical Sciences. - Almaty: Kazakh 
National University named after Al-Farabi, 2010. 
2.  FilippovI.G., Filippov S.I. Vibration equation of piecewise-homogeneous plate of variable thickness. - MTT, 
1989, № 5, pp.149-157. 
3.  FilippovI.G., FilippovS.I., Egorychev O.A.The influence of stratification on the basis of the deformed varia-
tions of flat elements. Sat Works of the Republic. Conf. "Actual problems of the mechanics of contact interaction", Uz-
bekistan, 1997, p.70-71. 
 
Сейтмұратов А.Ж., Избасаров Е.Ж. 

жүктеу/скачать 43,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: