Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

13.  системы уравнений  с двумя переменными
127
12.49. Решите графически систему уравнений:
1) 
x
y
y x
−
=
− = −



2
1
2
,
;
 
2) 
x y
x y
+ = −
− = −



5
4
5
,
.
12.50. Решите систему уравнений:
1) 
2
10
4
7
2
x y
x
y
+ =
−
=



,
;
 
3) 
2
9
11
7
9
25
x
y
x
y
−
=
+
=



,
;
2) 
4
11
5
2
17
y x
x
y
− =
−
=



,
;
 
4) 
3
2
1
12
7
26
x
y
x
y
−
=
+
= −



,
.
  13.
  системы уравнений 
с двумя переменными
В 7 классе вы ознакомились с графическим методом решения 
систем уравнений. Напомним, что его суть заключается в поиске 
координат общих точек графиков уравнений, входящих в систе-
му.  На  уроках  геометрии  вы  узнали,  что  графиком  уравнения 
(x – a)
2
 + (y – b)
2
 = R
2
,  где  R > 0,  является  окружность  радиуса  R  c 
центром (a; b). Вы также научились строить график квадратичной 
функции.  Всё  это  расширяет  возможности  применения  графиче-
ского метода для решения систем уравнений.
П р и м е р    1   
 Решите графически систему уравнений
x
x y
y x
2
4
3 0
1 0
−
− + =
− + =



,
.
Р е ш е н и е.  Первое  уравнение  системы  равносильно  такому: 
y = x
2
 – 4x + 3. Его графиком является па-
рабола, изображенная на рисунке 13.1.
Графиком второго уравнения являет-
ся прямая, которая пересекает постро-
енную  параболу  в  двух  точках:  (1;  0) 
и (4; 3) (см. рис. 13.1).
Как  известно,  графический  метод 
не  гарантирует  того,  что  полученный 
результат  является  точным.  Поэтому 
найденные решения следует проверить. 
Проверка подтверждает, что пары чисел 
(1; 0) и (4; 3) действительно являются 
решениями данной системы.
О т в е т: (1; 0), (4; 3). 
◄
0
x
y
1
1
3 4
Рис. 13.1

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
128
Заметим, что эта система является «удобной» для графического 
метода:  координаты  точек  пересечения  графиков  оказались  це-
лыми числами. Понятно, что такая ситуация встречается далеко 
не  всегда.  Поэтому  графический  метод  эффективен  тогда,  когда 
нужно определить количество решений или достаточно найти их 
приближенные значения.
Рассмотренную  систему  можно  решить,  не  обращаясь  к  гра-
фикам уравнений. Готовясь к изучению этой темы, вы повторили 
метод подстановки для решения систем линейных уравнений. Этот 
метод эффективен и для решения более сложных систем, в кото-
рых только одно уравнение является линейным, и для некоторых 
систем, в которых вообще нет линейных уравнений.
Решим систему 
x
x y
y x
2
4
3 0
1 0
−
− + =
− + =



,
 методом подстановки.
Выразим переменную y через переменную x во втором уравне-
нии системы:
y = x – 1.
Подставим в первое уравнение вместо y выражение x – 1:
x
2
 – 4x – (x – 1) + 3 = 0.
Получили уравнение с одной переменной. Упростив его, получим 
квадратное уравнение x
2
 – 5x + 4 = 0.
Отсюда x
1
 = 1, x
2
 = 4.
Значения y, которые соответствуют полученным значениям x, 
найдем из уравнения y = x – 1. Имеем:
y
1
 = 1 – 1 = 0, y
2
 = 4 – 1 = 3.
Следовательно, мы еще раз установили, что пары чисел (1; 0) и 
(4; 3) являются решениями рассматриваемой системы уравнений.
П р и м е р   2  
 Определите количество решений системы уравнений
 
x
y
xy
2
2
9
7
2
+
=
=




,
.
Р е ш е н и е.  Графиком  первого  уравнения  системы  является 
окружность радиуса 3 с центром (0; 0).
Второе уравнение равносильно такому:  y
x
=
3 5
,
.  Графиком этого 
уравнения является гипербола.
Изобразим  окружность  и  гиперболу  на  одной  координатной 
плоскости (рис. 13.2). Видим, что графики пересекаются в четырех

13.  системы уравнений  с двумя переменными
129
точках. Следовательно, данная система 
имеет четыре решения. 
◄
Рисунок 13.2 также позволяет най-
ти  приближенные  значения  решений 
данной системы.
Не обращаясь к графическому ме-
тоду,  можно  найти  точные  значения 
решений этой системы.
Готовясь  к  изучению  этой  темы, 
вы  повторили  метод  сложения  для 
решения систем линейных уравнений. 
Покажем,  как  этот  метод  «работает» 
и при решении более сложных систем.
Умножим  второе  уравнение  рассматриваемой  системы  на  2. 
Получим:
x
y
xy
2
2
9
2
7
+
=
=



,
.
Сложим почленно левые и правые части уравнений. Получаем: 
x
2
 + y
2
 + 2xy = 16. Отсюда (x + y)
2
 = 16; x + y = 4  или x + y = –4.
Ясно, что для решения данной системы достаточно решить две 
более простые системы.
1) 
x y
xy
+ =
=



4
2
7
,
.
 Отсюда 
y
x
x
x
= −
−
=



4
2
4
7
,
(
)
;
 
y
x
x
x
= −
−
+ =



4
2
8
7
0
2
,
.
Решая второе уравнение этой системы, получаем:
x
1
 = 
4
2
2
−
,  x
2
 = 
4
2
2
+
.  Тогда y
1
 = 
4
2
2
+
,  y
2
 = 
4
2
2
−
.
2) 
x y
xy
+ = −
=



4
2
7
,
.
 Отсюда 
y
x
x
x
= − −
− −
=



4
2
4
7
,
(
)
;
 
y
x
x
x
= − −
+
+ =



4
2
8
7
0
2
,
.
Решая второе уравнение этой системы, получаем:
x
3
4
2
2
=
− −
,   x
4
4
2
2
=
− +
.  Тогда  y
3
4
2
2
=
− +
,   y
4
4
2
2
=
− −
.
О т в е т: 
4
2
2
4
2
2
−
+




;
, 
4
2
2
4
2
2
+
−




;
, 
− −
− +




4
2
2
4
2
2
;
,  
− +
− −




4
2
2
4
2
2
;
.  
◄
Очевидно, что найти такие решения графическим способом не-
возможно.
0
x
y
3
1
1
Рис. 13.2

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
130
В 8 классе вы ознакомились с методом замены переменных при 
решении уравнений. Этот метод применяют и для решения целого 
ряда систем уравнений.
П р и м е р    3   
 Решите систему уравнений 
x y
x y
x y
x y
x
y
+
−
−
+
+
=
+
=




5
2
2
2
10
,
.
Р е ш е н и е. Пусть 
x y
x y
t
+
−
= .  Тогда 
x y
x y
t
−
+
=
1
.
Теперь первое уравнение системы можно записать так:
t
t
+ =
1
5
2
.
Отсюда 2t
2
 – 5t + 2 = 0; t
1
 = 2,  t
2
1
2
= .
Для решения исходной системы достаточно решить две более 
простые системы.
1) 
x y
x y
x
y
+
−
=
+
=




2
10
2
2
,
.
 Отсюда 
x y
x
y
x
y
+ =
−
+
=



2
2
10
2
2
,
;
 
x
y
y
=
=



3
10
10
2
,
.
Из второго уравнения получаем: y
1
 = 1, y
2
 = –1. Тогда x
1
 = 3, x
2
 = –3.
2) 
x y
x y
x
y
+
−
=
+
=




1
2
2
2
10
,
.
 Отсюда 
2
2
10
2
2
x
y
x y
x
y
+
= −
+
=



,
;
 
x
y
y
= −
=



3
10
10
2
,
.
Из второго уравнения получаем: y
3
 = 1, y
4
 = –1. Тогда x
3
 = –3, x
4
 = 3.
О т в е т: (3; 1), (–3; –1), (–3; 1), (3; –1). 
◄
П р и м е р    4   
 Решите систему уравнений 
2
2
8
3
3
14
2
2
x
y xy
x
y
x
y
+
+
=
+
+
+
=



,
.
Р е ш е н и е.  Заметим,  что  данная  система  не  изменится,  если 
заменить x на y, а y на x. В таких случаях может оказаться эф-
фективной замена x + y = u, xy = v.
Перепишем данную систему так:
2
8
2
3
14
2
(
)
,
(
)
(
)
.
x y
xy
x y
xy
x y
+
+
=
+
−
+
+
=



Выполним указанную замену. Получим систему:
2
8
2
3
14
2
u
u
u
+ =
−
+
=



v
v
,
.

13.  системы уравнений  с двумя переменными
131
Ее можно решить методом подстановки (сделайте это самостоя-
тельно). Получаем:
u
=
=



3
2
,
v
  или  
u
= −
=



10
28
,
.
v
Остается решить две системы:
 
x y
xy
+ =
=



3
2
,
  и  
x y
xy
+ = −
=



10
28
,
.
Каждую  из  них  можно  решить  методом  подстановки.  Однако 
здесь удобнее воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета. 
Так,  для  системы 
x y
xy
+ =
=



3
2
,
  можно  считать,  что  x  и  y — корни 
квадратного  уравнения  t
2
 – 3t + 2 = 0.  Отсюда  t
1
 = 1,  t
2
 = 2.  Следова-
тельно,  пары  чисел  (1; 2) и (2; 1)  являются  решениями  этой  
системы.
Используя теорему, обратную теореме Виета, легко убедиться 
(сделайте это самостоятельно), что система 
x y
xy
+ = −
=



10
28
,
 решений 
не имеет.
О т в е т: (1; 2), (2; 1). 
◄
1.  Какие методы решения систем уравнений вы знаете?
2.  Поясните суть графического метода решения систем уравнений.
3.  В каких случаях графический метод является наиболее эффективным?
Упражнения
13.1.° Решите графически систему уравнений:
1) 
x y
xy
+ =
=



5
6
,
;
 
3) 
x
y
x y
2
2
4
2
+
=
+ =



,
;
2) 
y x
y
x
+
=
= −



2
3
1
,
;
 
4) 
x
y
xy
2
2
25
12
+
=
= −



,
.
13.2.°
 Решите графически систему уравнений:
1) 
y
x
xy
= +
=



2
8
,
;
 
2) 
y
x
x y
=
−
+ = −



2
4
2
1
,
;
 
3) 
x y
x
y
+ =
+
=



3
9
2
2
,
.

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: