Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика



Pdf көрінісі
бет510/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   506   507   508   509   510   511   512   513   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
496 

𝜕𝐺 
𝜕𝑡 
+ 𝑟𝐺 = 

𝜕
2
𝐺 
𝜎
2
+ 𝐹 

𝜕𝑦
2
𝜕𝐺 
𝜕𝑦 
where 
𝐹 = 𝑟 − 
σ
2
. We remove of the term with the first derivative with respect to 
𝑦 
by using 

replacement 
𝐺(𝑦, 𝑡) = 𝑒
αy+βt
𝑈(𝑦, 𝑡) 
where 
𝛼, 𝛽 
are some constants. 
𝜕𝑈 
𝜕𝑡 
+ 𝑟𝑈 + 𝛽𝑈 = 

𝜎
2


𝜕
2
𝑈 
𝜕𝑦
2
+ 2𝛼 
𝜕𝑈 
𝜕𝑦 
𝜕𝑈 
+ 𝛼 𝑈) + 𝐹 ( 
𝜕𝑦 
+ 𝛼𝑈) 
We chose some constants in order to cancel the terms of the first derivative with respect to 
𝑦 
and 
𝑈 
such as 
𝛼 = 
–F 
, 𝛽 = −𝑟 − 
F
. Then we get the equation of heat conduction: 
σ



𝜕𝑈 
𝜕𝑡 

𝜕
2
𝑈 
= 𝜎


𝜕𝑦
2
The following equation is a particular solution of the heat conduction equation: 
𝐷(𝑦, 𝑡; 𝑦
0
) = 

𝑒

𝜎√2𝜋𝑡 
(y–y
0
)


2

Since the equation is a linear, it is the general solution is the sum of particular solutions 
corresponding to different quantity of 
𝑦
0

+∞ 
𝑈(𝑦, 𝑡) = ƒ 𝑢(𝑦
0
)𝐷(𝑦, 𝑡; 𝑦
0
) 𝑑𝑦
0
–∞ 
where 
𝑢(𝑦
0

describes the initial value of the function 
𝑈(𝑦, 0)
. By the performed replacement 
𝑈(𝑦, 𝑡) = 𝑒
–αy–βt
𝐺(𝑒
y
, 𝑡)
, we get the initial condition in the following way 
𝑢(𝑦
0
) = 𝑈(𝑦, 𝑡 = 0) = 𝑒
–αy

max(𝑒
y

− 𝐾, 0) 
Then the general solution would be 
+∞ 

𝑈(𝑦, 𝑡) = ƒ 
(𝑒
y

− 𝐾)𝑒
–αy
0
𝑒

(y–y
0
)


2
t
𝑑𝑦

lnK 
𝜎√2𝜋𝑡 
The lower limit is given by the function 
𝑚𝑎𝑥 
which is differ from 

at 
𝑦
0
> 𝑙𝑛𝐾
. Let us consider 
the new replacement value such as 
𝑍 = 
y–y
0
. Then we get 
σ√t 
+∞ 


Z

𝑈(𝑦, 𝑡) = ƒ 
(𝑒
(1–α)(y+σ√t Z) 
− 𝐾𝑒
–α(y+σ√t Z)

𝑒

𝑑𝑍 
lnK–y 
σ√t 
𝜎√2𝜋𝑡 
The 
𝑒 
function shows 
–Z

+ 𝑎𝑍 
. We transform them to an equivalent form 
−(𝑍 − 𝑎)
2

a




After replacement 
𝑍 − 𝑎 = 𝑣 
the general solution gets the new form 


Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
497 

where 
𝑈(𝑦, 𝑡) = 𝑒
(1–α)y+(1–α)
2
σ
2
t/2
𝑁(𝑑 ) − 𝐾𝑒
=αy+
2
σ
2
t/2 
𝑁(𝑑 ) 
𝑑
1,2 

𝑦 − 𝑙𝑛𝐾 
𝜎√𝑡 
± (1 − 𝛼)𝜎√𝑡 

v

+∞ 
𝑒

𝑁(−𝑑) = ƒ 
𝑑𝑣 
d
√2𝜋 
Reverse replacement 
𝑈(𝑦, 𝑡) = 𝑒
–αy–β
𝐺(𝑒
y
, 𝑡), 𝑆 = 𝑒
y
, we get the formula for the call type 
option [1]. 
The terms 
𝑁(𝑑
1
)

𝑁(𝑑
2

are too complex part of the option costing formula. 
𝑁(𝑑
1

is 
known as a hedge ratio or a delta. While 
𝑁(𝑑
2

is known to mathematicians as the probability to 
be called. The call type option has probability that the option exercise price 
𝐾 
will be achieved at 
repayment period. If it is achieved, then the call option will be exercised. For example, let us 
consider the option costing formulas without the cumulative density distribution functions, then 
the formula can be 
𝑆 − 𝐾𝑒
–rc
form. It shows an intrinsic cost of the call. It the difference 
between these terms increases, the call option’s real cost also increases. It shows that the 
difference between these terms and theoption’s real cost is a directly proportional. It is possible 
when 
𝑆 < 𝐾𝑒
–r
occurs and in this case the cumulative distribution functions are necessary 
because the call option’scost cannot be negative. 
𝑁(𝑑
1
)

𝑁(𝑑
2

are used to rescue to change the 
negative values into positive, obviating the current real price from falling below 
0
. Subsequently, 
the greater value of 
𝑆 < 𝐾𝑒
–r
approaches the values of 
𝑁(𝑑
1
)

𝑁(𝑑
2

to zero. In case 
𝑁(𝑑
1
)

𝑁(𝑑
2

are exactly equal to zero shows that the value of 
𝑆 
is also equal to zero. That is why the 
option evaluating model excluded the case when 
𝑆 
could have the negative price. 
The term 
𝑆𝑁(𝑑
1

describes the value that may be taken on selling the financial asset at 
maturity time whereas 
𝐾𝑒
–rc
𝑁(𝑑
2

shows the repayment may be made to buying the asset when 
the option is exerted by maturity time. That is why the call or put option’s cost depends on the 
difference between these two terms. 
Аңдатпа 
Бүгінгі таңда опциялар танымал және қаржыда тез танымалдылыққа ие туынды 
құрал. Біз Блэк пен Шоулздың теңдеуін қарастырамыз, ол опционның құнын уақыт 
бойынша бағалау үшін қолданылады. Егер нұсқаларды еуропалық тип ретінде 
қарастырсақ, онда қарастырылатын теңдеу диффузиялық типті теңдеудің есептерінің 
шекаралық типі болар еді. Егер американдық опция болса, онда теңдеу еркін шекаралық 
типті есеп сияқты болады. 1960 жылы трейдерлер опционның бағасын математикалық 
формулалар арқылы болжауға тырысты, ӛйткені опцион АҚШ-та OTC тауар және 
биржалық опциондар нарығында қолданыла бастады. Опцион құнның күрт ӛсуіне қарсы 
«кепілдік» ретінде ғана сатып алынды. Уақыт ӛте келе трейдерлер ұқсас опцияларды 
қайта сатуға тырысты. Дегенмен, бұл қиын болды, ӛйткені опция қанша тұратынын ешкім 
білмеді. 





Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   506   507   508   509   510   511   512   513   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет