Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
477 
400 1 
2 
3 
310 1 2 
130 1 2 
x 
= 
x
* 
+ 
q 
,
y 
= 
q 
, 
z 
= 
q 
, 
p 
= 
p
* 
+ 
p 
, 
p 
= 
p 
, 
p
= 
p 
1 
2 
3 
1 
1 
1 
2 
2 
3 
3 
(9) 
p 
* = 
x
*
, 
p 
* = 
y
* 
= 
p 
* = 
z
* 
= 0. 
1 
2 
3 
0 
где 
x
* 
= 0,5(
Q
2/ 3 
Q
2 / 3 
, 
p
* 
= 0,5 2(
Q
2 / 3 
+ 
Q
2 / 3
) (
Q
2 / 3 
Q
2 / 3
) 
1 
2 
1 
1 
2 
1 
2 
(10) 
Раскладывая функцию Гамильтона в ряд по степеням возмущений 
q 
и 
p 
в 
i 
i 
окрестности рассматриваемой коллинеарной точки, принимаемой за начало координат, 
получим 
H 
= 
H 
2 
+ 
H
3 
+ 
H 
4 
+ ... 
(11) 
Здесь 
H
m 
- однородные полиномы степени
m 
(
m 
= 2,3, 4,...) относительно 
обобщенных координат 
q 
и импульсов 
i 
p 
, так что 
i 
 
 
 
3
l 
l 
l 
H
m 
= 
h

l l l 
q 
1
q 
2
q 
p 
1 
p 
2 
p 
3 
(12) 
 
+ 
l 
= 
m 
1 2 3 1 2 3 
1 2 3
1 2 3 
Тогда в выражении (11) формы 
H 
2
, 
H
3 
и 
H 
4
с учетом (9) примут следующий вид: 
H
= 
1 
p
2 
+ 
p
2 
+
p
2 
+ 
p q 
– 
p q 
+ 
h 
q
2 
+ 
h 
q
2 
+ 
h 
q
2 
+ 
h 
q q
+ 
2 
2 1 
2 
3
1 2 
2 1 
200 1 
020 2 
002 3 
110 1 2 
(13) 
+ 
h 
q q 
+ 
h 
q q 
, 
101 1 3 
011 2 3 
H
3 
= 
h 
q
3 
+ 
h 
q
3 
+ 
h 
q
3 
+ 
h 
q
2
q 
+ 
h 
q
2
q 
+ 
300 1 
030 2 
300 3 
210 1 2 
201 1 3 
(14) 
+ 
h 
q q
2 
+ 
h 
q
2
q 
+ 
h 
q q
2 
+ 
h 
q q
2 
+ 
h 
q q q 
, 
120 1 2 
021 2 3 
102 1 3 
012 2 3 
111 1 2 3 
H
4 
= 
h 
q
4 
+ 
h 
q
4 
+ 
h 
q
4 
+ 
h 
q
3
q 
+ 
h 
q q
3 
+ 
+ 
h 
q q
3 
+ 
h 
q
3
q 
+ 
h 
q
3
q 
+ 
h 
q
3
q 
+ 
h 
q
2
q q 
+ 
(15 
103 1 3 
301 1 3 
031 2 3 
013 3 2 
211 1 2 3 
+ 
h 
q q
2
q 
+ 
h 
q q q
2 
+ 
h 
q
2
q
2 
+ 
h 
q
2
q
2 
+ 
h 
q
2
q
2
, 
121 1 2 3 
112 1 2 3 
220 1 2 
202 1 3 
022 2 3 
где 
h 
200 
= 
а 
, 
h 
020 
= 4
a 
, 
h 
002 
= 4
a 
, 
h 
110 
= 0 
, 
h 
101 
= 0 
, 
h 
= 0 
011 
h 
300 
= 16
b 
, 
h 
120 
b 
, 
h 
102 
b 
, 
h 
030 
= 0 
, 
h 
003 
= 0 
, 
h 
210 
= 0 
, 
h 
201 
= 0 
, 
h 
021 
= 0 
, 
h 
012 
= 0 
, 
h 
111 
= 0 
, 
h 
400 
= 
c 
, 
h 
040 
= 
c 
, 
h 
004 
= 
c 
, 
h 
220 
= 32
c 
, 
h 
202 
= 32
c 
, 
(16) 
h 
022 
= 
c 
, 
h 
310 
= 0 
, 
h 
130 
= 0 
, 
h 
103 
= 0 
, 
h 
301 
= 0 
, 
h 
031 
= 0 
, 
h 
013 
= 0 
, 
h 
211 
= 0 
, 
h 
121 
= 0 
, 
h 
112 
= 0 
, 
Q 
) 
Q 
 
a 
= 
1 
| 
Q
2 / 3 
Q
 
2 / 3 +1|
3 
+
| 
Q
2 / 3 
2 
– 
Q
2 / 3 
3 
,
1 
2 
1 
2 
Q 
)(
Q
2/
3
Q
2/
3
+1) 
Q 
(
Q
2/
3
Q
2/
3
b 
=
1 
1 
2 
+ 
2 
1 
2 
, 
(17) 
| 
Q
2 / 3
Q
2 / 3
+1|
5 
| 
Q
2 / 3 
Q
2 / 3 
5 
1 
2 
1 
2 
040 
004 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
478 
c 
= 
Q
1 
(1
 
) 
| 
Q
2 / 3 
Q
2 / 3 
+ 1 |
5 
+ 
Q
2 
 
| 
Q
2 / 3 
Q
2 / 3 
|
5 
1 
2 
1 
2 
4.
 
Устойчивость коллинеарных точек либрации в пространственной задаче 
 
Вопрос об устойчивости исследуемых пространственных коллинеарных точек 
либрации сводится к задаче об устойчивости положений равновесия 
qi 
= 
pi 
= 0 (
i
=1,2,3) 
автономной гамильтоновой системы с тремя степенями свободы. Как видно из (13), здесь 
имеем случай, когда 
H 
2
не является знакоопределенной функцией, а характеристическое 
уравнение системы не имеет корней с ненулевой вещественной частью. Следовательно, 
из устойчивости линейной системы не следует устойчивость полной системы. 
Раскладывая функцию Гамильтона в ряд по степеням 
qi 
, 
pi 
в окрестности 
рассматриваемого положения равновесия, сначала гамильтониан 
нормальной форме в виде 
H 
2
приводим к 
K 
2 
= 
1
r
1 
2
r
2 
+ 
3
r
3 
. 
(18) 
Структура нормальных форм 
H 
3 
и 
H 
4 
соотношения 
зависит от вида резонансного 
k 
 
+ 
k 
 
+ 
k 
 
= 0 
, 
(
k 
+ 
k 
+ 
k 
) 
, 
(19) 
1 1 
2 2 
3 3 
1 
2 
3 
где частоты главных колебаний 
i
 
для рассматриваемых точек либрации равны 
1 
= 
(
2
а 
+ (9
a 
8)
а 
)
/ 2 , 
. 
2 
= 
(
2
а
(9
a 
8)
а 
)
/ 2, 
3
= 
. 
(20) 
Как видно из последнего выражения, для частоты пространственных колебаний 
параметр 
a 
может принимать только положительные значения. Следовательно, резонансы, 
содержащие частоту пространственных колебаний, могут быть реализованы лишь в 
ограниченной части ( 
8 / 9 < 
a 
1 
) области необходимых условий устойчивости 
( 
8 / 9 < 
a 
1 
и 
2 < 
a 
0 
) системы. 
Исследуем устойчивость коллинеарных точек либрации при двухчастотных 
резонансах. Для этих точек возможными оказались следующие двухчастотные резонансы: 
 
= 2
 
, 1
2 
 
= 3
 
, 1
2 
2
1 
= 
3
, 3
1 
= 
3
, 2
2 
= 
3 
, 3
2 
= 
3
Резонансы 
 
= 2
 
1 
2 
и 

= 3
 
1 
2 
, обнаруженные в плоской задаче, были изучены в 
работах [7,8]. В пространственной фотогравитационной задаче возможными оказались 
следующие резонансы третьего и четвертого порядков 
2
1 
= 
3
, 2
2 
= 
3 
, 3
1 
= 
3
, 3
2 
= 
3
, 
которые соответственно отвечают значениям параметра 
а, 
определяемым как 
a 
= 4(1+ 2 
) / 27, 
a 
= 
) / 9; 
a 
= (63 + 
) / 304 , 
a 
= (63 + 
) / 304 . 
Заметим, что два последних резонанса 
3
1 
= 
3 
и 
3
2 
= 
3
совпадают. Для 
построения резонансных кривых (в области устойчивости в линейном приближении 
системы) для соответствующего конкретному резонансному значения коэффициента 
a 
строится кривая, определяемая выражением 
а 
7 
10 
53217 
53217 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: