п.1. Однородная изотропная пластинка постоянной толщины.
Общее уравнение колебания пластинки относительно поперечного смещения W точек средин-
ной плоскости пластинки z=0 имеет вид
●
Ф И З И К О - М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Е Н А У К И
●
Физика–математика ғылымдары
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014
289
0
0
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
4
n
m
n
n
m
n
m
n
DQ
DQ
;
!
2
!
2
!
1
2
2
1
1
2
0
1
1
2
n
h
f
DQ
M
m
n
h
W
n
z
n
n
n
m
n
(2)
,
1
;
;
0
1
MN
D
f
f
f
z
z
z
jz
где
N
и
M
вязкоупругие операторы
,
2
0
1
d
t
f
t
N
,
0
1
d
t
f
t
M
(3)
t
y
x
f
z
,
,
-внешние нестационарные усилия,
n
Q
,
,
1
2
1
1
операторы вида
q
n
q
q
n
n
Q
t
pM
y
x
t
pN
2
2
1
0
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
;
;
;
(4)
Общее уравнение (2) сложно по структуре и мало пригодно для решения прикладных задач. Из
общего уравнения можно получать приближенные уравнения колебания. Например, ограничиваясь в
рядах сумм уравнения первыми двумя слагаемыми, получим приближенное уравнение
,
1
1
8
2
3
4
3
6
2
1
2
2
1
4
4
1
1
2
2
2
2
0
z
f
h
W
MN
M
t
W
MN
p
t
W
M
N
p
h
t
W
p
W
P
(5)
где
h
2
– толщина пластинки. Уравнение (5) является обобщением уравнений Кирхгофа, С.П.
Тимошенко и других авторов.
п.2. Трехслойная пластинка, внутренняя составляющая которой имеет толщину
0
2h
, а внешние
составляющие имеют толщину
0
1
h
h
и состоят из одного и того же материала. Параметры внут-
ренней составляющей обозначим индексом ''0'', а внешних индексом ''1''.
Не приводя общего уравнения колебания пластинки в силу его громоздкости, приведем при-
ближенное уравнения (5). Оно имеет вид
,
1
1
1
2
3
2
1
2
2
4
4
1
2
1
2
0
z
f
M
W
A
t
W
A
t
W
A
t
W
A
где операторы
j
A
равны
1
1
1
1
1
1
1
1
3
0
1
2
0
1
0
1
0
1
0
3
0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
0
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
2
3
6
3
6
3
;
N
M
p
M
p
h
h
h
M
N
p
p
h
h
M
N
M
p
h
M
N
M
p
A
h
p
h
h
p
M
A
●
Физико–математические науки
№1 2014 Вестник КазНТУ
290
;
2
2
2
0
1
0
1
0
1
h
h
h
M
p
(6)
.
2
1
3
2
3
2
2
3
2
;
4
4
1
3
2
3
2
0
1
2
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
2
0
1
1
0
1
2
0
0
1
1
0
3
0
1
2
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
2
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
2
0
1
1
1
2
0
1
1
1
1
1
2
0
0
1
2
0
0
1
1
0
2
h
h
h
D
M
M
h
h
h
h
h
D
h
h
h
h
D
h
h
h
D
M
M
A
h
h
h
N
M
D
p
M
p
h
h
h
N
M
D
p
M
p
h
h
h
h
M
p
C
N
p
h
h
D
h
h
h
D
M
p
h
D
h
h
D
M
p
A
п.3. Предварительно напряженная пластинка характеризуется конечными и начальными не ма-
лыми деформациями, задаваемые начальными смещениями точек пластинки
2
1
2
0
1
2
1
2
0
0
13
1
33
0
1
1
0
0
0
0
2
1
2
1
2
1
1
;
;
;
b
b
b
a
a
a
A
A
c
cz
w
y
b
x
a
v
y
b
x
a
u
(7)
Приближенное уравнение поперечного колебания такой пластинки имеет вид
33
11
1
13
1
44
1
33
1
33
13
1
0
1
4
4
1
44
1
0
1
33
1
1
2
2
2
1
3
3
2
1
1
2
1
3
1
6
A
A
A
A
A
A
A
a
c
p
t
W
A
a
A
c
p
h
t
W
p
;
1
1
2
2
1
33
2
13
33
11
2
2
z
f
h
W
A
A
A
A
c
t
W
(8)
при этом рассмотрен частный случай
;
0
0
1
b
a
,
1
0
b
a
ij
A
-вязкоупругие операторы транс-
версально-изотропного материала пластинки.
п.4. Изотропная пластинка с учетом температуры.
Если на поверхности пластинки кроме механических усилий задана температура
T
, то при-
ближенные уравнения колебания имеют вид
;
,
2
3
3
,
6
;
1
7
6
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
11
1
1
1
12
1
1
1
2
0
1
1
1
11
2
0
1
0
1
1
2
2
0
1
h
z
z
T
Q
M
L
Na
M
Q
W
M
T
h
T
f
h
M
T
M
h
W
P
M
(9)
где
0
T
– температура точек срединной плоскости пластинки.
п.5. Изотропная пластинка переменной толщины:
F
F
F
2
1
.
Приближенное уравнение поперечного колебания имеет вид
●
Физика–математика ғылымдары
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014
291
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1
3
1
1
3
,
y
M
D
M
y
F
y
D
M
x
M
D
M
y
F
y
x
F
t
W
p
y
y
2
4
1
1
2
2
2
2
3
6
,
1
t
W
M
N
p
y
x
F
W
x
D
M
W
MN
M
t
W
MN
p
2
1
2
2
1
1
8
2
3
4
;
2
3
1
,
1
n
y
x
f
x
F
x
F
F
D
y
x
F
.
1
1
MN
D
(10)
п.6. Если однородная пластинка лежит на деформируемом основании, то в уравнении (5) необ-
ходимо добавить закон отпора, который имеет вид
;
4
3
2
2
2
2
1
1
2
1
W
t
W
N
M
p
t
h
t
W
h
S
W
P
;
1
2
/
1
1
1
1
p
MN
M
S
(11)
1
1
1
,
,
p
N
M
параметры основания. Как видно, закон отпора отличен от Винклеровского.
п.7. При исследовании динамической устойчивости изотропной пластинки из упругого мате-
риала сжимающими нестационарными усилиями
t
P
1
и
t
P
2
вдоль осей
x
и
y
, соответственно,
вместо правой части в уравнении (1.5.5) необходимо добавить слагаемое
.
4
,
,
0
2
2
0
2
2
2
0
1
d
W
t
W
t
P
x
W
t
P
t
y
x
F
t
(12)
п.8. При решении тех или иных задач колебания, скажем, прямоугольных пластин, необходимо
формулировать граничные и начальные условия. Полученные общие решения и зависимости пере-
мещений и напряжений от искомых функций позволяют однозначно строго выводить граничные ус-
ловия. Показано, что для шарнирного и жесткого закрепления граничные условия совпадают с клас-
сическими, а для свободного от напряжений края получены граничные условия для однородной изо-
тропной пластинки вида (
const
x
):
,
0
;
0
1
1
3
2
3
3
2
2
1
2
2
2
2
x
W
t
W
M
D
p
y
W
D
x
W
D
(13)
где одно из условий содержит инерционную составляющую, что соответствует принципу Да-
ламбера механике. Если плоский край пластинки находится в жестком контакте с деформируемой
вертикальной плитой, то граничное условие упругой заделки имеет вид
2
2
1
1
2
1
3
2
2
3
2
3
3
y
W
M
D
h
DM
h
x
W
DM
h
;
;
6
1
2
3
1
1
2
1
2
x
W
h
W
t
x
W
p
D
h
Dp
h
(14)
где
1
1
1
,
,
M
D
p
- параметры плиты.
●
Физико–математические науки
№1 2014 Вестник КазНТУ
292
Таким образом, предлагаемый подход позволяет строго строить приближенные теории колеба-
ния плоских элементов различного вида.
ЛИТЕРАТУРА
1. Сейтмуратов А.Ж. Математическое моделирование и исследование колебаний упруго-вязких слои-
стых пластин, стержней и цилиндрических оболочек. // Диссертация на соискание ученой степени доктора фи-
зико-математических наук. – Алматы: КазНУ имени аль-Фараби, 2010.
2. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Уравнения колебания кусочно-однородной пластинки переменной
толщины. – МТТ, 1989, № 5, с.149-157.
3. Филиппов И.Г., Филиппов С.И., Егорычев О.А. Влияние слоистости деформированного основания на
колебания плоских элементов. Сб. трудов Респуб. конфер. «Актуальны проблемы механики контактного взаи-
модействия», Узбекистан, 1997, с.70-71.
REFERENCES
1. Seytmuratov A.Zh. Mathematical modeling and study of oscillations viscoelastic laminated plates, rods and
cylindrical shells. / / Dissertation for the degree of Doctor of Physical and Mathematical Sciences. - Almaty: Kazakh
National University named after Al-Farabi, 2010.
2. FilippovI.G., Filippov S.I. Vibration equation of piecewise-homogeneous plate of variable thickness. - MTT,
1989, № 5, pp.149-157.
3. FilippovI.G., FilippovS.I., Egorychev O.A.The influence of stratification on the basis of the deformed varia-
tions of flat elements. Sat Works of the Republic. Conf. "Actual problems of the mechanics of contact interaction", Uz-
bekistan, 1997, p.70-71.
Сейтмұратов А.Ж., Избасаров Е.Ж.
Достарыңызбен бөлісу: |