Жорымал сандар. Комплекс санның анықтамасы

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
210 
(
a 
+ 
bi
)
+
(
c 
+ 
di
)
=
(
a 
+ 
c
)
+
(
b
+
d
)
i
, 
(
a
+
bi
)(
c
+
di
)
=
ac
+
adi
+
bci
+
bdi
2
=
(
ac bd
)
+
(
ad
+
bc
)
i
. 
(5) 
(6) 
Бірінші дәрежелі екі кӛпмүшеліктің бӛліндісі кӛпмүшелік түрінде ӛрнектелмейді. 
Комплекс сандар үшін бӛліндісі де комплекс сан болады. 
a 
+ 
bi 
= 
(
a 
+ 
bi
)(
c 
di 
) 
= 
(
ac 
+ 
bd 
) 
+ 
(
bc 
ad 
)
i 
=
c 
+ 
di 
(
c 
+ 
di 
)(
c 
di 
) 
c 
2
d 
2
i 
2
= 
(
ac 
+ 
bd 
) 
+ 
(
bc 
ad 
)
i 
c 
2
+ 
d 
2
= 
ac 
+ 
bd 
c 
2
+ 
d 
2
+ 
bc 
ad 
i
. 
c 
2
+ 
d 
2
(7) 
(2)
формуладан: 
i 
2
= 
i
3
= 
i 
2
i 
= 
i 
i
4
= 1 
i
5
= 
i 
4
i 
= 
i 
, 
осыдан 
i 
4
n
+
k 
= 
(
i 
4
)
n
i 
k
 
Мысалы: 
= 1
n
 
i 
k
 
= 
i
n
 
i
67 
= 
i
64+3 
= 
i
416+3 
= 
i
3
= 
i 
. 
Алгебралық түрде берілген комплекс сандарға амалдар қолдану 
Анықтама 3
: 
z
1
= 
a 
+
bі
, 
z
2
= 
c 
+ 
dі 
комплекс сандарының 
қосындысы 
деп 
(
a 
+ 
c
) + (
b 
+ 
d 
)
і 
комплекс саны аталады, яғни 
z
1
+ 
z
2
= (
a 
+ 
c
) +(
b 
+ 
d
)
і 
 
(8) 
Комплекс сандарының қосындысының келесі қасиеттері бар: 
1)
Коммутативтік: 
z
1
+ 
z
2
= 
z
2
+ 
z
1
немесе 
(
a 
+ 
b
)
i 
+(
c 
+ 
d
i 
) = (
c 
+ 
d
i 
) +(
a 
+ 
b
i 
) 
2)
Ассоциативтік: 
(
z
1
+ 
z
2
) + 
z
3
= 
z
1
+(
z
2
+ 
z
3
) 
немесе 
((
a 
+ 
bі
) + (
c 
+ 
dі
)) + (
e 
+ 
f і
) = (
a 
+ 
bі
) + (
c 
+ 
dі
) + (
e 
+ 
fі
)) 
Анықтама 4: 
z
1
= 
a 
+
bі
, 
z
2
= 
c 
+ 
dі 
комплекс сандарының 
кӛбейтіндісі 
деп 
(
ac bd
) +(
ad 
+ 
bc
)
i 
санын атайды, яғни 
z
1 
z
2 
= (
ac bd
) +(
ad 
+
bc
)
і 
Комплекс сандарының кӛбейтіндісінің келесі қасиеттері бар: 
(9) 
1)
Коммутативтік: 
z
1
z
2
= 
z
2
z
1
немесе (
a 
+ 
bі
) + (
c 
+ 
d і
) = (
a 
+ 
dі
) + (
a 
+ 
bі
) 
2)
Ассоциативтік: 
(
z
1
z
2
)
z
3
= 
z
1
(
z
2
z
3
) 
немесе 
((
a 
+ 
bі
)(
c 
+ 
dі
))(
e 
+ 
fі
) = (
a 
+ 
bі
)(
c 
+ 
dі
)(
e 
+ 
fі
)) 
3)
Дистрибутивтік: 
z
1
(
z
2
+ 
z
3
) = 
z
1
z
2
+ 
z
1
z
3
немесе 
(
a 
+ 
bі
)((
c 
+ 
d і
) + (
ef i
)) = (
a 
+ 
bi
)(
c 
+ 
di
) + (
a 
+ 
bi
)(
e 
+ 
fi
) 
Анықтама 5: 
z
1
= 
a 
+ 
b
i
 
, 
z
2
= 
c 
+ 
d
i
 
комплекс сандарының 
айырмасы 
деп 
z
2 
+ 
z 
= 
z
1 
немесе (
c 
+ 
dі
) + (
x 
+ 
yі
) = 
a 
+ 
bі 
аталады. 
(3)
теңдігін қанағаттандыратын 
z 
= 
x 
+ 
yі 
комплекс саны 
Комплекс сандарының айырмасының бар болуын және жалғыздығын кӛрсетейік. 
(3)
формуладан: 
(
с 
+ 
x
) + (
d 
+ 
y
)
і 
= 
a 
+ 
bі 
(1)
анықтаманы ескере отырып, келесі теңдеулер жүйесіне келеміз: 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
211 
c 
+ 
x 
= 
a 
x 
= 
a 
c 
d 
+ 
y 
= 
b 
=>
y 
= 
b 
d 
 
Яғни, 
x 
+ 
yі 
= (
a 
c
) + (
b 
d 
)
і 
(4) 
Осыдан айырманын бар болуымен жалғыздығы шығады. 
z
1
,
z
2
cандарының z айырмасы 
z 
= 
z
1
z
2
=(
a
+
bі
) 
c
+
dі
)
деп белгіленеді. 
(2)
формуланы келесі түрде жазуға болады: 
(
a 
+ 
bі
) (
c 
+ 
dі
) = (
a 
c
) = (
b 
d 
)
і 
 
(10) 
z
1
= 
a
+
bi
, 
комплекс саны берілген болсын. Онда –z деп белгіленген және 
a bi
ға тең болатын сан 
z
1
= 
a 
+ 
bi 
санына 
қарама-қарсы 
деп аталады. 
Сонымен, 
z
2
қосу керек. 
комплекс санын 
z
1
санынан алу үшін 
z
2
-ні қарама-қарсы - 
z
2
санына 
Анықтама 6: 
z
1
= 
a 
+ 
bi
, 
z
2
= 
c 
+ 
di 
0 
комплекс сандарының 
бӛліндісі 
деп 
z
2
z 
= 
z
1
немесе (
c 
+ 
di
)(
x 
+ 
yi
) = 
a 
+ 
bi 
теңдігін қанағаттандыратын 
z 
= 
x 
+ 
yi 
санын атайды. 
Комплекс сандарының бӛліндісінің бар болуының және жалғыздығын кӛрсетейік: 
(6)
формуладан (
сx dy
) + (
dx 
+ 
cy
)
i 
= 
a 
+ 
bi 
теңдігіне келеміз. 
2 анықтама бойынша 
cx 
dy 
= 
a 
dx 
+ 
cy 
= 
b 
жүйесіне келеміз. Жүйені шешіп х және у үшін жалғыз мәндерін табамыз: 
x 
= 
ac 
+ 
bd 
; 
y 
= 
bc 
ad 
c 
2
+ 
d 
2
Шыққан ӛрнектің мағынасы бар, себебі, 
шығады. 
Сонымен, 
z 
= 
x 
+ 
yi 
= 
ac 
+ 
bd 
+ 
bc 
ad 
i
 
c 
2
+ 
d 
2
z
2
= 
c 
+ 
di 
0 
-ден 
с 
2
+ 
d 
2
0 
екені 
(11) 
c 
2
+ 
d 
2
c 
2
+ 
d 
2
Осыдан 
z
1
, 
z
2 
комплекс сандарының бӛліндісінің бар болуы және жалғыздығы 
шығады, бірақ, мұнда 
z
2
0 
болу керек. 
z
1
және 
z
2
0 
комплекс сандарының бӛліндісі 
z 
= 
z
1
z
2 
деп белгіленеді [3]. 
5
 
Мысал: 
z
1
= 2 
i
, 
z
2
= 1+ 2
i 
комплекс сандарының 
z 
бӛліндісін табу керек. 
Δ 
z
2
z 
= 
z
1
. Айталық, 
z 
= 
x 
+ 
yi 
болсын. Онда 
немесе 
(1 + 2
i
)(
x 
+ 
yi
) = 2 3
i 
(
x 
2 
y
) + (2
x 
+ 
y
) = 2 3
i 
Осыдан келесі жүйеге келеміз
x 
2 
y 
= 2 
2
x 
+ 
y 
= 3 
Шыққан жүйені шешіп 
x 
= 0,8; 
y 
= 
екенін табамыз, яғни 
z 
= 
x 
+ 
yi 
= 
i 
Егер 
z 
= 
a 
+ 
bi 
болса, онда 
z 
= 
a bi 
саны 
z 
санына 
түйіндес 
деп аталады. 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: