Вариациялық Қатарлардың негізгі сипаттамалары

Жиынның мәндері бойынша вариацияланған белгілер, яғни мәндер жиыны вариация қатары делінеді және олар дискретті (үздікті) немесе үздіксіз болуы мүмкін.

Бір-бірінен толық бүтін сан мәндерімен ерекшеленетін сандар қатарын дискретті вариация деп атайды.

Бір-бірінен кез келген бөлшек сандармен ерекшеленетін сандар қатарын үздіксіз вариация деп атайды.

Мысалға, дискретті вариация белгілері үшін бір отардағы қойлар және ешкілер саны, бір жанұядағы адамдар саны және т.б., ал үздіксіз вариация белгілері ретінде тәуліктегі уақыт, бір отардағы қойлардың салмақтары және т.с.с. алынады.

Вариация қатарын ұйымдастыруға мысал келтірейік. Мысалы, шошқа фермасында 65 мегежін тіркелді. Әр аналық шошқадан алынған торайлар саны мынадай болсын: 8, 9, 12, 10, 6, 7; 11, 8, 6, 8, 9, 12, 7, 6, 11,5, 8, 8, 6, 12,5, 9, 7, 10, 6, 8, 9, 11,8, 7, 10, 9,5, 10, 8, 11, 6, 7, 9, 8, 6, 11, 7, 10, 8, 9, 7, 8, 8, 10, 9, 7, 11, 10, 8, 7, 8, 10, 7, 9, 10, 8,5,7, 9.

Бақылау нәтижесін тіркеу ретімен және осы жиында вариант- тардың қайталану санымен берілген мәліметтерді бір қатарға орналастырайық:

варианттар х_і 8 9 12 10 6 7 11 5

вариант саныf_i15 10 3 9 7 11 6 4

Сөйтіп, вариация қатарын алдық. Әр варианттың қанша рет берілген жиында кездесетінін көрсететін сан жиілік немесе ва-

Жиілік (өлшем) тек абсолюттік шамамен емес, қатынастық мөлшерде - меншікті салмақпен немесе пайызбен, яғни осы көрсеткіш жиынының жалпы санына қатынасымен өлшенуі мүмкін. Мұндай жағдайда өлшемдер қатынастық жиілік немесе жиілгіштер деп аталады. Жиілгіштердің жалпы қосындысы бірге тең, яғни

Берілген мәліметтерді вариация қатарына орналастыру екі мақсат үшін жасалынады. Оның бірі - жалпы сандық сипатта- маларды, оның ішінде орташа шаманы және вариация көрсеткішін есептеуді тездету және оңайлату болса, ал екінші мақсаты - қарастырылып отырған белгінің вариация заңдылықтарын анық- тауды көздейді. Жоғарыдағы келтірілген вариациялық қатар бірінші мақсатгы қанағаттандырғанымен, екінші мақсатты қана- ғаттандырмайды. Берілген бөлініп таралу қатары қойылған та- лаптарға жауап беру үшін оны белгінің өсу ретімен қайта орна- ластыру керек.

Қатарды реттеу іс-әрекеті, яғни варианттарды өсу немесе кему ретімен орналастыру жұмысы қатарды рангілеу (ранжировать) бойынша орналастыру деп аталады.

Жоғарыдағы келтірілген мысалдағы мәліметтерді осы мақсатта төмендегі ретпен орналастырамыз:

варианттар х _і 5 6 7 8 9 10 11 12

жиіліктер f_i 4 7 11 15 10 9 6 3

Енді, алынған вариациялық қатар бірінші және екінші мақсатқа жетуді қамтамасыз етеді.

Егер рангі (өсу ретімен) бойынша реттелген қатарда минимал- ды немесе максималды варианттардың мәндері көрші варианттың мәнінен ерекше кем немесе артық болса, онда олардың осы жиынға жататынын немесе жатпайтынын тексеру керек. Мұндай жағдай қарастырылып отырған мәліметті бақылауда өрескел қате жіберілгенде пайда болуы мүмкін. Сондықтан ерекше өзгерістегі мәліметгерді жиыннан алып тастау орынды. Бірақ кез келген

бөлектенген вариантты дәйексіз алып тастауға болмайды. Осы мақсатты (нөлдік гипотеза-сенімсіз вариант қарастырып отырған жиынға кіреді) тексеру үшін арнайы критерий қолданылады.

Максималды вариант (варианттардың үлестірімдігі қалыпты (нормалдық) заңға бағынса немесе оған жақын жатса) үшін мынадай формула қолданылады:

мұндаt_n - максималды вариант х_п жиынға жататынын

дәлелдейтін критерийі;

х_n - максималды вариант;

х_п-1 - максималды варианттың алдындағы вариант;

х₂-минималды варианттан кейіигі вариант.

Минималды вариант үшін:

 (1.2)

мұндағыt₁ - минималды вариант х₁жиынға жататынын

дәлелдейтін критерийі;

х₂- минималды варианттан кейінгі вариант;

х_n-1 - максималды варианттың х_п алдындағы вариант.

Қабылданған а дәлдіктің деңгейінде және сұрыпталған жиын көлемінде п, егер t_p>t_s шарты орындалса, онда нөлдік гипотеза қабылданбайды.

Мысал келтірейік. Егістіктің 6 бөлігінен күздік қарабидайдан мынадай түсім алынған:

Участік нөмірлері 1 2 3 4 5 6

варианттар, х_i 20,8 21,9 23,2 24,6 25,3 30,8

Келтірілген варианттарда х₆ = 30,8 басқа варианттардан ерекше үлкен. Осы вариант қарастырылып отырған жиынға жата ма, яғни нөлдік гипотезаны Н₀ тексерейік. Ол үшін (1.1) формуланы қолданып, критерийді есептейміз:

3-ші қосымшадағы (статистикалық кестелерді қараңыз) t_n - кестеден, мына жағдайда а = 0,05 жэне п = 6, табамыз t_s = 0,69. Мына: t_p = 0,64 <t_s — 0,69 шарт нөлдік гипотезаны қабылдамауға негіз бо- лып есептелінеді. Сондықтан барлық варианттар қарастырылып отырған жиынға жатады және орташа түсімді есептегенде 30,8 вариантты алып тастауға болмайды.

Берілген (1.1) және (1.2) формулалармен ең шеткі вариант- тардың өзгешеліктерімен қатар оларға көрші варианттардың да ерекше өзгешелікгерін тексеруге болады. Мысалға, келтірілген вариация қатарынан (1.1) формула бойынша 25,1 вариантты және (1.2) формуламен 21,98 вариантты тексерейік. Егер осы варианттар қарастырылып отырған жиынға жатпаса, онда 30,8 және 20,8 жатпайды. Сұрыптың статистикалық сипаттамасы сұрыпқа жат- пайтын варианттарды алып тастағаннан кейін сөзсіз есептелінуге тиіс.

Белгінің вариациясына (дискретті немесе үздіксіз және кең енді немесе енсіз) байланысты статистикалық жиын аралықсыз немесе аралық вариациялық қатарға бөлініп таралады. Бірінші жағдайда жиілікке белгінің ранг мәні сәйкес келеді де, ал екінші жағдайда әрбір вариациялық қатардың (төменгі және жоғарғы) шекарасына сәйкес келетін сандарды санап, жиілікті анықтайды. Вариациялық қатар мынадай түрге бөлінеді:

аралық қадамы бірдей вариациялық аралық қатар. Әрбір аралық вариациялық катардың жоғарғы мәні келесі аралық ва- риациялық қатардың төменгі мәніне сәйкес келеді. Мұндай тәсіл өте ыңғайлы және математикалық статистикада жиі қолданылады;

аралық қадамы бірдей емес аралық вариациялық қатар.

Аралық қадамы бірдей емес аралық вариациялық қатар тәжірибе-де жиі қолданылмайды. Сондықтан көп жағдайда міндетті түрде аралық кадамы бірдей вариациялық аралық қатар құрылады. Мүндай тәсіл белгінің вариациялық заңдылықтарын аңғаруға, вариациялық қатардың қорытынды сипаттамаларын есептеуге және вариациялық қатарды басқа қатарлармен салыстыруға көмектеседі.

Бірдей аралық вариациялык қатарды құру үшін бірінші кезекте аралық қадамды белгілеу маңызды. Аралық қадам немесе кейде аралық вариация қатарының ені деп атайды. Әрі қарай тексте кадам делінеді. Қадам тым үзын немесе қысқа болса, қарастырылып

отырған жиынды сипаттайтын вариациялық заңдылық өзгереді де, зерттеуші дұрыс шешім қабылдамауы мүмкін. Негізінде қадамның оптималды мәнін табу үшін сұрыптық жиын, оның максималды және минималды вариантының аралығында класқа (аралыққа) к бөлінеді. Ол үшін Стэрджесс формуласы қолданылады:

к =1 + 3,322∙1g п.

Аралық вариация қадамы мына формуламен есептелінеді:

мұндағы

варианттар;

Егер 2 - бөлшек сан болса, математикалық ереже бойынша жуықтап, бүтін санға айналдырады.

Аралық вариациялық қатардың шеткі шегі мына формулалармен анықталынады:

, (1.4)

, (1.5)

мұндағы х_п, х_к - і-ші аралық қатардың төменгі және жоғарғы мәні.

Сонымен қатар i-ші аралықтың жоғарғы мәні (i + 1)-ші ара- лықтың төменгі мәніне сәйкес болғандықтан, аралық жиілікті есептегенде оның төменгі мәніне тең немесе үлкен және жоғарғы мәнінен кіші жиын мәндері алынады.

Қадам өлшем бірлігі алғашқы белгінің өлшем бірлігінің дәлме-дәлдігіне сәйкес келгені жөн. Мысалы, (п = 80) сиыр сүтінің майлылық мөлшерінің вариациясы 3,30-дан 4,51% аралығында. Олай болса (1.3) формуламен есептелген аралық кадам.

лады.

 (1.6)

Нәтижесінде үздіксіз аралық қатар үздікті қатарға айналады. Мұндай түрлендірудің қажеттігі орташа дисперсияны есептеуге байланысты туады.

Гистограмма - бұл аралық үздіксіз вариациялық қатардың биіктігі әр түрлі тікбұрышты төрт бұрышпен салынған көрінісі. Абсцисса өсіне белгілердің өзгеріс аралықтары отырғызылған, ал тікбұрышты төрт бұрыштың биіктігі аралық топтардың жиілігімен сәйкестендірілген.