1. x-3y-2z + 5 = 0 теңдеуімен берілген А нүктесінен (-1,3,0) α жазықтығына дейінгі қашықтықты табыңыз.
Шешімі: 2. Бастапқы А (0,0,0) нүктеден 2х + 3у-6з + 14 = 0 жазықтыққа дейінгі қашықтықты есептеңдер.
Шешімі : l =
А нүктесінен қашықтықты табу керек (0,0,0). Формула бойынша аламыз:
3. теңдеулермен берілген α және β жазықтықтарының арасындағы сәйкесінше қашықтықты есептеңдер.
Шешім. Екінші теңдеудің екі жағын 3-ке бөлсек,
3х+2у+4z=5/12 теңдеуін аламыз.
Демек , жазықтықтар параллель.
β жазықтығына жататын кез келген А (x0, y0, z0) нүктесін алайық: мысалы,
x0 = 0, y0 = 0, содан кейін z0 = 5/12.
α және β жазықтықтарының арақашықтығы координаталары (0; 0; 5/12) нүктеден α жазықтығына дейінгі қашықтыққа тең екенін түсіну оңай:
l
4. Қабырғасы 1-ге тең𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1кубы берілген. 𝐴 төбесі,𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 жағының ортасы және 𝐶𝐷мен𝐵𝐵1 бүйірлерінің ортасы арқылы өтетін сфераның радиусын табыңыз.
Шешімі: М - нүктесі СD қырының ортасы , N – ВВ1 қырының , ал L нүктесі𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 жағының центрі болсын (1 - сурет).
векторларын базистік векторлары деп есептейік.
Онда | | = | | = | | = 1, және
,
+0.5( ).
Егер +z – центрі О нүктесі болатын сфераның радиус векторы.
Онда | | = | | = | |= | | немесе
2= 2= 2 =
Есептей келе,
3-сурет.
Осы жүйеге келеміз
Ықшамдасақ,
Осыдан белгісіз айнымалыларды анықтасақ,
шығады.
Демек,
Осыдан сфераның радиусы: R = –ге тең екені шығады.
4-сурет. Параллелограм
5. Дұрыс үшбұрышты ABCA1B1C1 призмада, барлық қырлары 1-ге тең екені белгілі.AB1 жәнеBC1 векторларының арасындағы бұрышты табыңыз.
Ең алдымен берілген призманы төртбұрышты призмаға дейін толықтырайық. AD1 қабырғасынBC1 – ге параллель болатындай етіп жүргіземіз. Ізделінді бұрыш B1AD1 бұрышының шамасына тең болады. AB1D1үшбұрышында (Пифагор теоремасы бойынша): АВ1 = АD1= , B1D1 = . Косинустар теоремасы бойынша cosφ = . φ =arccos .