Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
480 
1003 
 
 
определяется выражениями, 
1 
1 
1 
 
x 
= 
1003 
 
h 
+ 
2 1 0013 
2
3
3 
h 
1300 
h 
2
 
1102 
3 
– 1 
2
2
3 
h 
0211 
– 
9 
( 
x 
x 
+ 
y 
y 
)
1 
( 
x 
y 
+ 
x 
y 
) + 
5 0120 0012 
0120 0012 
 
1002 
3 
1011 
1011 1002 
+ 
4 
( 
x 
x 
+ 
y 
y 
) + 
3 
( 
x 
x 
+ 
y 
y 
), 
2 1002 
3 
 
0201 
1002 
1 
0201 
2 
1 
0003 0111 
 
0003 0111 
y 
1003 
= 1 
2
 
3 
h 
0112 
h 
+ 
2 1003 
2
2
3 
h 
1201 
+ 1 
2
3
3 
h 
0310 
– 
9 
( 
x 
y 
–
x 
y 
)
1 
( 
y 
y 
–
x 
x 
) + 
5 0120 0012 
0012 0120 
 
1011 1002 
3 
1011 1002 
+ 
4 
( 
x 
y 
–
x 
y 
) + 
3 
( 
x 
y 
–
x 
y 
), 
2 
0201 1002 
3 
1002 0201 
2 0111 0003 
0003 0111 
где коэффициенты 
h 
0013 
, 
h 
1300 
, 
h 
1102 
, 
h 
, 
0211 
h 
0112 
, 
h 
, 
h 
, 
1201 
h 
, 
0310 
x 
0120 
, 
y 
, 
0120 
x 
0120 
, 
y 
0120 
, 
x 
1011 
, 
y 
1002 
, 
y 
1011 
, 
x 
0012 
, 
y 
0111 
, 
x 
0201 
, 
y 
0201 
, 
x 
0003 
, 
y 
, 
0003 
приведенные для коллинеарных точек выше (16), принимают значения, равные нулю, 
следовательно и тождественно равны нулю 
x
 
и 
1003 
y
 
.
Тогда справедливо равенство 
1003 
N
2 
= 3 3
B
(
 
,
 
) =0. 
Определим теперь величину 
N 
= 
c 
1 
1 
200 
3 
+ 3
c 
110 
+ 9
c 
020 
.
Здесь коэффициенты 
c
200 
,
c 
, 
110 
c
 
, являющиеся инвариантами функции Гамильтона (11) относительно
020 
канонических преобразований, зависят от коэффициентов 
полиномов (12) степени 
m 
(
m
=3, 4), которые равны 
h 

l l 
1 2 1 2 
однородных 
c 
= 
3 
h 
– 
27 
 
2 
y
2
– 
3 
x
2 
, 
200 
2 
2 4000 
1 
8 2 0030 
2 1020 
c 
= 
1 
h 
– 
2 
x
2
+ 
3 
 
2 
y
2
+ 2
x 
x 
, 
110 
1 2
2200 3 1002 10 2 0012 
0111 1020 
(24) 
c 
= 
3 
h 
– 
1 
x
2
– 
1 
x
2
– 
3 
 
2 
y
2 
, 
020 
2 
2 0400 
2 
6 1002 
2 0111 40 2 0012 
где 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
481 
2 
y 
=
1 
h 
, 
x 
=
3 
h 
, 
x 
= 
1 
h 
, 
0030 
y
0012 
2 
1 
= 
1 

2
3000 
h 
1200 
1020 
, 
x 
= 
0111 
2
 
2
1 
1 

3000 
h 
1200 
1002 
2
 
2
2 
1200 
(25) 
1 2 
1 2 
Подставляя из (16) значения 
h 
3000 
= 16
b 
, 
h 
1200 
= 
b 
в (25), имеем 
с
200 
=
48 
с 
2 
1 
864
 
2
2 (1 + 
2 
1 
1 
)2
b
2 
2 
1 
– 96(1
3 
)
2 
b
2 
, 
2 
1 
(26) 
c 
110 
= 
32 
1 2 
c 
96 
b
2
+ 
 
4 
384 
5
 
2
 
2
b
2 
256 
1 2
(1
3 
)
b
2
. 
 
2 
c 
=
18 
c
2 
32
b
2
1 
128 
2 
b
2 
1 
96 
b
2 
,
020 
 
2 
3
 
4
 
2
 
2 
5
 
2
 
2
2 
2 
1 2 
1 2 
где 
a, b 
и 
c 
параметры, которые зависят от коэффициентов редукции 
Q 
и 
Q 
и 
1 
безразмерного массового параметра 
μ. 
Как показали вычисления, модуль выражения 
N 
= 
c 
1 
200 
+ 3
c 
110 
+ 9
c 
020 
всегда отличен от нуля. Следовательно всюду выполняется 
неравенство 
N
> 
N 
1 
2 
=0, гарантирующее согласно [9] существование устойчивости по 
Ляпунову. Анлогичным путем доказано, что при резонансе третьего порядка 
2
2 
= 
3
коллинеарные точки неустойчивы, а при резонансе четвертого 
устойчивы по Ляпунову. 
порядка 
3
2 
= 
3 
- 
Ниже приведены области (закрашенные) устойчивости линейной системы, в 
которых указаны резонансные кривые четвертого порядка 
массового параметра μ. 
3
2 
= 
3 
для двух значений 
Рис.1. Резонансная кривая четвертого 
порядка при μ=0,001 
Рис. 2. Резонансная кривая 
четвертого порядка при μ=0,01 
При μ=0,001 резонансная кривая расположена ближе к середине области 
устойчивости (рис.1). При увеличении массы μ до 0,01 (рис.2) область слегка 
уменьшается, а резонансная кривая расположена ближе к границе области устойчивости и 
становится менее заметной чем при μ=0,001. Видимо этот факт является подтверждением 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
482 
2
K 
4 
r
i 
r
j 
K 
2 
r
j 
1 
200 1 
110 1 2 
101 1 3 
2 
011 2 3 
002 3 
приведенного выше вывода о том, что резонансы, содержащие частоту пространственных 
колебаний, могут быть реализованы лишь в ограниченной части ( 
8 / 9 < 
a 
1
) области 
необходимых условий устойчивости коллинеарных точек. 
Заметим, что если в классической задаче для фиксированного значения 
 
коэффициенты 
c
200 
, 
c 
110 
и
c 
принимают постоянные значения (что намного 
020 
упрощает исследование задачи), то в этой задаче эти же коэффициенты не остаются 
постоянными и являются функциями коэффициентов 
Q 
и 
Q
, вследствие чего задача 
1 
2 
сильно усложняется. 
Если 
i
 
не удовлетворяют условию (19), то после применения преобразования 
Биркгофа нормализованный до четвертого порядка включительно гамильтониан 
возмущенного движения в полярных координатах имеет вид 
Здесь 
K 
4
H 
* = 
K
2 
(
r
1
, 
r
2 
, 
r
3 
)
+ 
K
4 
(
r
1
, 
r
2 
, 
r
3 
) 
определяется выражением 
(27) 
K
4 
= 
c r 
2
+ 
c r r 
+ 
c r r 
+ 
c 
r 
2
+ 
c 
r r 
+ 
c 
r 
2
. 
(28) 
Теперь используем результаты Арнольда по устойчивости гамильтоновых систем 
для большинства начальных условий [9]. Известно, что неустойчивость, обнаруженная в 
плоской задаче, сохраняется и в пространственной задаче. Предполагая, что в системе 
отсутствуют резонансы 
2
1 
= 
3
, 
1
= 2
2
, 
1
= 3
2
, 
3
1 
= 
3
, 2
2 
= 
3 
, 3
2 
= 
3
, 
составим определитель четвертого порядка 
D
4 
= det 
(29) 
Раскрывая определитель (29), имеем 
D 
= 
 
2 
(
c
2
–
4
c 
c 
) + 
 
2 
(
c
2
–
4
c 
c 
) + 
 
2 
(
c
2 
4 
1 011 
020 002 
2 101 
200 002 
3 110 
4
c 
c 
) + 2

(
c 
c 
– 2
c 
c 
) 2

(
c 
c 
(30) 
200 020 
1 2 101 011 
002 110 
1 3 011 110 
2
c 
c 
) + 2

(
c 
c 
– 2
c 
c 
). 
020 101 
2 3 110 101 
200 011 
Положение равновесия 
q
i 
= 
p
i 
= 0 
устойчиво для большинства (в смысле меры 
Лебега) начальных условий, если определитель 
D
4 
0 
. Проверяя далее с помощью 
численного анализа выполнимость неравенства 
D
4
0 
, 
убеждаемся, что в 
пространственной фотогравитационной задаче трех тел коллинеарные точки либрации 
устойчивы для большинства (в смысле меры Лебега) начальных условий при всех 
а 
(кроме значений, отвечающих внутренним резонансам третьего 
2
1 
= 
3
, 
2
2 
= 
3 
и 
четвертого 
 
= 3
2 
, 
1 
= 3
3 
, 
3
2 
= 
3
порядков) из области устойчивости в линейном 
прибижении. 
Наличие в системе устойчивости для большинства начальных условий означает, 
что с вероятностью, близкой к единице, коллинеарные точки либрации в 
пространственной задаче устойчивы. 
K 
2 
r
i 
0 
020 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: