КҤРДЕЛІ ШЕКАРАЛЫҚ ЖАҒДАЙЛАРДА ТРАНСЦЕНДЕНТТІ ЖИІЛІКТІК

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
439 
B
0 
2 
d W 
a 
a 
a 
a 
a 
a 
z 
P
0 
(
W 
) 
+ 
( 
2
W 
p 
t 
2
)
+ 
h 
2 
[ 
6 
2 
(
N 
 
+ 3
M 
)
4
W 
t 
4
– 4 
p 
(
3
2 
MN 
)
2
W 
t 
2
+ .(1) 
+ 8
M 
1
MN 
1
2
W 
] 
=
(
 
Z
,
f

) 
Пластинканың шеттері ( 
y 
= 0;
l
2
) топсалы тіректелгендіктен, (1) теңдеудің шешімін 
мына түрде іздейміз [1] 
b 
k y 
W 
(
x
, 
y
,
t 
) 
= exp
i 
t 
W
k 
(
x
)
sin
(2) 
k 
=1 
2
(2)
 
ні (1) теңдеуге қойып, 
W
k
 
үшін қарапайым дифференциалдық теңдеу аламыз 
4 
k 
dx 
4
d 
2
W 
+ 
B
0
k 
+ 
B
1
W
k 
= 0 
dx 
2
(3) 
Мұндағы 
B
0 
, 
B
1 
коэфициенттері: 
A 
b 
2 
k
 
2 
B
= 
1
 
2
2
; 
A
2 
h 
l
2 
k
 
4 
A 
b 
4 
A 
b 
2 
k
 
2
1
b 
2 
B 
= 
+
0 
 
4 
1 
 
2 
 
2
(4) 
l
2 
A
2 
h 
A
2 
h 
l
2
A
2 
h 
(3)
теңдеудің жалпы шешімін мына түрде жазамыз 
W
(
x
) 
= 
C
cos
(
a
0 
x
) 
+ 
cos
(
a
1 
x
)
+ 
C
 
 
cos
(
a
0 
x
) 
+ 
cos
(
a
1 
x
)
+ +
C
 
 
sin
(
a
0 
x
) 
+ 
sin
(
a
1 
x
)
+
k 
1 
n
 
0 
n
 
2 
n
 
1 
0 
n
 
3 
m
 
m
 
1 
0 
1 
+ 
C
sin
(
a
0 
x
) 
+ 
sin
(
a
1 
x
)
,
4 
m
 
m
 
0 
1 
(5) 
мұндағы 
C 
j 
тұрақты интегралдау, 
a
i 
, 
a 
j 
сипаттамалық теңдеудің түбірлері 
a 
4
+ 
B a 
2
+ 
B 
= 0 
(6) 
0 
1 
және ол тең 
2 
a
0,1 
= 
– 
B
1 
(7) 
Бүтін сандар (
n
, 
m
) сол жақ шеттегі шекаралық жағдайды қанағаттандыру кезінде 
шешімді оңайлату шарттарынан таңдалады 
x 
= 0 
, ал басқа шекаралық жағдайлар 
x 
= 
l
1 
пластинканың меншікті тербелісінің жиілігін анықтау үшін трансцендентті теңдеуге алып 
келеді. [2,3] 
Кейбір тұжырымдалған есептерді қарастырайық. 
Есеп 1. Бұл жағдайда пластинканың шеттерінде шекаралық шарттар бар 
W 
= 
dW
k 
k
 
dx 
= 0; 
(
x= 
0; 
l
1
) 
(8) 
l 
h 
B
0
2 
a 
a 
p 
0 
1 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
440 
a
2
+ 
2
a 
a
3
a 
Шекаралық жағдайларда (8) жалпы шешімде (5) сандар 
n 
= 0; 
m 
= 0,
бұл ретте 
сол жақ шеттегі шарттан тұрақты интегралдау 
шарттардан алынатыны 
Ñ
1 
, 
Ñ
3 
нӛлге тең, ал оң жақ шеттегі 
C 
[
cos
(
a l 
) 
cos
(
a l 
)
]
+ 
C 
sin
(
a
0
l
1 
) 
sin
(
a
1
l
1 
)
= 0
2 
0 1 
1 2 
4 
a
0 
a
1 
(9) 
C
2 
[
a
0 
sin
(
a
0
l
1 
) 
a
1 
sin 
(
a
1
l
1 
)
]
C
4 
[
cos
(
a
0
l
1 
) 
cos
(
a
1
l
1 
)
] 
= 0 
шешімнің трививалды емес жағдайынан трансценденттік жиіліктік теңдеуін 
аламыз. 
2
0 
1
sin
(
a
0
l
1 
)
sin
(
a
1
l
1 
)
2 cos
(
a
0
l
1 
)
cos
(
a
1
l
1 
) 
= 0 
a
0
a
1 
(10) 
Есеп 2. 
x 
= 0 шеті қатты бекітілген, ал 
x 
= 
l
1 
шеті қатты бекітілген. Бұл есептегі 
сандар 
n 
= 0; 
m 
= 1, және 1 және 3 есептеріндегі сияқты тұрақты сандар 
C
1 
= 
C
3 
= 0 
, және 
оң жақ соңындағы шарттардан жиілік теңдеуін аламыз. [4] 
{
2 + 
(
a
2
+ 
a
2
)
[
(
a
2
a 
2
)
]
Q 
+ 
Q Q
 
]
}
+ 
{
a a 
[
(
a
2
+ 
a
2
)
+ + 2
Q Q 
]
+ 
Q
0
a
3
+ 
1
+ 
0 
1 
0 
1 
1 2 
0 1 
0 
1 
1 2 
1 
0 
cos
(
a l
)
cos
(
a l
) 
+ 
(
a 
2
a 
2
)
QQ
2
+ 
Q
3 
(
a l 
)
sin
(
a l 
) 
+ 
(
a 
2
a 
2
)
0 1 
1 1 
0 
1 
a
1 
a
0 
Q
1 
sin 
0 1 
a
0 
1 1 
0 
1 
Q
3 
QQ
2 
a
0 
Q
1
a
+
a 
sin
(
a
1
l
1 
)
cos
(
a
01
l
1 
) 
= 0 
1 
0
(11) 
мұнда 
3 
p h 
(
1 
v 
) 
3 
p h
b
2
Q 
= 
2 2 
0
; 
Q
2 
= 
2 2 
1 
; 
1
2
h
2
4 
h 
1 
1 
b
2 
n 
2 
3
(
3 4
v 
)(
1
v 
)
h
2
p b
2
Q
3 
= 
1
– 2
1 
1 2 2 2 
. 
(12) 
hb 
l 
p b
2
h
3
(
1
v 
) 
1 2 
2 
1 1 1 
2 
Есеп 3. 
x 
= 0 шеті топсалы тіректелген, ал 
x 
= 
l
1
шеті кернеуден босатылған. Бұл 
есепте 
n 
= 0; 
m 
= 3; 
C
1 
= 
C
2 
= 0; 
b 
жиілік теңдеуін аламыз 
cos(
 
l 
) sin(
 
l 
)(
Q 
 
2
)
 
sin(
 
l 
) cos(
 
l 
)(
Q 
 
2
)
 
= 0 
(13) 
0 1 
1 1 
1 
1 
0 1 
1 1 
0 
0 
Алдыңғы пункттің нәтижелерін үш қабатты және трансверсальды-изотропты алдын 
ала кернеулі пластинка түріндегі серпімді жазық тікбұрышты элемент жағдайына 
келтірейік. 
Серпімді материалдар жағдайында мұндай жазық элементтердің тербеліс теңдеуін 
жалпы түрде жазамыз [5,6] 
2
W 
C
0
t 
2
+ 
C
1 
4
W 
t 
4
2 
– 
C
2
t 
2
W 
+ 
C
3 
2
W 
= 0, 
(14) 
a 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
441 
 
) 
 
 
j 
a 
мұндағы 
C 
j
коэффициенттері үш қабатты пластинкалар үшін бірдей 
C 
= 
1 
+ 
(
h
2 
h
1
)
0 
2 
2
 
b 
2
; 
h
1 
h 
2
h 
h 
) 
C 
= 
1
1
D h 
h 
1
+2 
b 
2
(
h 
h 
) 
2
2
1
2
D b 
2
(
h 
– 
h 
(3
h 
h 
)
3 
1 1 
2 
2 
2 2 
2 
1 
3
h
1 
2 2 
2 
1 
2 
1 
(15) 
– 
1 
b 
2
(1 + 2
D 
)
h 
(
h 
h 
); 
1 
1 
1 
2 
1 
2 
D
= 
1 
; 
C 
=
1 
; 
j
 
2(1

) 
2
1 2
 
Ал алдын ала кернеулі трансверсальды-изотропты пластина үшін тең 
h
2
1 
1 
3 
С
0
= 1; 
C
1 
= 6
 
1 + 
C a 
+ 
(1 + 
a 
)
a 
; 
2 
33 
0 
44 
C
= 2
1 + 
C
2
2 
a
13
3(
a
2
a 
a 
 
1 
; 
(16) 
2 
1 + 
a 
a 
13 
11 33
a a 
0 
33 
33 44 
C
= 2(1+ 
C 
)(
a a
a
2
) 
1
3 
2 
11 33 
13 
. 
33 
(14) теңдеудің шешімін (2) түрінде де іздейміз және 
W
k
 
үшін мына теңдеуді 
аламыз 
4
W 
2
W 
k 
+ 
B
0
k 
+ 
B
1
W
k 
= 0 
(17) 
x
4
x
2
Мұндағы 
B
0 
, 
B
1 
коэфициенттері тең: 
C
b 
2 
B 
=
2 
 
2
2
 
; 
C
3 
h 
C
b 
4
C
b 
2
C
b 
2 
B 
= 
 
2
+
1
 
4 
2
 
2
0
 
2 
C
3 
h 
C
3 
h 
C
3 
h 
Кӛріп тұрғанымыздай, (17) теңдеудің түрі (3) теңдеуден еш айырмашылығы жоқ 
және оның сипаттамалық теңдеуінің түбірі (7)-мен тең және (17) теңдеудің жалпы 
шешімінің түрі (5) –тің түріндей. [7,8,] 
Сонымен, әр түрлі шекаралық есептер үшін меншікті тербелістердің жиілігін табу 
үшін оның формасы (10) және басқалары болады. Ортотропты пластина үшін есеп осылай 
шешіледі. 
Бірінші пунктегі трансценденттік жиіліктік теңдеулерін талдайық. 
Алдымен ең қарапайым трансцендентті теңдеуді қарастырайық 
 
0 
cos(
 
0 
l
1 
) sin(
 
1
l
1 
)
 
1 
sin(
 
0 
l
1 
) cos(
 
1
l
1 
) = 0. 
(18) 
Белгілеулер енгізейік 
3
 
2 
0 
1 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: