Кривая Безье и метод де Кастельжо
жүктеу/скачать 353,79 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Постановка задачи
- Решение
Кривая Безье и метод де КастельжоВпервые кривые были представлены в 1962 году французским инженером Пьером Безье (Рено), который, разработав независимо от де Кастельжо (Ситроен), использовал их для компьютерного проектирования автомобильных кузовов. Кривые были названы именем Безье, а именем де Кастельжо назван разработанный им рекурсивный способ определения кривых. Впоследствии это открытие стало одним из полезных инструментов компьютерной графики. Четыре опорные точки P0 (start), P1(control1), P2(control2) и P3(finish), заданные в 2-мерном пространстве, определяют форму кривой. Методы класса Graphics DrawBezier( ) и DrawBeziers( ) позволяют непосредственно построить на плоскости 0xy любую кривую Безье. Однако иногда бывает полезно иметь и параметрическое представление кривой. Постановка задачиЗаданы 4 опорные точки кривой Безье. Требуется реализовать метод де Кастельжо для понимания способа построения кривой. Параметрически кривая Безье задается в виде: РешениеЛюбая точка x(t) на отрезке [x1, x2] параметрически задается уравнением: x(t) = (1-t) x1 + t x2 , (2) где t изменяется в интервале [0, 1]. Алгоритм: 1) Точки 0, 1, 2, 3 (нулевой уровень) по порядку соединяются отрезками: 0 → 1, 1 → 2, 2 → 3. Получаются три отрезка. 2) На отрезках берутся точки 0, 1, 2 (первый уровень), соответствующие текущему t по формуле (2), соединяются между собой. Получается два отрезка. 3) На этих отрезках берутся точки (0, 1) (второй уровень), соответствующие текущему t по формуле (2), соединяются. Получается один отрезок. 4) На отрезке берётся точка 0, соответствующая текущему t по формуле (2). 5) При запуске примера — она красная. Совокупность этих точек описывает кривую Безье. Для каждого t из интервала от 0 до 1 по этому правилу, соединяя точки на соответствующем расстоянии, из 4 отрезков делается 3, затем из 3 так же делается 2, затем из 2 отрезков – точка, описывающая кривую для данного значения t. Этот алгоритм рекурсивен, назовем метод для получения координат точек PointF CastR(p, t, n, m), где p — массив исходных точек, t — параметр, n — номер уровня (0, 1, 2, 3), m — номер точки на этом уровне. Тогда p[m] = CastR(p, t, 0, m) ], а CastR(p, t, 3, 0) — искомая точка на кривой Безье. Для нахождения промежуточной точки на отрезке создадим метод PointF Lin1(PointF, PointF, t). Исходная форма приложения представлена ниже: Добавим также невизуальный элемент timer1. Окно внизу слева (listBox1) будем использовать для вывода координат точек кривой Безье, а квадрат справа (pictureBox1) для вывода кривой Безье и иллюстрации метода де Кастельжо. Текст файла Form1.cs : using System; using System.Drawing; using System.Windows.Forms; namespace Безье1 { public partial class Form1 : Form { Point[] p = new Point[4]; // опорные точки Graphics g; // графический контент - холст double tim = 0.0; // параметр кривой [0,1] // точка на отрезке (р1,р2) от t PointF Lin1(PointF p1, PointF p2, double t) { PointF q = new PointF(); q.X = Convert.ToSingle(p2.X * t + p1.X * (1 - t)); q.Y = Convert.ToSingle(p2.Y * t + p1.Y * (1 - t)); return q; } // метод де Кастельжо (с рекурсией) PointF CastR(Point[] p, double t, int n, int m) { if (n == 0) return p[m]; else return Lin1(CastR(p, t, n - 1, m), CastR(p, t, n - 1, m + 1), t); } // конструктор класса public Form1() { InitializeComponent(); g = this.pictureBox1.CreateGraphics(); // холст // перенос опорных точек в массив p[0].X = Convert.ToInt32(textBox1.Text); p[0].Y = Convert.ToInt32(textBox2.Text); p[1].X = Convert.ToInt32(textBox3.Text); p[1].Y = Convert.ToInt32(textBox4.Text); p[2].X = Convert.ToInt32(textBox5.Text); p[2].Y = Convert.ToInt32(textBox6.Text); p[3].X = Convert.ToInt32(textBox7.Text); p[3].Y = Convert.ToInt32(textBox8.Text); timer1.Stop(); } private void button1_Click(object sender, EventArgs e) { // расчет точек кривой int N = Convert.ToInt32(textBox9.Text); //число double d = 1.0 / N; // шаг delta t double t = 0.0; // параметр t PointF q = new PointF(); // следующая точка PointF r = CastR(p, t, 3, 0); // начальная точка listBox1.Items.Clear(); // очистка списка для точек listBox1.Items.Add(r.X.ToString() + " " + r.Y.ToString()); Pen pen = new Pen(Color.Tomato, 9); // перо // вывод точек в список и рисование кривой for (int i = 0; i < N; i++) { t += d; q = CastR(p, t, 3, 0); // следующая точка listBox1.Items.Add(q.X.ToString() + " " + q.Y.ToString()); g.DrawLine(pen, r, q); r = q; } // проверка через метод из Graphics pen = new Pen(Color.Yellow, 3); // перо g.DrawBeziers(pen, p); // стандартный метод класса } // очистка и остановка private void button2_Click(object sender, EventArgs e) { g.Clear(Color.White); timer1.Stop(); } // Старт иллюстрации метода де Кастельжо private void button3_Click(object sender, EventArgs e) { // timer1.Tick=40 мс timer1.Start(); } // Иллюстрация метода де Кастельжо private void timer1_Tick(object sender, EventArgs e) { Pen pen = new Pen(Color.White); if (tim > 1.0) tim = 0.0; else { g.Clear(Color.White); pen.Width = 2; // соединяем исходные точки (3 отрезка) pen.Color = Color.Pink; g.DrawLines(pen, p); // два отрезка pen.Color = Color.Green; g.DrawLine(pen, CastR(p, tim, 1, 0), CastR(p, tim, 1, 1)); g.DrawLine(pen, CastR(p, tim, 1, 1), CastR(p, tim, 1, 2)); // один отрезок pen.Color = Color.Gold; g.DrawLine(pen, CastR(p, tim, 2, 0), CastR(p, tim, 2, 1)); SolidBrush br = new SolidBrush(Color.Red); // искомая точка PointF qR = CastR(p, tim, 3, 0); g.FillEllipse(br, qR.X - 3, qR.Y - 3, 7, 7); // вся кривая pen.Color = Color.Blue; g.DrawBeziers(pen, p); // стандартный метод класса // изменение параметра tim += 0.0025; } } } } Результат построения кривой Безье: И иллюстрация метода де Кастельжо (t=0.75): |