«Вітчизняна наука: сучасний стан, актуальні проблеми та перспективи розвитку»

160 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 






,
2
dx
Q











.
2
1
*
*
dx
P
x
x
 (2) 
Можно написать три обобщенных моментов
 






,
2
1
dx
x
I









,
2
2
0
2
dx
x
x
I














,
*
*
0
2
dx
x
x
I
x
x
 (3) 
где
 
.
1
0
Q
I
t
x

 
Используя  формулу  (2)  можно  получить  эволюционные  уравнения  для  обобщенных 
моментов:
 










,
*
*
dx
R
R
i
dt
dQ











,
*
*
dx
R
R
i
dt
dP
x
x











,
*
*
1
dx
R
R
x
i
iDP
dt
dI
 
(4) 















,
*
*
2
0
3
2
dx
R
R
x
x
i
iDI
dt
dI
 


































.
2
2
2
*
*
*
*
0
4
2
0
3
dx
R
R
i
dx
R
R
x
x
i
dx
D
i
dt
dx
P
dt
dI
x
x
x
 
Солитонные решения остаются локализованными, даже если они пульсируют и мы используем следующую 
функцию в качестве пробного решения уравнения Гинзбурга
-
Ландау
 




,
sec
)
,
(
2
0
0
)
(
0
x
x
c
x
x
b
i
e
x
x
h
A
t
x













 (5) 
 
где  А(t)
-
амплитуда,  w(t)
-
ширина,  х
0
(t)-
максимальное  положение  импульса,  b(
t)  -
скорость  солитона.  Оценка 
интегралов (2) и (3), с помощью уравнения. (5), дает следующие выражения:
 
,
2
,
2
,
2
0
2
1
2
2
x
A
I
b
iA
P
A
Q







.
3
2
,
6
3
2
2
3
3
2
2
2
c
A
i
I
A
I






 







 

 (6) 
Затем, используя формулы (4), можно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для 
параметров солитона 
Q, w, c, x
0
 
и 
b: 
,
3
15
5
2
3
2
2
2
2
2
2
2
1
























c
Q
Q
b
Q
F
Q
t
 
,
15
16
2
8
2
3
2
2
2
2
2
2


















c
Dc
Q
Q
F
t
 
,
15
30
8
1
3
4
1
2
2
2
2
2
2
2
3




























D
Q
Q
c
Dc
F
c
t
 
,
3
2
2
2
4
,
0












c
D
b
F
x
t
.
1
3
4
2
2
2
2
5
b
c
F
b
t














 (7) 
Устойчивость стационарных точек определяется из анализа собственных значений A
j
, J = 1, ..., 5, матрицы 
Якоби M
ij
 
= ∂F
i
 
/ ∂р, где {p1,. .., p5} ≡ {Q, 
w, c, x
0
, b
}, и 
i = 1, ... , 5. 
Центр  солитона,  x
0
  (t
),  стремится  к  постоянному  значению  при 
t
→∞,  а  действительная  часть 
соответствующего собственного значения равна нулю. В дальнейшем рассмотрим систему с тремя переменными Q, 
w
, с и собственные значения λ
1
, λ
2
 
и λ
3
. 
Аналитическое  решение  системы  обыкновенных  дифференциальных  уравнений  (7)  позволяет  найти 
области  изменения  параметров,  при  которых  происходит  формирование  различных  видов  диссипативных 
солитонов. Далее мы решили задачу численным моделирование исходного уравнения Гинзбурга
-
Ландау.
 
Была написана явная разностная схема
 
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
i
h
i
i
i
h
D
i
.
2
2
2
2
4
2
1
1
2
4
2
2
1
1
1
1








































 
(8) 
Здесь 

 
и 
h
- 
шаги  по  времени  и  координате,  соответственно.  Численное  моделирование  велось  на 
отрезке 
24,24]
[
x


 
с  шагом  по
 
координате 
h
=0.04  на  промежутках  времен 
[0,4000]
T

 
с  шагом  по  времени 
τ=0.0004. Численные эксперименты проводились в области изменения параметров.
 
Формирование  устойчивого  хаотического  диссипативного  солитона  наблюдалось  при  следующих 
параметрах. 
.
08
.
0
,
1
.
0
,
039
.
0
,
1
.
0
,
75
.
0
,
1














D
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
161 
 
 
 
Рис 1. Плотность числа частиц хаотического солитона
 
 
Рис 2. Фазовый портрет солитона, т.е зависимость интеграла числа частиц от квадрата амплитуды 
солитона.
 
