Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
250 
n 
n 
deg
acl
(
T
λ
) = λ. 
2.
 
Для любого 
 
((ω + 1)\{0}) { } 
существует теория T
λ
с условием 
Следующие примеры иллюстрируют различные степени алгебраизации теорий, 
описанные в теореме. 
Примеры. 
1. Рассмотрим дерево 
D
n
 
[6], у которого каждая вершина имеет 
фиксированную степень 
n
ω. Обозначим через 
T
n
 
теорию Th(
D
n
). 
Если 
n = 
0, то дерево 
D
n
 
одноэлементно, acl(
A
) = dcl(
A
) = 
D
n
 
для любого 
A 
D
n
, 
следовательно, deg
acl
(
T
0
) = 1. 
Если 
n = 
1, то дерево 
D
n
 
двухэлементно, acl(
A
) = acl
2
(
A
) = 
D
n
 
для любого 
A 
D
n
, 
следовательно, deg
acl
(
T
1
) = 2. 
Если 
n 
2, то дерево 
D
n
 
A
) = acl
2
(
A
) = 
D
2
для любого 
непустого 
A 
D
2
, следовательно, deg
acl
(
T
2
) = 2. Если же 
n 
3, то при сохранении 
A
) = 
D
n
 
для любого непустого 
A 
D
n
, acl
m
(
A
) конечно для любого конечного 
A 
и 
оператор acl
m
 
не обладает свойством транзитивности. Тем самым, при 
n 
3, deg
acl
(
T
n
) = 
. 
2.
Рассмотрим граф Г
n
 
= 
{
a
, 
b
1 
, ,
b
n 
}
,
{
(
a
, 
b
1 
), ,(
a
, 
b
n 
)
} 
, 
n 
ω\{0}. Поскольку 
имеется 
n-
элементная орбита над 
и над {
a
} и эта орбита имеет максимальную 
мощность среди всех орбит над подмножествами носителя Г
n
, то имеет deg
acl
(Th(Г
n
)) = 
n. 
Беря дизъюнктное объединение графов Г
n
 
по всем натуральным 
n
, получаем граф 
, для 
которого deg
acl
(Th( 
)) = 
. 
3.
Подходящим обогащением 
M 
графа Г, который получается бесконечным 
тиражированием графов 
, реализуется значение deg
acl
(Th(
M
)) = ω. 
4.
Если 
T – 
теория отношения эквивалентности 
E
, то deg
acl
(
T
) = 
n 
тогда и только 
тогда, когда в моделях теории 
T 
имеются классы эквивалентности мощности 
n 
или 
найдутся конечные 
E-
классы одинаковой мощности 
k 
с условием суммарной мощности 
n 
по всем 
E-
классам мощности 
k
, а 
E-
классы большей конечной мощности или большей 
суммарной мощности с одинаковыми мощностями 
k 
для 
E-
классов отсутствуют. 
Равенство deg
acl
(
T
) = 
для теории 
T 
отношения эквивалентности 
E 
означает, что имеются 
E-
классы как угодно большой конечной мощности. 
5.
Следуя [7], замечаем, что для любой линейно упорядоченной структуры 
M 
и 
любого подмножества 
A 
M, 
acl(
A
) = dcl(
A
), откуда получаем deg
acl
(Th(
M
)) = 1. Если же 
структура 
M 
циклически упорядочена, то acl(
A
) = dcl(
A
) для любого непустого 
подмножества 
A 
M
самым, в зависимости от циклически упорядоченной структуры 
M 
значение deg
acl
(Th(
M
)) 
может быть произвольным ненулевым натуральным числом. 
6.
Если 
T 
– теория алгебраически замкнутого поля ненулевой характеристики, то 
корни многочленов могут образовывать как угодно большие орбиты над множествами 
коэффициентов этих многочленов. Таким образом, deg
acl
(
T
) = 
. 
Следующие понятия обобщают приведенные выше понятия, относящиеся к 
n- 
алгебраичности, применительно к данному множеству формул Δ. 
Определение. 
1. Для множества формул Δ, значения 
n 
ω
\{0} и множества 
A 
элемент 
b 
называется (Δ, 
n
)
-алгебраическим 
над 
A
, если 
a
acl(
A
) и это свидетельствуется 
формулой 
θ
(
x, a 
), для 
a A 
и 
θ
(
x, 
y 
), имеющей не более 
n 
решений. 
2.
Множество всех (Δ, 
n
)
-
алгебраических элементов над 
A 
обозначается через 
acl
Δ
(
A
). 
3.
Если 
A 
= acl
Δ
(
A
), то множество 
A 
называется (Δ, 
n
)
-алгебраически 
замкнутым. 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: