Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
- Бұл бет үшін навигация:
- Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 496 2 𝜕𝐺 𝜕𝑡 + 𝑟𝐺 = 1 𝜕 2 𝐺 𝜎 2 + 𝐹 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝐺 𝜕𝑦 where 𝐹 = 𝑟 − σ 2 . We remove of the term with the first derivative with respect to 𝑦 by using 2 replacement 𝐺(𝑦, 𝑡) = 𝑒 αy+βt 𝑈(𝑦, 𝑡) where 𝛼, 𝛽 are some constants. 𝜕𝑈 𝜕𝑡 + 𝑟𝑈 + 𝛽𝑈 = 1 𝜎 2 ( 2 𝜕 2 𝑈 𝜕𝑦 2 + 2𝛼 𝜕𝑈 𝜕𝑦 𝜕𝑈 + 𝛼 𝑈) + 𝐹 ( 𝜕𝑦 + 𝛼𝑈) We chose some constants in order to cancel the terms of the first derivative with respect to 𝑦 and 𝑈 such as 𝛼 = –F , 𝛽 = −𝑟 − F . Then we get the equation of heat conduction: σ 2 2σ 2 𝜕𝑈 𝜕𝑡 1 𝜕 2 𝑈 = 𝜎 2 2 𝜕𝑦 2 The following equation is a particular solution of the heat conduction equation: 𝐷(𝑦, 𝑡; 𝑦 0 ) = 1 𝑒 – 𝜎√2𝜋𝑡 (y–y 0 ) 2 2σ 2 t Since the equation is a linear, it is the general solution is the sum of particular solutions corresponding to different quantity of 𝑦 0 : +∞ 𝑈(𝑦, 𝑡) = ƒ 𝑢(𝑦 0 )𝐷(𝑦, 𝑡; 𝑦 0 ) 𝑑𝑦 0 –∞ where 𝑢(𝑦 0 ) describes the initial value of the function 𝑈(𝑦, 0) . By the performed replacement 𝑈(𝑦, 𝑡) = 𝑒 –αy–βt 𝐺(𝑒 y , 𝑡) , we get the initial condition in the following way 𝑢(𝑦 0 ) = 𝑈(𝑦, 𝑡 = 0) = 𝑒 –αy 0 max(𝑒 y 0 − 𝐾, 0) Then the general solution would be +∞ 1 𝑈(𝑦, 𝑡) = ƒ (𝑒 y 0 − 𝐾)𝑒 –αy 0 𝑒 – (y–y 0 ) 2 2σ 2 t 𝑑𝑦 0 lnK 𝜎√2𝜋𝑡 The lower limit is given by the function 𝑚𝑎𝑥 which is differ from 0 at 𝑦 0 > 𝑙𝑛𝐾 . Let us consider the new replacement value such as 𝑍 = y–y 0 . Then we get σ√t +∞ 1 – Z 2 𝑈(𝑦, 𝑡) = ƒ (𝑒 (1–α)(y+σ√t Z) − 𝐾𝑒 –α(y+σ√t Z) ) 𝑒 2 𝑑𝑍 lnK–y σ√t 𝜎√2𝜋𝑡 The 𝑒 function shows –Z 2 + 𝑎𝑍 . We transform them to an equivalent form −(𝑍 − 𝑎) 2 + a 2 . 2 2 After replacement 𝑍 − 𝑎 = 𝑣 the general solution gets the new form Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 497 2 where 𝑈(𝑦, 𝑡) = 𝑒 (1–α)y+(1–α) 2 σ 2 t/2 𝑁(𝑑 ) − 𝐾𝑒 =αy+ 2 σ 2 t/2 𝑁(𝑑 ) 𝑑 1,2 = 𝑦 − 𝑙𝑛𝐾 𝜎√𝑡 ± (1 − 𝛼)𝜎√𝑡 – v 2 +∞ 𝑒 2 𝑁(−𝑑) = ƒ 𝑑𝑣 d √2𝜋 Reverse replacement 𝑈(𝑦, 𝑡) = 𝑒 –αy–β 𝐺(𝑒 y , 𝑡), 𝑆 = 𝑒 y , we get the formula for the call type option [1]. The terms 𝑁(𝑑 1 ) , 𝑁(𝑑 2 ) are too complex part of the option costing formula. 𝑁(𝑑 1 ) is known as a hedge ratio or a delta. While 𝑁(𝑑 2 ) is known to mathematicians as the probability to be called. The call type option has probability that the option exercise price 𝐾 will be achieved at repayment period. If it is achieved, then the call option will be exercised. For example, let us consider the option costing formulas without the cumulative density distribution functions, then the formula can be 𝑆 − 𝐾𝑒 –rc form. It shows an intrinsic cost of the call. It the difference between these terms increases, the call option’s real cost also increases. It shows that the difference between these terms and theoption’s real cost is a directly proportional. It is possible when 𝑆 < 𝐾𝑒 –r occurs and in this case the cumulative distribution functions are necessary because the call option’scost cannot be negative. 𝑁(𝑑 1 ) , 𝑁(𝑑 2 ) are used to rescue to change the negative values into positive, obviating the current real price from falling below 0 . Subsequently, the greater value of 𝑆 < 𝐾𝑒 –r approaches the values of 𝑁(𝑑 1 ) , 𝑁(𝑑 2 ) to zero. In case 𝑁(𝑑 1 ) , 𝑁(𝑑 2 ) are exactly equal to zero shows that the value of 𝑆 is also equal to zero. That is why the option evaluating model excluded the case when 𝑆 could have the negative price. The term 𝑆𝑁(𝑑 1 ) describes the value that may be taken on selling the financial asset at maturity time whereas 𝐾𝑒 –rc 𝑁(𝑑 2 ) shows the repayment may be made to buying the asset when the option is exerted by maturity time. That is why the call or put option’s cost depends on the difference between these two terms. Аңдатпа Бүгінгі таңда опциялар танымал және қаржыда тез танымалдылыққа ие туынды құрал. Біз Блэк пен Шоулздың теңдеуін қарастырамыз, ол опционның құнын уақыт бойынша бағалау үшін қолданылады. Егер нұсқаларды еуропалық тип ретінде қарастырсақ, онда қарастырылатын теңдеу диффузиялық типті теңдеудің есептерінің шекаралық типі болар еді. Егер американдық опция болса, онда теңдеу еркін шекаралық типті есеп сияқты болады. 1960 жылы трейдерлер опционның бағасын математикалық формулалар арқылы болжауға тырысты, ӛйткені опцион АҚШ-та OTC тауар және биржалық опциондар нарығында қолданыла бастады. Опцион құнның күрт ӛсуіне қарсы «кепілдік» ретінде ғана сатып алынды. Уақыт ӛте келе трейдерлер ұқсас опцияларды қайта сатуға тырысты. Дегенмен, бұл қиын болды, ӛйткені опция қанша тұратынын ешкім білмеді. 1 |