В ы с ш е е о б р а з о в а н и е м. П. Лапчик, И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер

мую  развернутую  форму  записи  числа.  Только  теперь  нужно  су­
меть десятичное число разложить в сумму по степеням нового ос­
нования п 
ф
  10.  Например, число 8510 по степеням двойки раскла­
дывается так:
85w  =  1х26  +  0х 2 5  +  1х24  +  0х2 3  +  1х22  +  0 x 2   +  1  =
=  10101012.
Однако  проделать  это  в  уме  довольно  сложно.  Здесь  следует 
показать формальную процедуру (алгоритм) такого перевода. Опи­
сание алгоритма можно прочитать в учебнике  [9]  или пособии  [1]. 
Там же дается математическое обоснование алгоритма. Разбор этого 
обоснования  требует от учеников  определенного уровня  матема­
тической  грамотности  и  возможен  в  варианте  углубленного  изу­
чения  базового курса.
В рамках минимального объема базового курса не обязательно 
изучать приемы перевода дробных десятичных чисел в другие си­
стемы счисления.  При знакомстве с этим вопросом в углубленном 
курсе  нужно  обратить  внимание  на  следующее  обстоятельство: 
десятичные дроби  с  конечным  числом  цифр  при  переводе  в дру­
гие системы могут превратиться в бесконечные дроби.  Если удает­
ся  найти  период,  тогда  его  следует выделить.  Если  же  период  не 
обнаруживается,  то  нужно договориться  о точности  (т.е.  о  коли­
честве  цифр),  с  которой  производится  перевод.
Если ставится цель получения при переводе дробного числа наи­
более близкого значения, то, ограничивая число знаков, нужно про­
изводить округления. Для этого в процессе перевода следует вычис­
лять на одну цифру больше, а затем, применяя правила округления, 
сокращать эту цифру.  Выполняя округление,  нужно соблюдать сле­
дующее правило: если первая отбрасываемая цифра больше или рав­
на  п/2 (п  — основание системы), то к сохраняемому младшему раз­
ряду  числа  прибавляется  единица.  Например,  округление  восьме­
ричного  числа  32,324718  до  одного  знака  после  запятой  даст  в 
результате 32,3;  а округление до двух знаков после запятой  —  32,33.
Математическая  суть  отмеченной  выше  проблемы  связана  со 
следующим фактом: многие дробные рациональные десятичные чис­
ла в других системах счисления оказываются иррациональными.
Применение двоичной  системы  счисления  в  ЭВМ  может рас­
сматриваться  в двух  аспектах:  1)  двоичная  нумерация;  2)  двоич­
ная арифметика, т. е. выполнение арифметических вычислений над 
двоичными числами.  С двоичной нумерацией ученики встретятся 
в теме «Представление текста в компьютерной памяти». Рассказы­
вая о таблице кодировки ASCII, учитель должен сообщить учени­
кам,  что  внутренний  двоичный  код  символа  —  это  его  порядко­
вый  номер  в двоичной  системе  счисления.
Практическая  потребность  знакомства  с  двоичной  арифмети­
кой  возникает  при  изучении  работы  процессора  (см.,  например,
169

[9,  гл.  11]).  В  этой теме  рассказывается,  как  процессор ЭВМ  вы­
полняет арифметические вычисления. Согласно принципу Дж. фон 
Неймана,  компьютер  производит  вычисления  в двоичной  систе­
ме  счисления.  В  рамках базового  курса достаточно  ограничиться 
рассмотрением  вычислений  с  целыми двоичными числами.
Для выполнения вычислений с многозначными числами необ­
ходимо знать правила сложения и правила умножения однознач­
ных чисел.  Вот эти правила:
0 + 0 = 0  
0 x 0 = 0
1 + 0 = 1  
1 x 0 = 0
1  +   1  =   10 
1 x 1 = 1
Принцип перестановочности  сложения  и умножения работает 
во всех системах счисления. Далее следует сообщить, что приемы 
выполнения  вычислений  с  многозначными  числами  в двоичной 
системе  аналогичны  десятичной.  Иначе  говоря,  процедуры  сло­
жения,  вычитания  и  умножения  «столбиком»  и  деления  «угол­
ком»  в двоичной  системе  производятся  так  же,  как  и  в десятич­
ной.
Рассмотрим  правила  вычитания  и  деления  двоичных  чисел. 
Операция  вычитания  является  обратной  по  отношению  к  сложе­
нию.  Из  приведенной  выше  таблицы  сложения  следуют правила 
вычитания:
0 - 0 = 0 ;  
1 — 0  =  1; 
10  -   1  =  1.
А вот пример вычитания  многозначных чисел:
_   1001101101 
100110111
100110110
Полученный  результат  можно  проверить  сложением  разности 
с вычитаемым. Должно получиться уменьшаемое число.
Деление  —  операция  обратная  умножению.  В  любой  системе 
счисления делить на 0 нельзя.  Результат деления на  1  равен дели­
мому. Деление двоичного числа на  102 ведет к перемещению запя­
той  на  один  разряд  влево,  подобно  десятичному делению  на де­
сять. Например:
10010:10  =  1001; 
1 0 1 1 :1 0   =  101, 1; 
101100:10  =  10110.
Деление  на  100  смещает  запятую  на  2  разряда  влево  и  т.д. 
В базовом курсе можно не рассматривать сложные примеры деле­
ния многозначных двоичных чисел.  Хотя способные ученики мо­
гут  справиться  и  с  ними,  поняв  общие  принципы.
Представление информации, хранящейся  в компьютерной па­
мяти  в ее истинном двоичном  виде  весьма громоздко из-за боль­
шого количества цифр.  Имеется в виду запись такой информации
170

на бумаге или вывод ее на экран. Для этих целей принято исполь­
зовать восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. 
В  современных  ПК чаще  всего  используется  шестнадцатеричная 
система.
Существует простая связь между двоичным и шестнадцатерич­
ным представлением числа.  При переводе числа из одной системы 
в  другую,  одной  шестнадцатеричной  цифре  соответствует  4-раз- 
рядный двоичный код.  Это соответствие отражено в двоично-ше- 
стнадцатеричной таблице:

жүктеу/скачать 32,34 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: