1. Интегралдық таралу функциясы

Интеграл математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан – туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан – аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды.

Таралу функциясы Х кездейсоқ шамасының сан осінде х-тің сол жағында жататын мәндерді қабылдайтын ықтималдықты анықтайтын функциясын таралу функциясы деп атайды, яғни

F ( x) p ( X x)

Кейде “Таралу функциясы”(терминінің) орнына “Интегралдық функция” деген термин де қолданылады. Таралу функциясының қасиеттері таралу функциясының мәндері [0; 1] аралығында жатады; F(x)-кемімейтін функция, егер х2>x1 болса, онда , теңсіздігі орындалады.

Салдар 1: Х кездейсоқ шамасы (a,в) аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығы таралу функциясының осы аралықтағы өсімшесіне тең.

Салдар 2: Үздіксіз Х кездейсоқ шамасының анықталған бір ғана мәнге ие болу ықтималдығы 0-ге тең.

Салдар 3: Егер кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері (а; в) аралығында жатса, онда

F ( x) 0, егер x a ;

Таралу функциясының графигі у=0, у=1(1-ші қасиеті) түзүлерімен шектелген жолақта орналасқан. X (a; b) интервалында өскенде, кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің графигі ‘’жоғары көтеріледі’’.

Биномиалдық таралу

N тәуелсіз сынақ жүргізілсін, әрбір сынақ нәтижесінде А оқиғасы пайда болуы мүмкін немесе пайда болмауы мүмкін. Әрбір тәжірбиеде оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты және р-ға тең (сәйкесінше оқиғаның пайда болмау ықтималдығы q=1-p) .

Х дискретті кездейсоқ шамасын А оқиғасының осы жүргізілген сынақтағы саны деп қарастыралық.

Х шамасының таралу заңын табайық.

А оқиғасы пайда болмауы мүмкін немесе 1 рет, 2 рет,…, немесе n рет пайда болуы мүмкін. Яғни х-тің мүмкін мәндері мынандай: х1=0, х2=1, х3=2,…, хn+1= n. Осы мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарын табу үшін Бернулли формуласын қолданамыз: (*) Мұнда к=0, 1, 2,…, n.

Пуассон таралуы:

Егер n тым үлкен болса, онда Лапластың асимптоталық формуласы қолданылады. Егер оқиға ықтималдығы (р≤0.1) болса, онда Бернулли формуласы жарамсыз. Осы жағдайларда (n тым үлкен, р аз) Пуассонның асимптоталық формуласы қолданылады.

Мынандай есеп қоямыз: оқиға ықтималдығы өте аз, сынақтың саны өте үлкен болған жағдайда оқиғаның к рет пайда болу ықтималдығын табу керек.

Nр көбейтіндісі тұрақты шама деп қарастырамыз, яғни np=λ . Әртүрлі сынақта оқиғаның пайда болу ықтималдығы, n-нің әртүрлі мәндерінде өзгеріссіз қалады. Осылайша

Бұл формула (n үлкен) және (р аз) сирек оқиғалар үшін Пуассонның таралу заңы деп аталады.

2.Дифференциалдық таралу функциясы.

Дифференциалдық және айырымдық теңдеулер қазіргі заманғы Макроэкономика кеңінен қолдану. Мысалы, макроэкономика неоклассикалық теориясының деп аталатын негізгі бақылау пайдаланылады экономикалық өсу.

Дифференциалдық теңдеулер, сондай-ақ биология, химия, автоматтандыру және басқа да арнайы пәндер бойынша пайдаланылады. көрсеткіш өсіп халық өсімін қараған кезде пайдаланылады функциясы, графигін көрсетеді. Бұл нысан бақылау арқылы қол жеткізуге болады. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер, бір тәуелсіз дәлел X Қажетті функциясы Y арасындағы тәуелсіз айнымалы X және белгілі бір тәртіппен белгісіз функцияның туынды ең нетождественные арақатынасы деп аталады. көп оның осы мақаладағы дифференциалдық теңдеулер көптеген түрлері бар. Егер сізде сызықтық дифференциалдық теңдеудің екі немесе одан да көп шешімдері болса, онда тұрақтыға көбейтілген әрбір шешім шешім болады және олардың қосындысы да солай болады.

Сызықтық толқындар әрқашан сызықтық типтегі дифференциалдық теңдеуді байланыстырды, оның шешімі кеңістіктегі бастапқы сәтте орналасқан алғашқы бұзылыстың кейінгі инстанцияларында қандай бұзылыстың болатынын болжайды.

3.Ықтималдық тығыздығы.

Ықтималдықтар тығыздығы , кездейсоқ шамасының – а мен b-ның кез келген мәнінде аb теңсіздігінің ықтималдығы тең болатын р(х) функциясы. Мысалы, егер Х кездейсоқ шамасының қалыпты үлестірілуі бар болса, онда болады. Егер р(х) функциясының ықтималдықтар тығыздығы үздіксіз болса, онда dx-тің жеткілікті кіші мәндерінде х+dx теңсіздігінің ықтималдығы шамамен р(х)dx-ке тең. Жылы ықтималдықтар теориясы, а ықтималдық тығыздығы функциясы (PDF), немесе тығыздық а үздіксіз кездейсоқ шама, Бұл функциясы кез келген берілген үлгідегі (немесе нүктедегі) мәні үлгі кеңістігі (кездейсоқ шаманың қабылдаған мүмкін мәндерінің жиынтығы) a деп түсіндіруге болады салыстырмалы ықтималдығы кездейсоқ шаманың мәні осы таңдамаға тең болатындығы. Басқаша айтқанда абсолютті ықтималдығы үздіксіз кездейсоқ шаманың кез-келген нақты мәнді қабылдауы үшін 0-ге тең (өйткені бастау үшін шексіз мәндер жиынтығы бар), кездейсоқтықтың кез-келген нақты сызбасында екі түрлі үлгідегі PDF мәнін шығаруға болады айнымалы, кездейсоқ шаманың басқа таңдамамен салыстырғанда бір таңдамаға тең келуі қаншалықты ықтимал.

4.Дискретті кездейсоқ шама.

Дискрет кездейсоқ шама - әр мәнінің пайда болу ықтималдылығы көрсетілген дискрет шама.

Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім функциясының графигі үзілісті сатылы сынық сызық үлестірім функциясының барлық секірмелерінің соммасы 1 тең. Дискретті деп мәндердің соңғы немесе шексіз саналымды жиынын қабылдайтын кездейсоқ шама аталады. Мысалы, үйіндіге автосамосвал рейстерінің саны, берілген учаскеде пайдалы қазбаны кездестірген ұңғымалардың саны және т.б.

Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі.

Анықтама: Х кездейсоқ шамасының қабылдай алатын барлық мүмкін мәндерімен оның сәйкес ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысы дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі деп аталады.

Айталық, Х кездейсоқ шамасы х1, х2,…, хn мәндерін қабылдай алатын болсын, олардың сәйкес ықтималдықтары р1, р2,…,рn тең болсын. Онда Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімі былай анықталады:

М(х)=х1р1+х2р2+…+хnрn.

Егер Х дискретті кездейсоқ шамасы санаулы жиынның мүмкін мәндерін қабылдаса, онда

Дискретті (үздікті) кездейсоқ шама деп белгілі ықтималдықтары бар жеке, дербес мәндерді қабылдай алатын шаманы айтамыз.

Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны ақырлы немесе ақырсыз болуы мүмкін.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы деп оның қабылдай алатын мүмкін мәндері шаманың мен ықтималдықтарының арасындағы сәйкестікті айтамыз.

Оны кестелік түрде, аналитикалық (формула түрінде) және графиктік түрде беруге болады.

Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін болатын мәндері және олардың ықтималдықтарының арасындағы сәйкестік берілген кездейсоқ шаманың таралу заңдылығы деп аталады.

5.Қалыпты таралу тығыздығының функциясы.

Қалыпты таралу заңы

Таралуы қалыпты таралу деп аталады, үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы формуласымен сипатталсын.

Қалыпты таралу 2 параметр бойынша анықталады: және σ. Қалыпты таралуды беру үшін осы параметрлерді білу жеткілікті. Бұл параметрлер:

- математикалық күтім, σ- қалыпты таралудың орта квадраттық ауытқуы. Қалыпты таралудың математикалық күтімі a- параметріне тең:

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдықтарының таралу тығыздығы

Анықтама: Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы F(x)-тің туындысы бар болса, онда F(x) туындысын Х шамасының ықтималдықтар таралу тығыздығы деп атайды және оны былай белгілейді: Таралу тығыздығы үшін таралу функциясы алғашқы функция болып табылады.

Теорема: Х кездейсоқ шамасының (а,в) интервалындағы мәнге ие болу ықтималдығы шектері а-дан в-ға дейінгі алынған таралу тығыздығының анықталған интегралына тең.

6.Математикалық күтім.

Кездейсоқ шамалардың үлестірілім заңынан басқа оның сандық сипаттамалары, яғни орын сипаттамасы (математикалық күтім, мода, медиана және т.б) және шашырандылық сипаттамасы (дисперсия, ортаквадраттық ауытқу, үлестірілімнің біріншіден жоғарғы әртүрлі моменттері және т.б.) арқылы беріледі. Сандық сиптамалар кездейсоқ шамалардың мәндері маңына топтанатын кейбір орта мәнді немесе олардың орта мән маңындағы шашырандылық дәрежесін анықтайды. Орын сипаттамалары кездейсоқ шамалардың сандық остегі орнын сипаттайды.

Математикалық күтім қасиеттері:

А) тұрақты шаманың математикалық күтімі тұрақты шаманың өзіне тең.

Б) тұрақты көбейткішті математикалық күтім белгісінің сыртына шығаруға болады:

В) кездейсоқ шамалардың қосындысының математикалық күтімі сол шамалардың математикалылық күтімдерінің қосындысына тең:

Г) екі тәуелсіз кездейсоқ шамалардың көбейтіндісінің математикалық күтімі олардың математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең:

Д) математикалық күтім шамасы кездейсоқ шаманың ең кіші мәнінен кем емес және ең үлкен мәнінен көп емес.

Кездейсоқ шаманың квадратының математикалық күтімінен кездейсоқ шаманың математикалық күтімінің квадратының айырымы оның дисперсиясы болады.

7.Дисперсия.

Дисперсия - 1. Электромагниттік сәуле шығарудың дербес спектрлік құрамының қандай да бір уақыт ішінде шашырауы. Модалық дисперсия, материал дисперсиясы, сәулежол дисперсиясы деп ажыратылады.

2. Символдар арасындағы интерференция сурет пен оптикалық талшық арқылы өткенде импульстер ұзақтығының артуына байланысты пайда болатын эффект. Дисперсия оптикалық талшықтың еткізу жолагының шектелуіне әкеледі.

8.Орташа квадраттық қате.

Орташа квадраттық қателікті үшін қажетті, жекелей шығару бұл жағдайда тқмендегідей болады.

Орташа квадраттық қателікті және қарапайым арифметкалық ортаны алу үшін, салмақты теңестіру жеткілікті р1=p2=….=pn=1. Сонда қарапайым арифметикалық ортаны келесі формуламен табуға болады.