Дәріс №5 Параболаның канондық теңдеуі. Параболаның формасын зерттеу

  Дәріс № 5 

 

Параболаның канондық теңдеуі. Параболаның формасын зерттеу. 

 

Анықтама.  Фокус  деп  аталатын  берілген  нүктеден  және  директриса 

деп  аталатын  берілген  түзуден  ара  қашықтықтары  бірдей  болатын 

нүктелердің геометриялық орындарын парабола дейміз.  

 

 Параболаның жабайы теңдеуін қорытып шығару үшін жоғарғы 

анықтамаға сәйкес сызба сызайық. 

 

Берілген F нүктесінің координаталары былайша белгіленеді: 

 

 

                . Бұл нүкте парболаның фокусы деп аталады. Координаталардың бас 

нүктесінен  қашықтықтағы әрі ордината  

 

 

 

 

 

осіне параллель берілген (D) түзуін параболаның директрисасы дейміз. 

Параболаның бойындағы кез келген нүктені M (x, y) дейік.  

Анықтама бойынша: 

                     FM = ME   

 

 

Екі нүктенің ара қашықтығының формуласы бойынша: 

 

FM = 

 

 

 

Осы қашықтықтардың мәндерін (1) теңдігіне қойып, параболаның жабайы теңдеуін 

табамыз: 

 

мұндағы p-берілген фокус пен директрисаныңарасындағы қашықтық, параболаның 

параметрі; x пен y-параболаның бойындағы кез келген нүктенің ағымдық координаталары. 

MF=R параболаның радиус-векторы деп аталады.  

 

 

 

 

 

Оның ME=FM=           +x

 

 теңдігінен мынаған тең екенін көреміз:  

 

         R= 

 

 

Параболаның директрисасы 1-сызбадан анықталады: 

 

 

 

Параболаның эксцентриситеті: 

                                         

 

 

Параболаның түрін оның жабайы теңдеуі бойынша зерттеу. 

Параболаның түрін зерттеу үшін оның жабайы теңдеуін у арқылы шешейік: y =  

 

 

 

Осыдан параболаның бойында жататын нүктелерді белгілеп, параболаның 

координаталар системасында қалай орналасатындығын қарастырайық. 

1. 

Егер х-0, онда у-0. Демек, парабола координаталардың бас нүктесінен өтеді. 

2. 

Егер х-0, онда у-+- 2рх- жорымал сан. Сондықтан ордината осініңң сол жағында 

параболаның нақты нүктесі болмайды. 

3. 

Егер х –0, онда у-тің осыған сәйкес нақты мәндері болады. Х өскен сайын у-тің 

абсолют мәні де өсіп отырады. Х-тің әрбір мәніне у-тің әрқашанда екі мәні сәйкес келеді, яғни 

параболаның абсисса осіне қарағанда симметриялы екі нүктесі болады. Бұл зерттеуден 

мынадай қорытынды шығады: парабола- координаталардың бас нүктесінен өтіп, абсисса осіне 

симметриялы, шексізге дейін өсе беретін қисық сызық