Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

2.  Основные свойства  числовых неравенств
15
3)  обе  части  неравенства  7 > –2  умножим  на  число  5;  на  чис- 
ло –1;
4)  обе части неравенства 12 < 18 разделим на число 6; на чис- 
ло –2.
2.4.°
 Известно, что a > b. Запишите неравенство, которое получим, 
если:
1)  к обеим частям данного неравенства прибавим число 8;
2)  из обеих частей данного неравенства вычтем число –6;
3)  обе части данного неравенства умножим на число 12;
4)  обе части данного неравенства умножим на число 
−
1
3
;
5)  обе части данного неравенства разделим на число 
2
7
;
6)  обе части данного неравенства разделим на число –4.
2.5.
•
 Известно, что b > a, c < a и d > b. Сравните числа:
1) a и d; 
2) b и c.
2.6.
•
 Расположите в порядке возрастания числа a, b, c и 0, если 
a > b, 0 < b и 0 > c.
2.7.
•
 Известно, что a > 4. Сравните с нулем значение выражения:
1) a – 3; 
4) 
(
) (
)
;
a
a
a
−
−
−
4
2
3
2) 2 – a; 
5) (1 – a)
2
 (4 – a).
3) (a – 3) (a – 2); 
2.8.
•
 Известно, что –2 < b < 1. Сравните с нулем значение выражения:
1) b + 2; 
4) (b – 1) (b – 3);
2) 1 – b; 
5) (b + 2) (b – 4)
2
;
3) b – 2; 
6) (b – 3) (b + 3) (b – 2)
2
. 
2.9.
•
 Дано: a > b. Сравните:
1) a + 9 и b + 9; 
5) –40b и –40a;
2) b – 6 и a – 6; 
6) 
a
20
 и 
b
20
;
3) 1,8a и 1,8b; 
7) 2a – 3 и 2b – 3;
4) –a и –b; 
8) 5 – 8a и 5 – 8b.
2.10.
•
 Известно, что 1
2
m m
< . Какие из неравенств верны:
1) 
−
− < −
1
2
m m
;  
3) 
−
− > −
1
2
l m
;
2) 
− < −
−
2
1
m m
;  
4) 
− > −
−
2
1
m l
?

§ 1.  НераВеНстВа
16
2.11.
•
 Дано: –3a > –3b. Сравните:
1) a и b; 
4) 
−
5
9
b  и 
−
5
9
a;
2) 
2
7
a  и 
2
7
b;  
5) 3a + 2 и 3b + 2;
3) b – 4 и a – 4; 
6) –5a + 10 и –5b + 10.
2.12.
•
 Известно, что a > b. Расположите в порядке убывания числа 
a + 7, b – 3, a + 4, b – 2, b.
2.13.
•
 Дано: a < b. Сравните:
1) a – 5 и b; 
2) a и b + 6; 
3) a + 3 и b – 2.
2.14.
•
 Сравните числа a и b, если известно, что:
1) a > c и c > b + 3; 
2) a > c и c – 1 > b + d
2
,
где c и d — некоторые числа.
2.15.
•
 Сравните числа a и 0, если:
1) 7a < 8a; 
3) –6a > –8a;
2) 
a
a
2
3
< ;  
4) –0,02a > –0,2a.
2.16.
•
 Дано: a > –2. Докажите, что:
1) 7a + 10 > –4; 
2) –6a – 3 < 10.
2.17.
•
 Дано:  b m10.  Докажите, что:
1)  5
9 41
b
− m ; 
2) 1 – 2b > –21.
2.18.
•
 Верно ли утверждение:
1)  если a > b, то a > –b;
2) если a > b, то 2a > b;
3) если a > b, то 2a + 1 > 2b;
4) если a > b + 2 и b – 3 > 4, то a > 9;
5) если a > b, то ab > b
2
;
6) поскольку 5 > 3, то 5a
2
 > 3a
2
;
7) поскольку 5 > 3, то 5 (a
2
 + 1) > 3 (a
2
 + 1)?
2.19.
••
 Запишите неравенство, которое получим, если:
1) обе части верного неравенства a > 2 умножим на a;
2) обе части верного неравенства b < –1 умножим на b;
3) обе части верного неравенства m < –3 умножим на –m;
4) обе части верного неравенства c > –4 умножим на c.
2.20.
••
 
Запишите неравенство, которое получим, если:
1) обе части верного неравенства a < –a
2
 разделим на a;
2) обе части верного неравенства a > 2a
2
 разделим на a;
3) обе части верного неравенства a
3
 > a
2
 разделим на –a.

3.  сложение и умножение  числовых неравенств
17
Упражнения Для пОвтОрения
2.21.  Известно,  что  a
2
 + b
2
 = 18  и  (a + b)
2
 = 20.  Чему  равно  значение 
выражения ab?
2.22. У Дмитрия в 2 раза больше марок, чем у Надежды, а у На-
дежды — в  2  раза  больше  марок,  чем  у  Михаила.  Какому  из 
данных чисел может быть равно количество марок, имеющихся 
у Дмитрия?
1) 18; 
2) 22; 
3) 24; 
4) 30.
2.23. Упростите выражение:
1) 
a
b
a
ab
b
a b
2
2
2
2
2
+
+
+
+
;  
3) 
c
c
c
c
+
−
1
3
1
6
2
2
:
;
2) 
a
a
a
a
2
2
9
9
3
+
−
+
−
;  
4) 
m
mn n
m
n
m n
2
2
2
2
2
+
+
−
+
: (
).
2.24. Моторная лодка за одно и то же время может проплыть 48 км 
по течению реки или 36 км против течения. Какова собственная 
скорость лодки, если скорость течения составляет 2 км/ч?
  3.
  сложение и умножение 
числовых неравенств.  
Оценивание значения выражения
Рассмотрим примеры.
1) Если с одного поля собрали не менее 40 т пшеницы, а с дру-
гого поля — не менее 45 т, то очевидно, что с двух полей вместе 
собрали не менее 85 т пшеницы.
2) Если длина прямоугольника не больше чем 70 см, а шири-
на — не больше чем 40 см, то очевидно, что его площадь не больше 
чем 2800 см
2
.
Выводы из этих примеров интуитивно очевидны. Их справед-
ливость подтверждают следующие теоремы.
Теорема 3.1 (о почленном сложении неравенств).
 Если 
a > b и c > d, то a + c > b + d.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность (a + c) – (b + d). Имеем:
(a + c) – (b + d) = a + c – b – d = (a – b) + (c – d).
Поскольку a > b и c > d, то разности a – b и c – d являются поло-
жительными числами. Следовательно, рассматриваемая разность 
является положительной, то есть a + c > b + d. 
◄

§ 1.  НераВеНстВа
18
Аналогично можно доказать такое свойство: 
если a < b и c < d, 
то a + c < b + d.
Неравенства a > b и c > d (или a < b и c < d) называют неравенства-
ми одного знака, а неравенства a > b и c < d (или a < b и c > d) — не-
равенствами противоположных знаков.
Говорят, что неравенство a + c > b + d получено из неравенств a > b 
и c > d путем почленного сложения.
Теорема  3.1  означает,  что 
при  почленном  сложении  верных 
неравенств  одного  знака  результатом  является  верное  нера-
венство того же знака.
Отметим, что теорема 3.1 справедлива и в случае почленного 
сложения трех и более неравенств. Например, если a
1
 > b
1
, a
2
 > b
2
 
и a
3
 > b
3
, то a
1
 + a
2
 + a
3
 > b
1
 + b
2
 + b
3
.
Т е о р е м а   3.2  (о  п о ч л е н н о м   у м н о ж е н и и   н е р а в е н с т в).
 
Если a > b, c > d и a, b, c, d — положительные числа, то ac > bd.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим разность ac – bd. Имеем:
ac – bd = ac – bc + bc – bd = c (a – b) + b (c – d).
По условию a – b > 0, c – d > 0, c > 0, b > 0. Следовательно, рассма-
триваемая  разность  является  положительной.  Из  этого  следует, 
что ac > bd. 
◄
Аналогично можно доказать свойство: 
если a < b, c < d и a, b, c, 
d — положительные числа, то ac < bd.
Говорят,  что  неравенство  ac > bd  получено  из  неравенств  a > b 
и c > d путем почленного умножения.
Теорема 3.2 означает, что 
при почленном умножении верных 
неравенств одного знака, у которых левые и правые части — по-
ложительные числа, результатом является верное неравенство 
того же знака.
Обратим внимание: если из формулировки теоремы 3.2 убрать 
требование,  чтобы  a,  b,  c,  d  были  положительными  числами,  то 
из неравенств a > b и c > d может не следовать неравенство ac > bd. 
Действительно, рассмотрим два верных неравенства –2 > –3 и 4 > 1. 
Умножив почленно эти неравенства, получим неверное неравенство 
–8 > –3.
Заметим,  что  теорема  3.2  справедлива  и  в  случае  почленного 
умножения  трех  и  более  неравенств.  Например,  если  a
1
,  a
2
,  a
3
, 
b
1
, b
2
, b
3
 — положительные числа, причем a
1
 > b
1
, a
2
 > b
2
, a
3
 > b
3
, то 
a
1
a
2
a
3
 > b
1
b
2
b
3
.
С л е д с т в и е.
  Если  a > b  и  a,  b — положительные  числа,  то 
a
n
 > b
n
, где n — натуральное число.

3.  сложение и умножение  числовых неравенств
19
Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем n верных неравенств a > b:
a b
a b
a b
>
>
>






...
 n неравенств
Поскольку a и b — положительные числа, то можем перемно-
жить почленно n записанных неравенств. Получим: 
a
b
n
n
> .
 
◄
Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справед-
ливы и в случае нестрогих неравенств:
если  a b
l  и  c d
l ,  то  a c b d
+
+
l
;
если a b
l ,  c d
l  и a, b, c, d — положительные числа, то ac bd
l
;
если  a b
l   и  a,  b — положительные  числа,  то  a
b
n
n
l
,   где 
n — натуральное число.
Вы знаете, что значения величин, полученные в результате из-
мерений, не являются точными. Измерительные приборы позволяют 
лишь установить, между какими числами находится точное значе-
ние величины. Эти числа называют границами значения величины.
Пусть,  например,  в  результате  измерения  ширины  x  и  дли-
ны  y  прямоугольника  было  установлено,  что  2,5  см < x < 2,7  см 
и 4,1 см < y < 4,3 см. Тогда с помощью теоремы 3.2 можно оценить 
площадь прямоугольника. Имеем:
×
2,5 см < x < 2,7 см
4,1 см < y < 4,3 см
10,25 см
2
 < xy < 11,61 см
2
.
Вообще, если известны значения границ величин, то, используя 
свойства числовых неравенств, можно найти границы значения вы-
ражения, содержащего эти величины, то есть оценить его значение.
П р и м е р     1   
  Дано:  6 < a < 8  и  10 < b < 12.  Оцените  значение  вы-
ражения:
1) a + b;      2) a – b;      3) ab;      4) 
a
b
;       5)  3
1
2
a
b
−
.
Р е ш е н и е. 1) Применив теорему о почленном сложении нера-
венств, получим:
+
6 < a < 8
10 < b < 12
16 < a + b < 20.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: