Результаты  и  их  обсуждение

 

 

516 

         

 

а)  

 

 

 

 

 

б) 

а, б – 0,07%Si; 

 

      

 

в) 

 

 

 

 

 

 г) 

в, г – 0,15%Si и 0,45%Zr 

Рисунок 5– Отливки «Арфа» сплава системы Al–Ni–Mn–Fe 

с разным содержанием кремния 

 

Характеристики  жидкотекучести  металла  определяли  по  формозаполняемости  металлом 

формы.  По  полученным  результатам  (рисунок  6)  видно,  что  характеристики  жидкотекучести  сплава 

Al–2%Ni–1%Mn–0,5%Fe-0,2%Zr  немного  выше,  чем  сплава  без  Zr,  что  подтверждают 

экспериментальные исследования: для сплава с Zr индекс жидкотекучести равен 82,9 см; а для сплава 

без Zr – 80,7см. 

 

               

 

а)                                                                                  б) 

 

Рисунок 6 – Формозаполняемость исследуемых сплавов системы: 

а) Al–2%Ni–1%Mn–0,5%Fe; б) Al–2%Ni–1%Mn–0,5%Fe-0,2%Zr. 

 

Выводы. 

1.  С использованием программы Thermo-Calc (база TTAl7) построены проекции поверхностей 

ликвидуса  и  солидуса,    рассчитаны  политермические  разрезы,  проанализирована  неравновесная 

кристаллизация сплавов системы Al–Ni–Fe–Mn–Si в следующей области составов: 2%Ni, 0–1%Fe, 0–

1,5%Mn, 0–0,5%Si. 

2.  Показано, что максимальные концентрации железа и марганца, при которых не образуются 

первичные  интерметаллиды,  при  раздельном  введении  составляют  1,3%Fe  и  1,7%Mn 

соответственно. При совместном введении этих элементов их допустимая концентрация существенно 

 

 

517 

снижается. В частноcти, при 1%Mn для попадания в поле первичной кристаллизации фазы Al

6

(Fe,Mn) 

достаточно 0,8%Fe, а при 1,5%Mn – 0,3%Fe. 

3.  С  использованием  расчетных  и  экспериментальных  методик  изучено  влияние  кремния  на 

литейные  свойства  сплавов  на  основе  системы  Al-Ni-Mn-Fe-Zr  и  выявлена  связь  этого  свойства  с 

параметрами неравновесной кристаллизации. Показано, что добавка кремния существенно расширяет 

интервал кристаллизации (уже при 0,15 % он составляет 66 °С), что увеличивает склонность сплава 

к образованию горячих трещин при литье. Кроме того, кремний уменьшает растворимость циркония 

в алюминиевом твердом растворе, что снижает потенциал упрочнения за счет наночастиц фазы Al

3

Zr. 

Кремний  уже  при  0,2%  образует  неравновесную  эвтектику,  температура  которой  составляет  556  °С, 

что  приводит  к  резкому  увеличению  интервала  кристаллизации.  Из  этого  вытекает,  что  для 

достижения  приемлемых  литейных  свойств  содержание  данного  элемента  следует  строго 

ограничивать (не более 0,1%). 

 

ЛИТЕРАТУРА 

1 Мондольфо Л.Ф. Структура и свойства алюминиевых сплавов.- М.: Металлургия 1979, с. 640. 

2 Белов  Н.А.,    Золоторевский  В.С.  «Литейные  сплавы  на  основе  алюминиево-никелевой  эвтектики 

(никалины) как возможная альтернатива силуминам», Цветные металлы, 2003, №2, С.99-105. 

3 Золоторевский В.С., Белов Н.А. Металловедение литейных алюминиевых сплавов - М.: МИСиС, 2005, 

376 с. 

4 Amenova A., Belov N., Smagulov D., Toleuova A. Scientifically based choice of heat-resistant cast aluminum 

alloys of new generation // International Journal «Applied Mechanics and Materials». Indexed in Scopus. – Malaysia: 

Kuala Lumpur; Trans Tech Publications, 2013. - P. 49-53. 

5 Аменова  А.А.,  Белов  Н.А.,  Смагулов  Д.У.  Расчет  ликвидуса  системы  Al–Fe–Mn–Ni–Si  в  области 

алюминиево-никелевых  сплавов  (никалинов)  //  Металловедение  и  термическая  обработка  металлов.  Журнал 

индексируется в базе данных Scopus. – 2014. - №3(705). - С. 26-32. 

6 Смагулов  Д.У.,  Аменова  А.А.,  Достаева  А.М.  Алюминийдің  жаңа  ыстыққа  төзімді  өнеркәсіптік 

қорытпаларының  құрамын  оптимизациялау  //  Труды  Международной  научно-практической  конференции 

«Наука  и  образование  –  ведущие  факторы  Стратегии  «Казахстан  2050»  //  Сагиновские  чтения.  -  Караганда, 

2013. -№5. - С. 209-211. 

7 Amenova A., Smagulov D. Quantitative analysis of the Al – Ni – Fe – Mn – Zr – Si phase diagram as a base of 

heat-resistant  cast  aluminum  alloys  of  new  generation  //  Материалы  IХ  Международной  научно-практической 

конференции «Новости научного прогресса – 2013». – София: Болгария Бял ГРАД-БГ, 2013. – Т. 9. - С. 3-7. 

8 Аменова  А.А.,  Исламкулов  К.М.,  Смагулов  Д.У.,  Достаева  А.М.  Разработка  новых  высокопрочных  и 

износостойких сплавов на основе алюминия // Вестник КазНАЕН. – 2014. - №1. – С. 53-56.                              

 

Смагулов Д.У.,

 

 Аменова А.А., Белов Н.А.,

 

 Дегтярева А.С. 

Ыстыққа төзімді al-ni-mn-fe-zr–si жүйесінің алюминий қорытпаларының фазалық 

құрамын талдау қысқаша мазмұны 

Аңдатпа.  Al

3

Zr  (L

12

)  нанобөлшектерімен  беріктендірілетін,  Ni-эвтектикасы  негізіндегі  ыстыққа  төзімді 

жаңа  алюминий  қорытпалары  –  никалиндерге  қатысты  Al-Ni-Mn-Fe-Si-Zr  жүйеcінің  фазалық  құрамын  талдау 

жүргізілді. Темірдің және кремнийдің  қорытпада бар болуы Al-Ni-Mn-Fe-Si-Zr қорытпалар жүйеcінің фазалық 

құрамын  күрделендіреді.  Кремний  кристалданудың  ара  қашықтығын  қатты  кеңейтеді,  бұл  құймада  балқыту 

кезінде ыстық сызаттардың пайда болуын ұлғайтады.  

Экономді легірленген никалин, негізгі сипаттамалары бойынша (ыстыққа төзімділігі, механикалық және 

технологиялық  қасиеттер)  ең  ыстыққа  төзімді  АМ5  маркалы  құю  алюминий  қорытпаларынан  едәуір  асып 

түседі. 

Негізгі сөздер: ыстыққа беріктік, құю қасиеттері, фазалық құрамы, құрылым, фазалық диаграммалардың 

тіліктері, тепе-теңсіз кристалдану 

 

Smagulov A.A., Amenova D.U., Belov N.A. 

Phase composition analysis of high temperature aluminum alloys based on al-ni-mn-fe-zr-si system 

Summary.  The  phase  composition  of  the  Al–Ni–Mn–Fe–Si–Zr  system  was  analyzed  with  respect  to  new-

generation  heat  resistant  casting  aluminum  alloys  based  on  a  Ni-containing  eutectic,  which  are  strengthened  by  the 

Al

3

Zr (L12) nanoparticles. It is shown that the presence of iron and silicon considerably complicates the phase analysis 

compared with the Al–Ni–Mn–Fe base alloy. Alloys with low silicon content have a sufficiently good casting property, 

which  enables  fabrication  of  thin-walled  castings.  It  is  shown  that  economically  doped  nikaline  substantially  exceeds 

the most heat resistant cast aluminum alloys of the AM5 grade in the totality of its main characteristics (heat resistance 

and mechanical and production properties). 

Key  words:  heat  resistant,  casting  properties,  phase  composition,  structure,  sections  of  the  phase  diagrams, 

nonequilibrium crystallization. 

 

 

 

518 

УДК 62 

 

Tursunova R.T.

1

, Yesmurzayeva N.N.

1

, Iskakova L., Selenova B.S.

1

, Kudaibergenov S.Y.

2 

1

Kazakh national technical university named after K.I.Satpayev, Almaty, Kazakhstan 

2

Laboratory of engineering profile, Almaty, Kazakhstan 

roza-tursunova@mail.ru 

 

PREPARATION, STABILIZATION AND CHARACTERIZATION OF COPPER 

NANOPARTICLES 

 

Abstract. In this research work we studied and developed preparation methods of copper nanoparticles. It was 

proved that obtained nanoparticles of polymer-protected Cu are stable and have narrow size distribution. Also, we have 

investigated  their  optical  properties  by  UV-Vis  spectroscopy  and  dynamic  light  scattering.We  have  studied  the 

influence of different polymers and their concentrations to formation of nanoparticles. 

Key words: Cu nanoparticles, polyvinylpyrrolidone (PVP), Polyethyleneimine (PEI), reducing agents.    

 

1 Introduction 

 

Nowadays,  many researchers have considerable  interest ininvestigation  of  metal  nanoparticles  due to 

their  unique  optical,  electronic  and  catalytic  properties.  Copper  nanoparticleshave  also  antimicrobial 

properties, which can be achievable use in medicine.  

CuNPs  can  be  produced  using  different  methods,  such  as  electrochemical,  photochemical  [1],  laser 

ablation,  thermal  decomposition  and  the  simplest  way  is  chemical  reduction  of  metal  salts.  However,  the 

stabilization of obtained metal nanoparticles is still left as a main task in preparation of metal nanoparticles. 

Recently  much  attention  has  been  paid  to  stabilization  of  metal  nanoparticles  by  polymers  because 

polymers can be used not only as protecting agents and as reduction agents too [2]. 

In this work, we haveobtained nanoparticles of copper and investigate effect of differentpolymers and 

their concentration in formation of metal nanoparticles. 

 

2 Experimental part 

 

2.1 Analysis techniques 

 

Absorption spectra of CuNPs were determined at room temperature by UV-Vis spectroscopy (Specord 

210  plus  BU,  Germany).  The  size  of  nanoparticles  was  determined  with  the  help  of  DLS  device  Malvern 

Zetasizer Nano ZS90 (UK).  

 

2.2 Preparation of NPs 

 

Copper nanoparticles  have been  obtained by reducing  CuSO

4

x5H

2

O (5x10

-4

molL

-1

)  with NaBH

4

  (0,1 

molL

-1

)in  the  presence  of  polyvinylpyrrolidone    (PVP,  M

w

=10kD,  40kD,  360kD)  and  polyethyleneimine 

(PEI,  M

w

=25kD).  The  aqueous  solution  of    PVP  with  different  concentrations  (M

w

=10kD    4%,6%,8%  (A) 

M

w

=40kD    4%,6%,8%  (B)  M

w

=360kD  2%,3%,4%  (C))  and  PEI  (4%  kD)  were  added  into  20  mL  of 

CuSO

4

x5H

2

O  (5x10

-4

molL

-1

)  and  were  vigorously  stirring  at  80ºC  during  5-10  min.  Solution  of  freshly 

prepared  NaBH

4

  (0,1  molL

-1

)  were  added  drop  wise  until  nanoparticles  were  forming.  We  have  observed 

reducing  stages  of  Cu  ions  by  changing  color  of  solution.  For  instance,  after  adding  about  2-3  drops  of 

reducing agent color of solution changes from colorless to dark green in the case of PVP and wine-red in the 

presence of PEI.  

 

3 Results and discussion 

 

Obtained  solutions  of  copper  nanoparticles  stabilized  by  hydrophilic  polymers  in  the  presence  of 

sodium borohydrite are shown in figure 1.The first three samples were protected by 4% solution of PVP with 

the different molecular weights (1-PVP360, 2-PVP 40, 3- PVP 10) and the next two samples were stabilized 

by  4%    PEI  solution  (4  at  the  moment  of  preparation  and  5    after  three  days).  It  has  been  determined  that 

CuNPs protected by PEI are more stable during several days.  

 

 

 

519 

 

 

Figure 1.Solutions of copper nanoparticles in the presence of PVP (1-PVP 360kD, 2-PVP 40kD, 3-PVP 10kD) 

and PEI (4 at the moment of preparation and 5 after three days) 

 

In UV-Vis, high energy electromagnetic radiation in the wavelength range of 100-700nm is utilized to 

promote electrons to higher energy orbitals. Since orbitals have quantized energy, only certain transitions can 

occur  in  the  UV-Vis  energy  range.  The  differences  in  the  incident  and  transmitted  beam  give  us 

information about the frequencies which are absorbed by the sample  molecules. Based on absorbance data, 

the sample chemical structure can be analyzed[3].  

Absorption  spectrum  of  copper  nanoparticles  corresponding  to  SPR  (Surface  Plasmon  Resonance) 

shows  peaks  in  the  range  of  567-800  [4].  The  SPR  band  of  copper  nanoparticles  depends  on  several 

parameters,  such  as  the  synthesis  method,  the  size  and  the  shape  of  nanoparticles.  In  article  [5]  authors 

determined dependence between  formation of CuNPs and their size.  

 

 

 

 

1 

A 

2 

3 

4 

5 

 

 

520 

 

 

 

 

 

Figure 2. UV-Vis spectra of copper nanoparticles A) PVP 10kD B) PVP 40kD C) PVP 360kD D) PEI 25kD 

 

B 

C 

D 

 

 

521 

From the  figure 2  we  can see that the absorption spectra of copper nanoparticles protected by PEI  is 

567 nm, according to calculations the size of these nanoparticles are in the range of 1-10 nm what is in good 

agreement with the results of DLS (Fig.3).  

 

 

 

Figure 3. Size distribution by number of CuNPs in the presence of PVP 360 kD (left) and PEI 25kD(right) 

 

CONCLUSION 

Thus,  we  have  prepared  copper  nanoparticles  by  reducing  salt  of  metal  and  protecting  them  with 

polymers.  The  main  purpose  was  investigation  the  effect  of  various  polymers  with  different  molecular 

weights on formation and stabilization of copper nanoparticles for further using them in catalyst preparation. 

It  is  anticipated,  that  metal  nanoparticles  especially  transition  metal  nanoparticles  have  unique  catalytic 

properties which can be used in basic oil chemistry processes.  

 

REFERENCES 

1.  Sydhir  Kapoor,  Tulsi  Mukherjee.  Photochemical  formation  of  copper  nanoparticles  in  poly  (N-

vinylpyrrolidone). Chemical Physics Letters, 2003.- V.-370, P.- 83-87. 

2.  Naoki  Toshima.Colloidal  dispersion  of  bimetallic  nanoparticles:  preparation,  structure  and  catalysis,  Fine 

Particles science and technology, 1996.-P. 371-383. 

3.  Nafiseh Dadgostar. Investigations on Colloidal Synthesis of Copper Nanoparticles in a Two-phase Liquid-

liquid System, Nafiseh Dadgostar publisher, Waterloo, Ontario, Canada, 2008. 

4.  Razium Ali Soomro, Syed Tufail, Hussain Sherazi. Synthesis of air stable copper nanoparticles and their use 

in catalysis. Advanced Materials Letters. 2013.-P. 1-28. 

5.  Umme Thahira Khatoon, Nageswara Rao, Mohan M. Synthesis and characterization of copper nanoparticles 

by  chemical  reduction  method//  Proceeding  of  the  International  conference  advanced  nanomaterials  and  emerging 

engineering technologies/- India, New Delhi 24-26 July, 2013. 

 

Тұрсынова Р.Т., Есмурзаева Н.Н., Селенова Б.С., Құдайбергенов С.Е.

 

Мыс нанобөлшектерін дайындау, тұрақтандыру және сипаттау 

Аңдатпа. Зерттеу жұмысында біз мыс нанобөлшектерін алу әдістерін зерттедік және жетілдірдік. Жұмыс 

барысында  алынған  полимермен  қорғалған  мыс  нанобөлшектері  тұрақты  және  кішкентай  өлшемді  екені 

дәлелденді.      Сонымен  қатар,  біз  дайындалған  нанобөлшектердің  оптикалық  қаситетерін  көрінетін  ультра 

күлгін  спектроскопия  әдісі  арұылы  және  динамикалық  жарық  шашырату  әдісімен  зерттедік.  Мыс 

нанобөлшектерінің пайда болуына полимердің табиғаты және молекулалық массасының әсері қарастырылды.  

Түйін  сөздер:  Cu  нанобөлшектері,  поливинилпирролидон  (ПВПД),  полиэтиленимин  (ПЭИ), 

тотықсыздандырғыштар. 

                            

Турсунова Р.Т., Есмурзаева Н.Н., Селенова Б.С., Кудайбергенов С.Е.

 

Синтез, стабилизация и исследование свойств наночастиц меди 

Аннотация.  В  данной  работе  нами  были  исследованы  методы  приготовления  наночастиц  меди.  Было 

доказано,  что  полученные  полимер-протектированные  наночастицы  меди  стабильные  и  имеют  узкое 

распределение  размеров.  Также  были  исследованы  оптические  свойства  приготовленных  наночастиц  меди  на 

ультрафиолетовом  видимом  спектрометре  и  методом  динамического  лазерного  светорассеяния.  Также,  нами 

было изучено влияние полимеров и их концентрации на образование наночастиц меди.  

Ключевые  слова:  наночастицы  меди,  поливинилпирролидон  (ПВПД),  полиэтиленимин  (ПЭИ), 

восстановливающий агент.    

 

 

 

 

 

 

522 

УДК 004.89:004.4 

 

Ширяева О.И. 

Казахский национальный технический университет имени К.И.Сатпаева 

г. Алматы, Республика Казахстан 

oshiryayeva@gmail.com 

 

ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА КРИТЕРИЯ КАЧЕСТВА И ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ  

ДЛЯ ИММУННОЙ СИСТЕМЫ ВЛИЯНИЯ ЛЕКАРСТВЕННЫХ  

ПРЕПАРАТОВ НА ОРГАНИЗМ ЧЕЛОВЕКА 

 

Аннотация.  Данная  статья  посвящена  разработке  оптимальной  структуры  иммунной  модели  реакции 

организма на лекарственные препараты на основе методов искусственных иммунных систем. Разработана адекватная 

математическая модель  описывающая реакции  организма на лекарственные препараты в процессе инфицирования, 

используемая для разработки оптимальных динамик количества зараженных и вылеченных клеток в зависимости от 

определенных  соответствующих  начальных  условий  и  лекарственных  доз  -  приведено  обоснование  выбора 

критерия качества и закона управления для иммунной системы влияния лекарственных препаратов на организм 

человека. 

Ключевые слова: искусственная иммунная система, оптимальная структура, инфекционное заболевание 

организма, моделирование специальных реакций организма, математическая модель. 

 

В настоящее время, несмотря на значительные успехи современной медицины и фармакологии, 

остается актуальной проблема выбора оптимальной стратегии терапии – оптимальная доза лекарства 

с учетом влияния на его на организм человека [1,2]. Эта задача решается на основе математического 

моделирования, широко используемого в биологии.  Общей целью теоретического моделирования в 

биологии и медицине является выяснение основополагающих биологических процессов, приводящих 

к  конкретному  наблюдаемому  явлению.  Таким  образом,  хотя  математическое  описание 

биологических явлений не представляет собой объяснение процесса, зато позволяет связать уровень, 

на  котором  находится  основная  часть  наших  знаний  (клеточный  уровень,  например)  с 

макроскопическим  уровнем  наблюдаемых  структур.  То  есть  математическое  моделирование 

позволяет  количественно  описать  влияние  резекции,  химиотерапии  и  радиотерапии  на  рост  и 

диффузию  злокачественных  глиом,  а  также  выбрать  оптимальное  или  близкое  к  оптимальному 

управление и прогнозировать дальнейшее течение болезни [3]. 

Пусть  математическая  модель  системы  инфекционного  заболевания  организма  и  влияния  на 

него  лекарственных  препаратов,  представленная  системой  стохастических  уравнений,  связывающих 

динамики  изменения  количества  вылеченных  клеток,  в  результате  действия  лекарственных 

препаратов,  количества  зараженных  клеток  из–за  действия  заболевания,  а  также  побочное  влияние 

лекарственных препаратов и заболевания на ресурсы организма имеет вид [4]: 

















( )

( )

( )

( ),

( )

1 / ( )

( )

( ),

( )

( )

( ),

dL t

nP t

gC t

L t

dt

dP t

L t

C t

P t

dt

dC t

P t

C t

dt



   









   

 







   





                                    (1) 

где L – количественное представление ресурсов организма; P – количество зараженных клеток 

организма  в  зависимости  от  времени;  C  –  количество  обнаруженных  и  вылеченных  клеток  с 

использованием  лекарственного  препарата,  оценивает  эффективность  препарата;    –  темп 

естественного прироста ресурсов организма; n – количество ресурсов для одной зараженной клетки; g 

–  количество  ресурсов  организма  для  реакции  на  лекарственный  препарат,  оценивает  побочное 

влияние  препарата;    –  темп  изменения  количества  зараженных  клеток  при  отсутствии  ресурсов 

организма;  –+  –  каскадный  рост  количества  зараженных  клеток  за  счет  ресурсов;    –  случайная 

величина  обнаружения  зараженной  клетки  лекарственным  препаратом;    –  темп  изменения 

количества обнаруженных клеток, основанный на сроке и объеме действия лекарственного препарата 

при  отсутствии  зараженных  клеток;    –  темп  каскадного  изменения  количества  обнаруженных  и 

вылеченных клеток с появлением вирусов. 

Начальные состояния переменных системы (1) 

 

 

523 

0

0

0

(0)

,

(0)

,

(0)

,

L

L

P

P

C

C







,                                 (2) 

являются случайными величинами с заданным законом распределения. 

Множество допустимых управлений образует управления:  





( )

(0),

(1),...

u k

u

u



, 

( )

u k

U



,                                  (3) 

где 

U

 – некоторое заданное множество значений управления. 

При решении проблемы синтеза оптимального ответа удобно исходную стохастическую задачу 

свести  к  соответствующей  детерминированной  задаче.  Для  этого  рассмотрим  уравнение  (3.3)  на 

некотором промежутке времени 





1

0

,t

t

T 

 и предположим, что 

i) функции 

k

j

n

i

x

t

n

i

x

t

f

ij

i

,...,

1

;

,...,

1

),

,

(

;

,...,

1

),

,

(









 кусочно–непрерывны по t для всех 

n

R

x 

; 

ii)  для  любых 

T

t 

  функции 

 

n

i

R

C

x

t

f

n

i

,...,

1

,

)

,

(

1





  и  имеют  ограниченные  первые  и 

вторые производные по x; 

iii) существует 

0

1



 const

c

 такая, что 

 

















n

i

n

n

n

j

j

i

ij

R

z

R

T

x

t

z

c

z

z

x

t

a

1

2

1

1

,

,

)

,

(

,

)

,

(

 

где 

)

,

(

)

,

(

)

,

(

1

x

t

x

t

x

t

a

jl

k

l

il

ij













. 

 

Тогда  решение  стохастического  дифференциального  уравнения  (1)  существует,  единственно  и 

является непрерывным марковским процессом. Если плотность вероятности этого процесса 





n

R

T

C

x

t

p





2

,

1

)

,

(

, 

где 





n

R

T

C



2

,

1

  –  пространство  непрерывных  функций   

)

,

( x

t

p

,  непрерывных  на 





n

R

T 

 

вместе  с  частными  производными 

n

j

n

i

x

x

x

t

p

x

x

t

p

t

x

t

p

j

i

i

,...,

1

,

,...,

1

,

)

,

(

,

)

,

(

,

)

,

(

2



















,  то  плотность 

вероятности удовлетворяет уравнению Фоккера–Планка–Колмогорова [5]: 

























n

u

ij

n

i

n

j

j

i

i

n

i

i

R

T

x

t

x

t

p

Z

x

t

p

t

u

x

t

z

x

x

x

t

p

t

u

x

t

f

x

t

x

t

p































 









,

,

)

,

(

)

,

(

)

(

,

,

2

1

)

,

(

)

(

,

,

)

,

(

(.)

1

1

2

1

 

с начальным условием 

)

,

(

)

,

(

0

0

x

t

p

x

t

p



, 

где 

)

(

0

x

p

 – начальная плотность вероятности, характеризующая начальное состояние x

0 

с 

математическим ожиданием 

0

m

 и ковариационной матрицей 

x

D

0

;  



.

(.)

u

Z

 – дифференциальный оператор;  





T

n

x

t

f

x

t

f

x

t

f

)

,

(

),...,

,

(

)

,

(

1



 – вектор сноса;  













k

l

jl

il

ij

u

x

t

u

x

t

u

x

t

z

1

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

 – матрица диффузии. 

  Пусть множество допустимых управлений 

0

U

 образует функции 

(.)

u

 такие, что функции 

 

))

(

,

,

(

)

,

(

(.)

t

u

x

t

f

x

t

f

i

u

i



, 

k

j

n

i

t

u

x

t

t

u

x

t

x

t

ij

ij

u

ij

,...,

1

,

,...,

1

)),

(

,

,

(

))

(

,

,

(

)

,

(

(.)















, 

 удовлетворяют  условиям,  при  которых  решение  уравнения  (3.3)  существует,  единственно  и 

является  непрерывным  марковским  процессом.  Обозначим  через 





)

(

,

0

0

0

x

p

t

D

  множество  пар 





(.)

(.,.),

0

u

p

d 

,  где  функции 

0

2

,

1

(.)

),

(

(.,.)

U

u

Q

C

p





  и  удовлетворяют  уравнению  (1)  с 

начальным условием (2). 

 

 

524 

Для  стохастических  систем  критерий  качества,  как  правило,  представляет  собой 

математическое ожидание заданных функционалов, зависящих от управления и траектории системы. 

Оптимальное  функционирование  системы  (1)  соответствует  интегральному  критерию  качества 

определенному  на  множестве 





)

(

,

0

0

0

x

p

t

D

  для  достижения  некоторых  целей,  которые  формально 

записываются в терминах минимизации функционалов J, определяемого траекторией х(t): 

 

































T

t

T

t

R

dt

t

u

t

x

t

F

M

dxdt

x

t

p

t

u

t

x

t

F

d

J

n

0

0

min

))

(

),

(

,

(

)

,

(

))

(

),

(

,

(

0

,  

где F – интегрант, оценивает мгновенный процесс (x(t)); 

М – знак математического ожидания;  

непрерывная функция 





)

(

),

(

,

t

u

t

x

t

F

 – удовлетворяют условию полиномиального роста: 





2

1

)

,

,

(

),

,

,

(

1

c

u

x

c

u

x

t

F

u

x

t









, 

2

1

, c

c

 – некоторые постоянные. 

жүктеу/скачать 35,33 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: