Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

1.  Числовые неравенства
7
В таких случаях говорят, что доказано неравенство 
(a + 1) (a + 2) > a (a + 3).
П р и м е р     2   
  Докажите  неравенство  (a – 3)
2
 < 2a
2
 – 6a + 10,  где 
a — любое действительное число.
Р е ш е н и е. Рассмотрим разность левой и правой частей данного 
неравенства:
(a – 3)
2
 – (2a
2
 – 6a + 10) = a
2
 – 6a + 9 – 2a
2
 + 6a – 10 = –a
2
 – 1 = –a
2
 + (–1).
При любом значении a имеем: 
−a
2
0
m .  Сумма неположительно-
го и отрицательного чисел является числом отрицательным. Значит, 
–a
2
 + (–1) < 0.  Отсюда  следует,  что  (a – 3)
2
 < 2a
2
 – 6a + 10  при  любом 
значении a. 
◄
П р и м е р    3   
 Докажите неравенство 
a b
ab
+
2
l
,  где  a l 0,   b l 0.
Р е ш е н и е. Рассмотрим разность левой и правой частей данного 
неравенства. Имеем:
a b
a b
ab
a
b
ab
+
+ −
−
−
=
=
(
)
2
2
2
2
2
.
Выражение 
a
b
−
(
)
2
2
  принимает  неотрицательные  значения 
при любых неотрицательных значениях переменных a и b. Следо-
вательно, доказываемое неравенство верно. 
◄
Заметим, что выражение  ab  называют средним геометриче-
ским чисел a и b.
Итак, мы доказали, что среднее арифметическое двух неотри-
цательных чисел не меньше их среднего геометрического.
П р и м е р     4   
  Докажите,  что  a
ab b
2
2
0
−
+
l   при  любых  значе-
ниях a и b.
Р е ш е н и е. Имеем:
a
ab b
a
a
b
b
b
a
b
b
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
4
3
4
1
2
3
4
−
+
=
−
+
+
=
−



 +
æ æ
. 
Поскольку  a
b
−




1
2
2
0
l  и 
3
4
2
0
b l  при любых значениях a и b, 
то  a
b
b
−



 +
1
2
3
4
2
2
0
l  при любых значениях a и b.
Следовательно,  a
ab b
2
2
0
−
+
l  при любых значениях a и b. 
◄

§ 1.  НераВеНстВа
8
1.  В каком случае считают, что число 
a
 больше числа 
b
?
2.  В каком случае считают, что число 
a
 меньше числа 
b
?
3.  Как расположена на координатной прямой точка, изображающая чис-
ло 
a
, относительно точки, изображающей число 
b
, если 
a
 > 
b
?
4. Какой символ используют для высказывания «не больше» и как этот 
символ читают?
5.  Какой символ используют для высказывания «не меньше» и как этот 
символ читают?
6.  В каком случае верно неравенство 
a b
m ?
7.  В каком случае верно неравенство 
a b
l ?
8.  Поясните, какие знаки называют знаками строгого, а какие — нестро-
гого неравенства.
Упражнения
1.1.°
 Сравните числа a и b, если:
1) a – b = 0,4; 
2) a – b = –3; 
3) a – b = 0.
1.2.°
  Известно,  что  m < n.  Может  ли  разность  m – n  быть  равной 
числу:
1) 4,6; 
2) –5,2; 
3) 0?
1.3.°
 Какое из чисел, x или y, больше, если:
1) x – y = –8; 
2) y – x = 10?
1.4.°
 Как расположена на координатной прямой точка A (a) отно-
сительно точки B (b), если:
1) a – b = 2; 
3) a – b = 0;
2) a – b = –6; 
4) 
b a
− = 2?
1.5.°
 Могут ли одновременно выполняться неравенства:
1) a > b и a < b; 
2)  a b
l  и  a b
m ?
1.6.° Сравните значения выражений (a – 2)
2
 и a (a – 4) при значении a, 
равном: 1) 6; 2) –3; 3) 2. Можно ли по результатам выполнен-
ных сравнений утверждать, что при любом значении a значение 
первого выражения больше соответствующего значения второго 
выражения?  Докажите,  что  при  любом  значении  a  значение 
первого выражения больше соответствующего значения второго 
выражения.
1.7.°
 Сравните значения выражений 4 (b + 1) и b – 2 при значении b, 
равном: 1) –1; 2) 0; 3) 3. Можно ли утверждать, что при любом 
значении b значение выражения 4 (b + 1) больше соответствую-
щего значения выражения b – 2?

1.  Числовые неравенства
9
1.8.°  Докажите,  что  при  любом  значении  переменной  верно  не-
равенство:
1) (a + 3) (a + 1) > a (a + 4); 
5)  (
) (
)
;
y
y
y
+
−
−
5
2
3
10
l
2) 3 (b – 4) + 2b < 5b – 10; 
6)  8
6
1
3
1
2
2
m
m
m
−
+
−
m (
) ;
3) (c – 4) (c + 4) > c
2
 – 20; 
7)  a a
(
)
;
−
−
2
1
l
4) x (x + 6) – x
2
 < 2 (3x + 1); 
8) (b + 7)
2
 > 14b + 40.
1.9.°
  Докажите,  что  при  любом  значении  переменной  верно  не-
равенство:
1) (p – 3) (p + 4) < p (p + 1); 
4) y (y + 8) < (y + 4)
2
;
2) (x + 1)
2
 > x (x + 2); 
5)  (
)
;
2
5
6
20
25
2
2
a
a
a
−
−
+
m
3) (a – 5) (a + 2) > (a + 5) (a – 8); 
6)  a
a
2
4 4
+ l .
1.10.
•
 Верно ли утверждение:
1) если a > b, то 
a
b
> 1;  
4) если 
a
b
> 1,  то a > b;
2) если a > 1, то 
2
2
a
< ; 
5) если a
2
 > 1, то a > 1?
3) если a < 1, то 
2
2
a
> ;
1.11.
•
 Докажите неравенство:
1) 2a
2
 – 8a + 16 > 0; 
2) 4b
2
 + 4b + 3 > 0; 
3)  a
ab b
2
2
0
+
+
l ; 
4) (3a + 2) (2a – 4) – (2a – 5)
2
 > 3 (4a – 12);
5) a (a – 3) > 5 (a – 4);
6)  (
) (
) (
) (
)
.
a b a
b
a b a
b
ab
−
+
+
+
+
5
2
4
m
1.12.
•
 Докажите неравенство:
1)  28
32 7
4
2
a
a
−
−
m
;  
2)  9
6
4
0
2
2
x
xy
y
−
+
l ;  
3) 3 (b – 1) < b (b + 1);
4) (4p – 1) (p + 1) – (p – 3) (p + 3) > 3 (p
2
 + p).
1.13.
•
 Докажите, что:
1)  a
a
a
3
2
6
6 0
−
+ − l ,  если  a l 6;
2) ab + 1 > a + b, если a > 1 и b > 1;
3) 
a
a
a
+
−
+
<
3
3
3
2
4
,  если a < –6.

§ 1.  НераВеНстВа
10
1.14.
•
 Докажите, что:
1)  ab b a
a
b
(
)
,
−
−
m
3
3
 если  a b
l ;
2) 
a
a
−
−
−
>
1
2
2
3
1
2
,  если a > 2.
1.15.
•
 Сравните сумму квадратов двух произвольных действитель-
ных чисел и их удвоенное произведение.
1.16.
•
 Даны три последовательных натуральных числа. Сравните:
1)  квадрат среднего из этих чисел и произведение двух других;
2)  удвоенный квадрат среднего из этих чисел и сумму квадратов 
двух других.
1.17.
•
 Сравните сумму квадратов двух положительных чисел и ква-
драт их суммы.
1.18.
•
 Как изменится — увеличится или уменьшится — правильная 
дробь 
a
b
,  где a > 0, b > 0, если ее числитель и знаменатель уве-
личить на одно и то же число?
1.19.
•
 Как изменится — увеличится или уменьшится — неправиль-
ная дробь 
a
b
,  где a > 0, b > 0, если ее числитель и знаменатель 
увеличить на одно и то же число?
1.20.
•
 Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных поло-
жительных чисел не меньше, чем 2.
1.21.
•
 Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрица-
тельных чисел не больше, чем –2.
1.22.
•
 Верно ли данное неравенство при любых значениях a и b:
1) 
a
b
a
2
2
2
1
1
−
+
> ; 
2) 
a
b
b
2
2
2
1
1
−
+
> − ?
1.23.
•
  Докажите,  что  при  всех  значениях  переменной  верно  не-
равенство:
1) 
a
a
2
4
1
1
2
+
m ;  
2) 
(
)
.
5
1
5
2
4
a
a
+
l
1.24.
•
 Докажите, что если a < b, то  a
b
a b
<
<
+
2
.
1.25.
••
 
Докажите, что если a < b < c, то  a
c
a b c
<
<
+ +
3
.
1.26.
••
 Верно ли неравенство 
a
a
2
2
4
2
3
+
+
l
 при всех значениях a?

1.  Числовые неравенства
11
1.27.
••
 
Докажите, что при всех значениях переменной верно нера-
венство 
a
a
2
2
2
1
2
+
+
l .
1.28.
••
 Докажите неравенство:
1)  a
b
a
b
2
2
6
4
13 0
+
+
−
+
l ;
2) x
2
 – 2x + y
2
 + 10y + 28 > 0;
3)  2
6
9
6
9 0
2
2
m
mn
n
m
−
+
−
+ l ;
4)  a
b
c
a b c
2
2
2
12 4
+
+
+
+ +
l (
);
5)  a b
a
b
ab
2 2
2
2
1 4
+
+
+ l
.
1.29.
••
 
Докажите неравенство:
1) a
2
 + b
2
 – 16a + 14b + 114 > 0; 
3)  c
d
cd
d
2
2
5
4
4
4 0
+
+
−
+ l .
2)  x
y
x
y
2
2
10 6
2
+
+
−
l
;
Упражнения Для пОвтОрения
1.30. Известно, что a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. Сравните с нулем значе-
ние выражения:
1) bc; 
3) 
a
b
;  
5) 
ac
d
;  
7) abcd;
2) cd; 
4) 
ab
c
;  
6) 
a
bc
;  
8) 
b
acd
.
1.31. Что можно сказать о знаках чисел a и b, если:
1) ab > 0; 
3) 
a
b
> 0;  
5) a
2
b > 0;
2) ab < 0; 
4) 
a
b
< 0;  
6) a
2
b < 0?
1.32.  Поясните,  почему  при  любых  действительных  значениях 
переменной (или переменных) верно неравенство:
1)  a
2
0
l ;  
5)  a
b
2
2
0
+
l ;
2) a
2
 + 1 > 0; 
6) a
2
 + b
2
 + 2 > 0;
3)  (
)
;
a
+ 1
0
2
l
 
7)  (
)
(
)
;
a
b
−
+ +
2
1
0
2
2
l
4)  a
a
2
4
4 0
−
+ l ;  
8) 
a
2
3
0
+ > .
1.33. Сравните с нулем значение выражения, где a — произвольное 
число:
1) 4 + a
2
; 
4) –4 – (a – 4)
2
;
2) (4 – a)
2
; 
5) (–4)
8
 + (a – 8)
4
;
3) –4 – a
2
; 
6) (4 – a)
2
 + (4a – 1000)
2
.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: