Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
| материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл
304 1 1 1 i t = tc 1 ; x = x i ; v = 1 u i , ( i =1, 2 ) b i b c t 1 p = 11 + 22 ; 2 c 2 q = 11 22 ; 2 c 2 (2) = 12 ; c 2 = c 1 , c 2 где b – характерный размер; –плотность материала; c 1 , c 2 -скорости волн расширения и сдвига; 11 , 22 , 12 - компоненты тензора напряжений; - постоянный параметр. В дальнейшем черта над безразмерными параметрами опускается. Краевая задача, формулируемая для разрешающих уравнений (1), предполагает, что в начальный момент времени t = 0 тело находится в состоянии покоя v 1 ( x 1 ; x 2 ;0) = v 2 ( x 1 ; x 2 ;0) = p ( x 1 ; x 2 ; 0) = q ( x 1 ; x 2 ;0) = ( x 1 ; x 2 ;0) = 0 . (3) В любой другой момент времени t>0 на лицевой границе прямоугольной области прикладывается внешняя нагрузка x 1 = 0, x 2 L v 1 = f ( t ), v 2 = 0 при x 1 = 0, – L x 2 L . (4) Боковые границы x 2 = L полосы считаются свободными от каких–либо воздействий p q = 0, = 0 при x 2 = L , 0 x 1 l . (5) Противоположная сторона x 1 = , L x 2 L полосы считается жестко закрепленной v 1 = v 2 = 0 при x 1 = l , x 2 L . (6) Контур прямоугольного отверстия предполагаются свободными от напряжений p + q = 0, = 0 при x 1 = 1 , x 1 = 2 и L 1 x 2 L 2 , (7) p – q = 0, = 0 при x 2 = L 1 , x 2 = L 2 и 1 x 1 2 . (8) Здесь f ( t ) –заданная функция, изменяющаяся во времени по закону непрерывно дифференцируемой функции, которая в начале монотонно возрастает до максимального значения f(t 0 ), а затем монотонно убывает; 1 , 2 , L 1 , L 2 постоянные ч исла, определяющие размеры отверстия. Таким образом необходимо найти решение поставленной задачи при сформулированных условиях (3) – (8). Методы. Поставленная задача решена методом пространственных характеристик, подробный алгоритм численной реализации которого изложен в [1]. Особенностью рассмотренного тела с отверстием является то, что в угловых точках прямоугольного отверстия (рисунок 1) нарушается «привычная» для динамических задач гладкость функций, т.е. в этих точках первые и вторые производные искомых функций терпят разрыв первого рода. Именно на такие особенности не было распространено или вообще, как нам известно, не было метода решения таких задач. В дополнение к известным соотношениям [1] были получены конечно-разностные соотношения для нахождения искомых функций в особых угловых точках прямоугольного отверстия [2]. На границах прямоугольного отверстия PG, GS , QS, PQ необходимо использовать конечно–разностные уравнения, подобные уравнениям на границах NK, MN, MR, RK прямоугольной области, полученные в [1] и граничные условия (7)– (8) соответственно. |