Әр түрлі жазық элементтер тербелісінің жуықталған теңдеуін модельдеу

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
293
Введение 
Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде урав-
нений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономиче-
ских,  технических  и  других  процессов.  Для  того  чтобы  использовать  математические  методы  для 
анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математи-
ки, то есть описать в виде системы уравнений и неравенств. 
Как  методология  научных  исследований  математическое  моделирование  сочетает  в  себе  опыт 
различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики и системно-
го программирования для решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объ-
ектов сложной природы – единый сквозной цикл разработок от фундаментального исследования про-
блемы  до  конкретных  численных  расчетов  показателей  эффективности  объекта.  Результатом  разра-
боток бывает система математических моделей, которые  описывают качественно разнородные зако-
номерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной системы в различных 
условиях.  Вычислительные  эксперименты  с  математическими  моделями  дают  исходные  данные  для 
оценки показателей эффективности  объекта. Поэтому математическое моделирование как методоло-
гия организации научной экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйст-
венных решений. 
По сути, математическое моделирование есть метод решения новых сложных проблем, поэтому 
исследования по математическому моделированию должны быть опережающими.  
Процесс моделирования начинается с моделирования упрощенного процесса, который с одной 
стороны отражает  основные качественные явления, с другой стороны допускает  достаточно простое 
математическое описание. По мере углубления исследования строятся новые модели, более детально 
описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на данном этапе, отбрасыва-
ются.  Однако,  на  следующих  этапах  исследования,  по  мере  усложнения  модели,  они  могут  быть 
включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот же фактор может считать-
ся основным или второстепенным. 
Математическая  модель  и  реальный процесс  не  тождественны  между  собой.  Как  правило,  ма-
тематическая  модель  строится  с  некоторым  упрощением  и  при  некоторой  идеализации.  Она  лишь 
приближенно отражает реальный объект исследования, и результаты исследования реального объекта 
математическими методами носят приближенный характер. Точность исследования зависит от степе-
ни адекватности модели и объекта и от точности применяемых методов вычислительной математики. 
Более точное математическое описание процессов и явлений, вызванное потребностями совре-
менной  науки,  приводит  к  появлению  сложных  систем  интегральных,  дифференциальных,  инте-
гральных, трансцендентных уравнений и неравенств, которые не удается решить аналитическими ме-
тодами в явном виде. Для решения таких задач приходится прибегать к вычислительным алгоритмам, 
использовать какие-либо бесконечные процессы, сходящиеся к конечному результату. 
Развитие  ЭВМ  стимулировало  более  интенсивное  развитие  вычислительных  методов,  создало 
предпосылки решения сложных задач науки, техники, экономики. Широкое применение при решении 
таких задач получили методы прикладной математики и математического моделирования. 
В настоящее время прикладная математика и ЭВМ являются одним из определяющих факторов 
научно-технического прогресса. Они способствуют ускорению развития ведущих отраслей народного 
хозяйства,  открывают  принципиально  новые  возможности  моделирования  и  проектирования  слож-
ных систем с выбором оптимальных параметров технологических процессов. 
ЭВМ  обеспечивает  интенсивный  процесс  математизации  не  только  естественных  и  техниче-
ских, но также общественных и гуманитарных наук. Математическое моделирование и ЭВМ получа-
ют широкое применение в химии, биологии, медицине, психологии, лингвистике и этот список мож-
но продолжать и продолжать. 
Как  правило,  модели  прогнозирования  описываются  алгебраическими,  трансцендентными, 
дифференциальными,  интегральными,  интегро-дифференциальными  уравнениями  и  неравенствами. 
Примерами могут служить модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, 
гидродинамики. 
А.А.  Самарский,  один  из  основоположников  вычислительной  математики  и  математического 
моделирования,  создатель  ведущей  школы  в  области  математического  моделирования, понимал  под 

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
294 
вычислительным  экспериментом  такую  организацию  исследований,  при  которой  на  основе  матема-
тических моделей изучаются свойства объектов и явлений, проигрывается их поведение в различных 
условиях и на основе этого выбирается оптимальный режим. Другими словами, вычислительный экс-
перимент  предполагает  переход  от  изучения  реального  объекта  к  изучению  его  математической  мо-
дели. Такой моделью, как правило, является одно или несколько уравнений.  
 
Основные этапы математического моделирования 
– Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – явление 
природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как прави-
ло, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и свя-
зи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются 
на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделиро-
вания. 
– Решение  математической  задачи, к которой  приводит  модель.  На  этом  этапе  большое  вни-
мание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи 
которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.  
– Интерпретация  полученных  следствий  из  математической  модели.  Следствия,  выведенные 
из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.  
– Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты экспе-
римента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.  
– Модификация  модели.  На  этом  этапе  происходит  либо  усложнение  модели,  чтобы  она  была 
более адекватной действительности, либо  ее  упрощение ради достижения практически приемлемого 
решения. 
– 
 
 
 
 
Рис. 1. Основные этапы математического моделирования 
 
 
 
 
 
 
 
Основные этапы математического 
моделирования 
Построение модели 
Решение математической задачи, к 
которой приводит модель 
Интерпретация полученных следствий 
из математической модели 
Проверка адекватности модели 
Модификация модели 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
295
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 2. Общая схема процесса компьютерного математического моделирования 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 3. Схема применения математических моделей в прикладных исследованиях 
 
Содержание  
Этапы  
Постановка задачи  
(на обычном языке) 
Исследование математической 
модели 
Математическая модель  
исследуемой проблемы 
Формулировка результатов  
(теоремы, алгоритмы,  
программы) 
Изучение предметной области 
Построение модели, адекватной  
к исходной задаче 
Применение математических  
методов анализа 
Применение математических мето-
дов анализа 
Выработка рекомендаций к их  
использование на практике 
Определение целей  
моделирования 
Исходный 
объект (про-
цесс) 
Уточнение 
моделей 
Разработка алгоритма и 
программы для ЭВМ 
Расчеты на 
ЭВМ 
Отладка и тестирование 
программы 
Огрубление объекта 
(процесса) 
Поиск математического 
описания 
Математи-
ческая мо-
дель 
Конец ра-
боты 
Выбор метода 
исследования 
Анализ  
результатов

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
296 
К  классификации  математических  моделей  разные  авторы  подходят  по-своему,  положив  в  ос-
нову классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по  отраслям наук (ма-
тематические модели в физике, биологии, социологии и т.д.) – это естественно,  если к этому подхо-
дит специалист в какой-то одной науке. Можно классифицировать по применяемому математическо-
му  аппарату  (модели,  основанные  на  применении  обыкновенных  дифференциальных  уравнений, 
дифференциальных  уравнений  в  частных  производных,  стохастических  методов,  дискретных  алгеб-
раических преобразований и т.д.) – это естественно для математика, занимающегося аппаратом мате-
матического моделирования. 
При  математическом  моделировании  физических  процессов,  часто  встречается  физическая 
область  с  криволинейной  границей.  Построение  криволинейных  сеток  в  таких  областях  позволяет 
сократить счетное время и автоматизировать программную реализацию.  
 
Метод криволинейных сеток заключается в том, что нахождении отображения, которое пере-
водит  узлы  сетки  из  физической  области  в  вычислительную  область.  Данное  отображение  должно 
удовлетворить следующим требованиям: 
– отображение должно быть однозначным; 
– сетка  должна  иметь  сгущение  в  тех  областях,  где  возможно  появление  больших  градиентов 
искомых функций; 
– линии сетки должны быть гладкими для обеспечении непрерывности производных (для регу-
лярных сеток). 
Метод криволинейных сеток классифицируются в следующем виде:  
 
 
 
Рис. 4. Классификация метода криволинейных сеток 
 
 
 
 
 
Рис. 5. Методы построения криволинейных сеток 
 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
297
Выбор топологии сетки определяется структурой решения, геометрией области, и области бы-
вают односвязными и многосвязными 
 
 
 
Рис. 6. Односвязный криволинейный область 
 
 
 
Рис. 7. Двусвязный криволинейный область 
 
Подходы  математического  моделирования  при  построении  криволинейных  сеток  производи-
лась в двусвязных областях с произвольной криволинейной границей. Численное моделирование ус-
тановившихся  течений  жидкости  в  криволинейных  границах  производилось  в  большей  части  работ 
на  основе  модели  вязкой  несжимаемой  жидкости.  Широкое  распространение  получили  алгоритмы, 
основанные на уравнениях Навье-Стокса, использующие метод конечных разностей, метод криволи-
нейных сеток, метод конечных элементов и другие методы. На внутренних и внешних границах дву-
связной  области  узлы  координатной  сетки  выбираются  численной  параметризацией  по  длине  дуги 
кривой. Для этого численно решается следующее дифференциальное уравнение Навье-Стокса: 
1
1
1
1
x
x
t
q
q














,  
                                (1)  
 
где  
 
2
1
1
1











x
x
s
, 
 
x
s
 - уравнение кривой найденный с помощью (2). 
 
 






3
2
6
2
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
d
x
x
c
x
x
b
a
x
s







   
                 (2) 
 

●
 Физико–математические науки
  
 
                                                    
№1 2014 Вестник КазНТУ  
                    
298 
Коэффициенты 
i
i
i
i
d
c
b
a
,
,
,
 определяются следующим образом: 
 
 
i
i
x
f
a 
  
                                                  (3) 
 
i
i
i
i
i
i
i
i
h
a
a
h
d
h
c
b
1
2
6
2





  
                                     (4) 
 
i
i
i
i
h
c
c
d
1



  
                                               (5) 
 






















i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
h
a
a
h
a
a
h
c
c
h
h
h
c
1
1
1
1
1
1
1
6
2
, 
0
1


n
c
c
,  
(6) 
 
здесь 
1



i
i
i
x
x
h
. 
 
Заключение 
Возможность  постановки  вычислительного  эксперимента  на  ЭВМ  существенно  ускорила  про-
цесс математизации науки и техники. Расширился круг профессий, для которых математическая гра-
мотность  становится  необходимой.  Благодаря  возможности  оперативного  исследования  процессов 
труднодоступных  и  недоступных  для  реального  экспериментирования  математическое  моделирова-
ние все больше и больше находит свое применение в областях, казалось бы далеких от математики и 
естественных наук. Оно широко используется и в криминалистике, и в лингвистике, и в социологии, 
и этот список можно продолжать и продолжать. 
Академик  А.А.  Самарский  говорит  о  незаменимости  математического  моделирования  для  ре-
шения  важнейших  проблем  научно-технического  и  социально-экономического  прогресса,  подчерки-
вает  значение  математического  моделирования  как  методологии  разработки  наукоемких  технологий 
и изделий. 
 
ЛИТЕРАТУРА 
1.  Акчурин  И.А.,  Веденов  М.Ф.,  Сачков  Ю.В.  Познавательная  роль  математического  моделирования. 
М.: 1968. 
2.  Васильев  В.И.,  Ильясов  Б.Г.,  Валеев  С.В.,  Жернаков  С.В.  Интеллектуальные  системы  управления  с 
использованием нейронных сетей. – Уфа, 1997. 
3.  Вейль Г. Полвека математики – М.: 1969. 
4.  Иванов В.Т. Математическое моделирование. – Уфа, 1988. 
5.  Кудряшев А.Ф. О математизации научного знания.// Философские науки, 1975, №4, с.133-139. 
6.  Салихов М.В. К вопросу  об эвристической активности  математики // Философские науки, 1975, №4. 
с.152-155. 
7.  Годунов  С.К.,  Прокопов  Г.П.  О  расчетах  конформных  отображений  и  построении  разностных  сеток           
// ЖВМ и МФ 1967. – Т.7, №5, - с 1032 – 1059. 
8.  Яненко  Н.Н.,  Данаев  Н.Т.,  Лисейкин  В.Д.  О  вариационном  методе  построения  сеток  //  Численные 
методы механики сплошной среды. – Новосибирск, - 1977. – Т.8, - №4, - с. 157 – 163. 
9.  Данаев  Н.Т.  Об  одной  возможности  численного  построения  ортогональных  сеток  //  Числен.  методы 
механ. сплошной среды. – Новосибирск, – 1983. – Т.14, №3, с. 42-53. 
10. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные  методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.  
11. Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1983. – 616 с. 
12. Самарский  А.А.,  Михайлов  А.Г.  Математическое  моделирование:  Идеи.  Методы.  Примеры.                  
– М.: Наука. Физматлит. 1997. – 320 с. 
13. Смагулов  Ш.С.,  Данаев  Н.Т.,  Темирбеков  Н.М.  Численное  решение  уравнений  Навье-Стокса  для 
несжимаемой  жидкости  в  каналах  с  пористой  ставкой  //  Прикладная  механика  и  техническая  физика.                        
– Новосибирск, - 1995. – Т.36, №5 – с.21-29.  
 

●
  Физика–математика ғылымдары 
 
ҚазҰТУ хабаршысы №1 2014  
 
299
REFERENCES 
1.  Akchurin  I.A.,  Vedenov  M.F.,  Sachkov  Y.V.  Poznavatelnaya  rol  matematysheskogo  modelyrovaniya.                   
– M.: 1968. 
2.  Vasilyev V.I., Il'yasov  B.G., Valeev S.V., Zhernakov S.V. Intellektualnye systemi upravleniya s ispolzova-
niem neyronnyh setey. – Ufa, 1997. 
3.  Weyl G. Polveka mathematiky. – M.: 1969. 
4.  VT Ivanov Mathematical modeling . – Ufa, 1988. 
5.  Kudryashev A.F. O mathematization naushnogo znaniya // Philosophskie nauki, 1975, №4, p.133-139. 
6.  Salihov M.V. K voprosu ob evristisheskoy aktivnosty mathematity // Philosophskie nauki, 1975, № 4. p.152-155. 
7.  Godunov S.K., Prokopov G.P. O rashcetahc konformnyhc otobrajenii I postroenii raznostnyhc setok // ZhVM 
I MF. – 1967. – V.7, №5 – p. 1032-1059. 
8.  Yanenko N.N., Danaev N.T., Liseikin V.D. O variatsionnom method postroenie setok // Chislennie methody 
mechaniky sploshcnych sredy. – Novosibirsk. - 1977. - V.8, - №4 - p. 157-163. 
9.  Danaev N.T. Ob odnoi vozmoshcnosti chislennogo postroenija orthogonalnyhc setok // Chislennie methody 
mechaniky sploshcnych sredy. – Novosibirsk. – 1983. - T.14, №3, p. 42-53. 
10. Samarsky A.A., Gulin A.V. Chislennie methody. – M.: Nauka, 1989. – p. 432  
11. Samarsky A.A. Theorija raznostnych schem. – M.: Nauka, 1983. – p.616 
12. Samarsky  A.A.,  Mikhailov  A.G.  Mathematicheskoe  modelirovanie:  Ideii.  Methody.  Primery.  –  M.:  Nauka. 
Fizmatlit. 1997. – p.320. 
13. Smagulov  S.S.,  Danaev  N.T.,  Temirbekov  N.M.  Chislennoe  reshcenie  uravnenii  Navier  -  Stokes  dlij 
nesshcimaemoi  shcidkosty  v  kanalahc  s  porictoy  stavkoi  //  Prikladnaiya  mehcanika  i  technicheskaiya  fizika.                           
– Novosibirsk – 1995. – V.36, №5 – p. 21-29.  
 
Тоқанова С.О., Малғаждаров Е.А. 
Қисық сызықты торларды тұрғызу барысындағы математикалық модельдеу тәсілдемелер 
Түйіндеме. Бұл жұмыста математикалық модельдеу кезеңдері, классификациялары, қисық сызықты тор 
тұрғызу әдісі, торлар классификациялары қарастырылған. Қисық сызықты торлар тұрғызу барысында кездейсоқ 
қисық  сызықты  шекаралы  екі  байланысты  аймақты  қисық  сызықты  шекараларға  математикалық  модельдеу 
тәсілдемелерін  қолдану  жүргізілді.  Қисық  сызықты  тордың  алынған  нәтижелерін  тордың  әр  түрлі  тораптар 
саны бойынша көруге болады 
Кілттік сөздер: математическое моделирование, процесс моделирования, этапы, классификация матема-
тических  моделей,  метод  криволинейных  сеток,  односвязный  криволинейный  область,  двусвязный  криволи-
нейный область, криволинейная граница, уравнение Навье-Стокса. 
 
Токанова С.О., Малгаждаров Е.А. 

жүктеу/скачать 43,12 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: