Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 251
n m n m n 4. Если acl(
A ) = acl
Δ
(
A ), то минимальное такое значение
n называется
степенью Δ
- алгебраизации над множеством
A и обозначается через deg
Δ
(
A )
. Если же такое значение
n не существует, то полагаем deg
Δ
acl
(
A ) =
. Супремум значений deg
Δ
(
A ) по всем
acl
множествам
A данной теории
T обозначается через deg
Δ
acl
(T) и называется
степенью Δ
- алгебраизации теории
T .
Предложение 3. 1.
A acl 1
(
A )
1
2
, содержащих формулу x = y .
acl
acl 2
(
A ) acl(
A )
для любых m n и любых 2.
Если A B, m n и 1
2
, то
acl 1
(
A )
acl 2
(
B ).
3. Если множество A (Δ,
n )
-алгебраически замкнуто ,
то A = acl(
A )
тогда и только тогда, когда любая конечная орбита над A имеет не более чем n элементов и это свидетельствуется подходящими формулами из Δ
. На основе предложения 3 возникает иерархия алгебраических замыканий,
задаваемых как ограничениями мощностей
n , так и различными множествами формул Δ,
имеющими те или иные, достаточно произвольные степени Δ
- алгебраизации deg
Δ
(
T ).
В завершение сформулируем следующие проблемы:
acl
Проблема 1. Описать (Δ,
n )
- алгебраические замыкания для моделей естественных
теорий и заданных множеств формул Δ.
Проблема 2. Описать степени Δ
- алгебраизации для естественных классов теорий и
множеств формул Δ.
Проблема 3. Описать иерархии алгебраических замыканий для естественных
классов теорий и множеств формул Δ.
Работа выполнена в рамках государственного задания Института математики им.
С.Л. Соболева СО РАН, проект № FWNF-2022-0012.
О вариантах алгебраических замыканий в моделях элементарных теорий Аннотация Рассматриваются варианты алгебраических замыканий в моделях элементарных
теорий, зависящие от конечных мощностей множеств решений формул, а также от
данного множества формул. Вводится понятие степени алгебраизации, зависящее от
данного множества формул. Описываются значения этих степеней. Приводятся примеры с
различными значениями степеней. Формулируются проблемы, относящиеся к
рассматриваемым вариантам алгебраических замыканий.
Ключевые слова: алгебраическое замыкание, модель, элементарная теория,
степень алгебраизации.
Бастауыш теориялар модельдеріндегі алгебралық тҧйықталу нҧсқалары