 
 
Рис 3. Интеграл числа частиц солитон
 
 
Литература:
 
1.  K. Maruno, A. Ankiewicz, N. Akhmediev / Physica D 176, 44-66 (2003) 
2.  J. M. Soto-Crespo and N.Akhmediev, Phys. Rev. E 66, 066610 (2002) 
3.  J. M. Soto-Grespo, N.Akhmediev and K.Chiang, PhusLett. A 291, 115 
4.  M.J.Feigenbaum, J.Stat. Phus. 1978 
5. 
Под редакцией Ахмедиева Н., Анкевича
 
А. –
 
Диссипативные солитоны. М.: Физматлит 2008, 504 с.
 
 
 
Хикмат Муминов,
 
Фарход Шокиров
 
(Душанбе, Таджикистан)
 
 
ИЗЛУЧЕНИЕ ДВИЖУЩИХСЯ БРИЗЕРОВ О(3) ВЕКТОРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА
-
МОДЕЛИ
 
 
В  настоящей  работе  приведены  результаты  численного  исследования  распределения  плотности  энергии 
бризеров одномерной анизотропной О(3) векторной нелинейной сигма
-
модели теории поля при их формировании и 
эволюции.  Установлено  свойство  сброса  движущимся  бризером  сгустка  энергии,  пропорциональной  энергии 
возмущения вектора А3
-
поля
. 
В качестве начальных данных были использованы движущиеся бризерные решения вида
 




2
/
sec
2
)
,
(
x
h
arctg
t
x


, 



)
,
( t
x
, 
 
(1) 
О(3) векторной нелинейной сигма
-
модели (ВНСМ) теории поля с функцией Лагранжа
 












2
2
sin
sin







2
1
L
, 
 
 
(2) 
где 

  (




0
)  и 

  (


2
0


)  угловые  переменные,  связанные  со  стандартными 
изоспиновыми обозначениями:
 


cos
sin
1

s
, 


sin
sin
2

s
, 

cos
3

s
 
 
(3) 

162 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
Бризеры  (1)  модели  (2)  осциллирующие  на  месте  (
0
.
0

v
)  были  впервые  получены  в  работе  [1]. 
Исследования свойств движущихся бризеров (
0
.
0

v
) при различных значениях частоты вращения 

 
вектора 
А3
-
поля в изопространстве были проведены в работах [2
-
4]. В указанных работах, например, установлен пороговый 
характер устойчивости бризеров (1) в зависимости от значений их заданной при 
0
.
0

t
 
скорости движения 
v

 
и 
частоты 

, 
определена  энергия  связи 
bond
En
,  получены  модели  взаимодействия  бризеров  (1)  модели  (2), 
исследованы их свойства. Напомним, что модель (2) при 
0


 (
0
2

s
) сводится к хорошо исследованному и 
вполне интегрируемому уравнению sin
-
Гордон для переменной 

2
 [1-3]: 
2




2
sin

 
 
 
 
 
(4) 
В  настоящей  работе,  продолжая  исследования  работ  [1
-
4],  численным  моделированием  установлены 
новые свойства движущихся бризеров
 
О(3) ВНСМ в зависимости от 
v

 
и 

, в частности, выявлен эффект сброса 
движущимся  бризером  (1)  модели  (2)  сгустка  энергии.  Скорость  движущегося  бризера  благодаря  лоренц
-
инвариантности О(3) ВНСМ в начале моделирования (при 
0
.
0

t
) определялась следующим образом:
 
2
2
/
1
c
v
vt
x
x




, 
y
y


, 
z
z


, 
2
2
2
/
1
)
/
(
c
v
x
c
v
t
t




. 
 
(5) 
Заметим,  что  начальная  (
0
.
0

t
)  скорость 
2
1
/
v
v
v



,  заданная  бризерному  решению  (1)  при 
0
.
0

t
 
отличается  от  реальная  скорости 
br
v
 
движения  численного  бризера.  Компьютерные  эксперименты 
показали,  что 
br
v
 
численных  бризеров  (1)  меньше  скорости 
v

 
заданной  с  помощью  (5): 
v
v
br


.  Очевидно, 
это  является  следствием  наличия  собственной  динамики  (осцилляций)  бризеров.  На  рис.1а  приведен  результат 
численных  исследований 
br
v
 
бризеров  вида  (1)  модели  (2),  при 
5
.
0


 
и  модели  (4)  при 
0
.
0


,  где 
начальная скорость 
)
95171
.
0
,
(0.09951
0
.
0




v
v
t
 
была задана преобразованием (5).
 
 
 
Рис.1. а)
 
Различие между скоростью 
v

 
движения бризеров (1) моделей (2) (
VNSM
V
) при 
5
.
0


 
и (4) (
SG
V
)  при 
0
.
0


 
заданной  преобразованием  (5)  и  реальной  скоростью 
br
v
 
движения  бризера  наблюдаемое  в 
компьютерных  экспериментах; 
b) 
Стабилизация  плотности  энергии  движущихся  бризерных  решений  (1) 
анизотропной  одномерной  О(3)  ВНСМ  (
5
.
0


),  при  начальных  (
0
.
0

t
)  скоростях 
)
95
.
0
,
0
.
0
[


v
.  Время 
моделирования 
]
0
.
400
,
0
.
0
[

t
. 
Как  видно  из  рис.1а 
v
v
SGbr


 
при 
0


 
(рис.1а, 
SG
V
)  до  значений 
39
.
0
38
.
0
SG


br
v
 
(при 
793
.
0


v
), достигая в этом промежутке максимальную разность 
SGbr
v
v
V




 
(рис.1а, 
SG
V

). Далее, 
наблюдается  постепенное  уменьшение  значений 
SG
V

 
(при 
39
.
0

br
v
).  При 
0
.
0


 
также 
v
v
br


 
(рис.1а, 
VNSM
V
),  кроме  того: 
SGbr
br
v
v

.  Разница 
0
.
0


br
SGbr
v
v
 
очевидно  является  следствием 
0
.
0


. Но в отличие от бризеров модели (4) (
0
.
0


), где наблюдается монотонное увеличение скорости их 
движения  (
)
1
,
0
(



v
, 
1




n
n
v
v
, 
)
(
)
(
/
1
SG
/
SG


n
br
n
br
v
v
v
v
, 
,...
3
,
2
,
1

n
),  скорость 
br
v
 
движения 
бризеров  О(3)  ВНСМ  заданного  в  виде  (1),  где 
5
.
0


 
имеет  локальный  минимум  (рис.1а, 
VNSM
V
)  при 
91
.
0


v
 
равный 
305
.
0
min

L
v
, а также локальный максимум при 
862
.
0


v
 
равный 
3375
.
0
max

L
v
. 
При  достижении  бризерами  (1)  модели  (2)  определенного  энергетического  состояния 
)
,
(

br
v
E
,  связанного  с 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
163 
 
 
br
v
 
и 

 
волны  возмущений  излучаемой  лишней  энергии  формируют  хорошо  локализованный  сгусток  энергии 
движущейся  со  скоростью 
be
v
,  большей  чем 
br
v
: 
br
be
v
v

.  В  рис.
 
2а  приведена  численная  модель  эволюции 
движущегося  со  скоростью 
325
.
0

br
v
  (
9171
.
0


v
)  бризера  (1)  О(3)  ВНСМ  (
5
.
0


),  в  котором 
происходит  сброс  определенной  части  ее 
DH
 
в  виде  локализованного  сгустка  энергии,  движущегося  в  том  же 
направлении  со  скоростью 
be
v
 
значительно  (

80%)  превосходящей 
br
v
  (
583
.
0


be
br
v
v
).  В  этом  случае, 
DH
 
отделившегося  сгустка  энергии  (
BE
DH
)  составляет 

1/3  часть  от 
BR
DH
 
(при 
0
.
0

t
)  (
441
,
12

be
DH
, 
7012
,
3

br
DH
). Заданием 
v

 
с помощью (5) из  промежутка 
)
911
.
0
,
86
.
0
(


v
 
при 
5
.
0


 
наблюдается  временный  спад 
br
v
:  от 
337
.
0

br
v
 
до 
305
.
0

br
v
.  В  этом  случае  происходит 
сброс  бризером  сгустка  энергии,  которая  обладает  наибольшей 
DH
 
(рис.
 2b
).  На  рис.
 2b 
приведен  процесс 
изменения 
)
0
.
4
,
4
.
0
(

BE
DH
 
в  зависимости  от 
br
v
: 
)
45
.
0
,
03
.
0
(

br
v
  (
)
95
.
0
,
0995
.
0
(


v
),  а 
также соотношение 
BR
BE
DH
DH
/
. 
 
 

жүктеу/скачать 9,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: