Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 460
∫
( x ) dx A f i 1
2
n 1
2
n Фредгольмнің біртекті интегралдық теқдеуінің нӛлге тең емес шешімдері бар
болатын
𝜆
параметрінің мәндері меншікті мәндер деп, ал оларға сәйкес нӛлден ерекше
шешімдер меншікті функциялар деп аталады.
Енді интегралдық теңдеулерге есептерді қарастырайық
Есеп 3 . Мына
x
ƒ (2 + 𝑥
2
− 𝑠
2
)𝜑(𝑠)𝑑𝑠 = 𝑥
2
a
Вольтерраның 1-текті интегралдық тендеуін шешейік. Бұл тендеуді х айнымалысы
бойынша дифференциалдасақ,
немесе
x
2𝜑(𝑥) + ƒ 2𝑥𝜑(𝑠)𝑑𝑠 = 2𝑥
a
x
𝜑(𝑥) = 𝑥 − ƒ 𝑥𝜑(𝑠)𝑑𝑠
a
Біз 2-текті интегралдық теңдеуін алдық. Мұндағы,
𝑢(𝑥) =
x
𝜑(𝑠)𝑑𝑠
a
𝜑(𝑥) = 𝑥 − 𝑥𝑢(𝑥), 𝑢’(𝑥) = φ(x) ⇒ 𝑢’(𝑥) = 𝑥(1 − 𝑢(𝑥))
десек, онда
немесе
𝑢’(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑥 = 𝑥,
𝑢(0) = 0
Соңғы есептің шешімі
демек
𝑢(𝑥) = 1 − 𝑒
–
x
2
2
𝜑(𝑥) = 𝑥𝑒
–
x
2
2
Анықталған интегралды жуықтап есептеу әдістері. Анықталған интегралды
жуықтап есептеу әдісін қарастырамын. Анықталған интегралдарды жуықтау әдістерін
қарастыруға кӛшпес бұрын, кейбір анықтамаларды келтірейік [3-4].
Анықтама 1.
b p ( x ) f a n ( n ) i i =1
( x ( n ) ) (3)
формуласының кӛмегімен интегралдың жуықтау мәнін табуға болады, оның сол
жағында тұратын формула механикалық квадратур немесе квадраттық формула деп
аталады. Ол n түйіндері:
x ( n ) ,x ( n ) , ,x ( n ) үшін құрылған және бұл түйіндерге n сәйкес
A ( n ) , A ( n ) , , A ( n ) коэффициенттері болады. Осылайша (3) формуласына 2n ӛлшемі кіреді.
Интегралдың кӛбейткішінде тұратын p(x) функциясы салмақ функциясы деп
аталады. Ары қарай сәйкесінше p(x)>0-ды қарастырып, [a, b] аралығында келесі шарттарды
қанағаттандырады:
b 1) 0 <
p(x)dx <
. a b 2
) p( x )x m dx <
, a кез келген
m > 0 бүтін сан үшін;
